Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В частности, если 7"(х) имеет в со нуль кратности )~ 2, не имеет особых точек на действителышй осн и имеет только конечное число особых точек выше действительной оси, то формула (3.58) применима. В частности, (3.58) применима, если 7"(л) есть рациональная дробь, в которой знаменатель не имеет действительных корней и степень знаменателя превышает степень числителя более чем на единицу. есо Пример У. Найти ) 4 .
Корни знаменателя суть 1 Г 44'х х4 -1- 4 ' Следовательно, Э .1 .-.= ( 44х / 1 1 = 2~11 йы — — + Вез ) = ='"~( — ) (.— ) 1= = 2л4 '(( — ) +( — ) ~)= 2л1( + . ) = —. Пример 2. Найти 44'х Корни знаменателя суть (ха+ 1)" (кратиости и), следовательно, учитывая (3.57'), получаем: ттх 1 „= 2ти йез (ха+ 1)л 4 (аз+ 1)л (2п —. 2)! 1 3... (2п — 3) — л л 2ал а[(л — 1)1)з 2 4...
(2п — 2) 176 1гл. ш Аналитические етнкции Приложение основной теоремы Коши к вычислению несобственных интегралов Не останавливаясь на общих соображениях, вычислим в качестве примера такого приложения интегралы Френеля / соз 1ха) 21х; ~ 2!и 1ха) л2х. Рассмотрим целую функцию 222'. По теореме Коши интеграл по всякому спрямляемому замкнутому контуру от этой функции равен нулю; в частности, равен нулю интеграл по контуру сектора АОВ1рис. 46). Следовательно, Х ы'"=Х+Х+Х=О ОАВО ОА АВ ВО Имеем ) ег 22г= — ) е" л2х. ОА о Рис.
46. Комплексное параметрическое уравнение дуги АВ есть л =- йе'т, О ( у ( —; следовательно, е" да= ~ е™емтяеятг)~ — 2р ~ е-В м2222'рн 2 ет1,4, АВ о о 2 2д откуда 1учитывая неравенство 21п0) — 0 при О(в( — ) 2 2 2В, еси 21л ( )'> ~ 2 — В~2!2 22 2~ ( 22 е . 21 Н и поэтому ~ е" 21л-+О при 2'С-+ со, АВ вычвты Комплексное есть параметрическое уравнение отрезка О — ре4 0, 11 ()В следовательно, его'4(г -=- е' / е-Рл1р, ов откуда (считая известной формулу (4.10) главы 1Ч) ег" 41л -+ е' ~ е- Р пср =- е4 при й — + со.
2 ол о Из сказанного заключаем, что, переходя в равенстве е4" г(г = — 0 од во к пределу при Я -+ оа, получим: (3.59) причем попутно устанавливается сходимость этого несобственного интеграла. Отсюда, переходя к сопряженным величинам, найдем: +со — с Е-Со ГУХ = — Е 4 = — фсà — (1 — 1). г'л — 1 и 2 2 2 о (3. 59') l" м соз(ха) 41х = з!и (ха) 41х = — $сг 2' (3.60) о о откуда (вследствие четности подынтегральпых функций) соз(х') л1х = ь4п (х') Нх = т †. (3.50') г 2' 12 зак.
1944. и. н. Ромямоаскма Отделяя действительную и мнимую части в (3.59), получим: 4-со 173 [гл. ш АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ й 18. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА Пусть у (г) — мероморфная функция в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, н на нем, не имеющая нулей и полюсов на С. Так как — — г1г =- [.п г'(г), У'( ) у(г) то у (г) — г[г = [Ьп У (г)[, г' (г) с с где правая часть обозначает приращение, которое получает Ьп г'(г), когда точка г описывает контур С в положительном направлении. Но 1 п 1 (г) = — [п [у(г)1+ г Агре(г) и 1п1у(г)[, как непрерывная однозначная функция, после обхода С возвращается к своему первоначальному значению, поэтому [Ьпг(г)[с = — г [Агру(г)[с и — аг = — [Агя г(г)[ . 1 г у" (г) 1 2>Л (2> Г(г) 2в с' с С другой стороны, по теореме о логарифмических вычетах — г(г = Аг — Р, 1 г г (г) 2и гб) у(г) с где М вЂ” число нулей и Р— число полюсов функции у(г), лежащих внутри С (с учетом их кратностей).
Таким образом, получается правило, известное под названием принципа аргумента. Если 7'(г) мероморфна в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, и на нем и если у"(г) не имеет на этом контуре нулей и полюсов, то разность между числом нулей и числом полюсов (с учетом их кратностей) функции г (г), лежащих внутри С, равна полному числу оборотов вокруг нуля, совершаемцх вектором точки г (г), котда 918[ !79 пРинцип лРгумвнтл точка г описывает контур С в положительном направлении, т. е.
А — Р= —,' [АгаПг)[с. (3.61) С помощью. принципа аргумента легко доказывается Теорема Руше. Если г(г) и Т(г) — аналитические функции в области, ограниченной контуром С, и на нем и во всех точках контура С выполняется неравенство [у(г)[) ) [~(г)1, то )'(г) и у(г)+ р(г) имеют внутри С одинаковое число нулей (считая каждый нуль столько раз, какова его кратность). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия теоремы видно, что У(г) и У(г)+т(г) не имеют нулей на С, ибо при г на С имеем [г(г)[)1и(г)[) О; [у(г)[ — с7(г)[) [у(г)[ — [~г(г)[)О. Пусть А7 — число нулей функции 7" (г), лежащих внутри С, Аг — число нулей функции У(г)+~(г), лежащих внутри С. По принципу аргумента имеем: [Агй' [7(г) + 'Р (г)[[с 2 [Агф(г) (1+ у(г) )~1 = — [Агд у(г)[ + — ~Агй (1+ — )~1 = — [Агд/(г)[ = А7 1 2г с 2я '1 '1 7(г) 7!с 2я с учитывая, что ~Агй.
(1+ — — 1)1 = О, ибо, когда точка г т(г)Л У()Л,= ' описывает С, точка 1 + — описыч (г) у(г) вает путь, лежащий внутри круга ра.диуса 1 с центром 1 (рис. 47), так как на С ~ . ~ 1, что и требова- т (г) лось доказать. Отметим некоторые следствия из теоремы Руше. Пусть 7(г) — аналитическая функция в области, ограниченной замкнутым Рис. 47. контурои С, и на нем, не имеющая нулей на С. Тогда, если уа(г) (и = 1, 2, 3,...) аналитические функции в области, ограниченной контуром С, и на нем и 7„(г) — +У(г) равномерно на С, то при и, достаточно большом, число нулей (с учетом их кратностей) функции 12* АНАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ (гл.
щ у'„(г) внутри С равно числу нулей (с учетом их кратностей) функции Г(л) внутри С (теорема Гу рви ца). В самом деле, очевидно, и = ш1п! г'(г) ~ ) О, ибо г"(л) с не имеет пулей на С, поэтому найдется такой номер М, что нри и) М и з на С будем иметь ( у„(л) — Г(л)) < т, но тогда в разложении у„(л) =-у(г)+!уч(л) — У(з)) модуль второго слагаемого правой части будет мень~с модуля первого для всех г на С, и, следовательно, по теореме Руше число пулей у„(л) внутри С будет равно числу нулей ((л) внутри С, что н требовалось доказать.
Пусть а — какое-нибудь комплексное число. а-точками функции у(л) называются такие значения г, для которых значение у(л) равно а. Иначе говоря, а-точки функции у(г) суть нули функции Г(г) †. а. Так как нули аналитической функции, не равной тождественно нулю, изолированы, то а-точки аналитической функции, не равной тождественно а, изолированы.
Говорят еще, что а-точка функции Г'(л) имеет кратность п, если она есть и-кратный нуль для Г'(г) — а. Пусть у(г) — непостоянная аналитическая функция и ле†п-кратная а-точка этой функции. Так как а-точки изолированы, то на окружности ", достаточно малого радиуса с центром л, и внутри нее не будет находиться других а-точек. Тогда и = пня(У(з) — а( ) О. Если ~ Ь вЂ” а ~ ~< т, то внутри Т будет находиться (с учетом их кратностей) ровно и Ь-точек функции у"(г). Деиствительно, г'(л) — Ь = = (1(г) — а)+(а — Ь), причем на Т имеем 1 а — Ь ( < ~ у(г) — а ~, следовательно, но теореме Руше число нулей (с учетом их кратностеИ) функции у'(л) — Ь внутри Т совпадает с таковым для г'(л) — а и, следовательно, равно и (внутри Т функция у(л) — а имеет только один нуль, гш и его кратность равна п).
Заметим еще, что если, кроме того, радиус р окружности Т достаточно мал (чтобы У'(г) ~ О при О < (л — л„) < р), то у(л) обращается внутри Т ровно и раз в Ь и все эти Ь-точки — простые (однократные). Непостоянная аналитическая функция у(г) переводит открытые множества в открытые. В самом деле, если у(гв) = тощ то в силу вышеизложенного уравнение / (л) = — ш, имеет внутри как угодно малого круга с центром ла решение, если только та, достаточно близко к тв,. 191 дииивгвнцигзвмыв отоввлжвния 18! Из последнего замечания следует, что если у(г) — непостоянная аналитическая функция в некоторой области, то в любой близости к каждой точке ва этой области найдется такая точка ды что 1у(з,) ! ) ( ((га)1.
Отсюда вытекает принцип максимума модуля; если у(л) непрерывна в ограниченной замкнутой области и аналитична внутри этой области, то ~У(г)~ достигает своего наибольшего значения на границе области. Из принципа максимума модуля непосредственно вытекает теорема: если последовательность функций у„(г), непрерывных в ограниченной замкнутой области и аналитических внутри этой области, равномерно сходится на границе области, то она равномерно сходится на всей области. В самом деле, так как сходимость на границе в равномерная, то для всякого а ) О найдется такой номер И, что при и ) И, р ) О будем иметь ~ун й(г) — у„(г))( е для всех г на границе области, но тогда по принципу максимума модуля это неравенство справедливо на всей области и, следовательно, в силу критерия Коши последовательность г'„(л) равномерно сходится на всей области. % Нп ЛИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Соответствие, по которому каждому элементу а множества А относится некоторый элемент Ь множества В (природа элементов множеств А и В безразлична), называется отображением множества А в множество В.
Элемент соответствующий а, называется образом элемента а (тогда а называют прообразом элемента Ь). Отображение, дифференцируемое в данной точке Мы будем рассматривать отображение области Р плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного. Такое отображение можно записать формулой ти =у'(г), где у'(г) — комплекснозпачная функция комплексного переменного з, определенная в области Р. Его можно также записать формулами !82 (гл. гн лнллнтичвскив етнкции где и(х, у) и о(х, у) †действительн и мнимая части у'(х+ гу). ( и = и (х, у), Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
