Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Переходя к пределу при г, -« г, получим: ь -» Учитывая, что %'(:, г) =,, и замечая, что »с (" — г)л«' йа(») д [ „(() (à — )" (" — г)л+ ' дг приходим к формуле Таким образом, ф(г) имеет производную в каждой точке г, не лежащей на Г. Итак, если су() — непрерывная функция на кусочно- гладкой дуге 1', то функция ф (г) ~ т (() г (~ )ь 152 [гл. ш Анллитичяския Функции является аналитической для всех значений г, не лежащих на 1', причем производная этой функции получается по правилу дифференцирования под знаком интеграла: Выражение для Ф'(г) имеет снова тип (3.41'), поэтому к нему применимо все сказанное о Ф(г).
Отсюда заключаем, что функция, определяемая формулой Ф(г) = ~ — ' —, с(. г (ч — г)л для всех значений г, не лежащих на Г, имеет производные всех порядков, причем выражения для них получаются в результате последовательных дифференцирований под знаком интеграла: г т(с)л( г (3.43) э 12.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКПИИ ~ у(ч) о Но интеграл Коши, стоящий в правой части, является частным случаем интеграла типа Коши, следовательно, на основании изложенного в 2 11, У(г) имеет внутри С произвол- Пусть у(г) — аналитическая функция в какой-нибудь области О. Пусть С вЂ” замкнутый контур, лежащий вместе со своей внутренностью в этой области. Для всех точек г, лежащих внутри этого контура, имеем на основании интегральной формулы Коши: 13) послвдоватвльности и гады 153 ные всех порядков, получающиеся на основании (3.43) по формуле у'т) (л) $ У1 ) (3. 44) 2ш з 1с в)нт1 0 Так как любу.ю точку области В можно окружить замкнутым контуром, лежащим (вместе с внутренностью) в области В, то приходим к следующему выводу: всякая аналитическая функция в какой-нибудь области имеет в этой области производные всех порядков, причем все они являются аналитическими функциями в этой области.
Следует заметить, что функции действительного переменного таким свойством не обладают. Функция действительного переменного может иметь первую производную, но не иметь второй производной. и 13. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Будем говорить, что последовательность функций Л( )' уа(з)' ' ' '' ун'. ) определенных в некоторой области В, сходится равномерно внутри области В, если она сходится равномерно на каждой ограниченной замкнутой области, лежащей в В. Теорема. Если последовательность аналитических функций в области В Л 1г), Уа (г), ..., У„ 1з), ...
сходится равномерно вну.три области В к функции у(г), то У(з) — функция, аналитическая в области В, причем последовательность производных Л(з), уа(.), ..., у (з), ... равномерно сходится вну.три области В к производной предельной функции, т. е. к р 1е). Пусть С вЂ” замкнутый контур, лежащий вместе с внутренностью в В, и г — точка внутри С. Тогда по формуле Коши ~ У 1"-) 0 (гл. ш 134 АНАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ Но ~,(ч) -+Я'.) равномерно на С, следовательно, уч (~) у(~) ь — а равномерно на С (при фиксированном л); поэтому на основании правила предельного перехода (3.38) Йл) = — ~ 1 ь У (") 2ш3' ~ — л о Таким обравом, внутри С предельная функция У(л) выражается интегралом типа Коши, следовательно, является аналитической. Но любую точку области Е) можно окружить таким контуром С, следовательно, предельная функция у'(л) аналитична во , 35' всей области О.
Пусть те- перь Ь вЂ” какая-нибудь огра,'д" ниченная замкнутая область (рис. 33), лежащая в В, и Ю С вЂ замкнут контур дли- ны Е, лежащий вместе с Рис. 35. внутренностью в О и та- кой, что Ь лежит внутри С. Пусть 3 в расстояние между С и Ь (т. е. наименьшее из расстояний точек на С от точек в Ь). Имеем при л, лежащем в Ь [в силу формул (3.44) для и = 1): Х Ул(51 . 1 ~ () у() Х, ".. Х. о о Д~ Уп (5) У(4) 2лг Х (ь — «)з Но ун(с)-+у(".) на С равномерно, следовательно, для всякого в ~ 0 найдется такой номер И, что при и ) Ж будем иметь 1у'„(".) — у(')( ( а при всех ".
на С. Тогда из последней формулы найдем (по правилу оценки модуля интеграла): 11 (л) — 1 (з)1-< 2 —.~ Ьа 5 1З! послвдовлтвльности и гяды 155 при и ) ДГ н любом з на Ь. Этим .доказано, итог'„(г)-+ У(я) равномерно на любой ограниченной замкнутой области Ь, лежащей в О. Замечание. Мы видим, что последовательность производных у„(я) находи~ся в таких же условиях, как последовательность функций г"„(я), поэтому к ней также применима доказанная теорема.
Таким образом, если последовательность аналитических функций тл(л) в области О равномерно сходится внутри О к у (а), то последовательность производных любого порядка от У„(г) равномерно сходится внутри О к производной такого же порядка от у(з). Пусть теперь имеем функциональный ряд ~ Рл() члены которого суть аналитические функции в области О. Из доказанного следует, что если этот ряд равномерно сходится внутри О, то его сумма аналитична в О и ряд можно сколько угодно раз почленно дчфференцировать, причем все получающиеся ряды равномерно сходятся внутри О.
Аналитичность суммы степенного ряда Пусть,'5', Анги в степенной ряд и )т' — его радиус схо- а димости. Пусть 0 ( г ( тг. Точка г, как лежащая внутри крута сходимости (рис. 36), есть точка абсолютной сходимости степенного ряда, т. е. ряд ~ ~ А„г" ! сходится. Но при г д!. г имеем ~ Авз"!. А„г" ~, поэтому степенной ряд ~ А„г" равномерно сходится на круге ~г~ ( г. Так как любая замкнутая область, лежащая внутри круга сходимости, может быть заключена в круг Рнс. Зб. ) г ( ( г при надлежащем выборе числа г ( Й, то приходим к следующему заключению: всякий степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.
П р н и е ч а н н е. На внутренности круга сходнмостз сходнмость может быть неравномерной. 156 (гл. ш аналитические Функции Так как члены степенного ряда А„е" являются аналитическими функциями, то из доказанной теоремы следует, что сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и что степенной ряд можно любое число раз почленно дифференцировать внутри круга сходимзсти. Следовательно, получающиеся в результате этого степенные ряды имеют не меньший радиус сходимости (на самом деле в тот >ке радиус сходимости). Аналогично, степенной ряд ~~Р~ А„(г — а)" равномерно схоо дится внутри круга с центром в точке а (рис.
37), "У Рис. 38. Рис. 37. а его сумма есть аналитическая функция внутри этого круга; ряд ~ А„(я — а)", имеющий кольцо сходимости (рис. 38), равномерно сходится внутри кольца и его сумма есть аналитическая функция внутри этого кольца.
При этом законно почленное дифференцирование любое число раз. й ! 4. РЯД ТЕЙЛОРА Пусть 7(г) — аналитическая функция внутри круга с центром а (радиус которого может быть, в частности, равен -+ со — тогда это будет вся плоскость). Пусть я в точка внутри данного круга и С в концентрическая окружность меньшего радиуса такая, что я лежит внутри нее (рис. 39).
Пусть г = (г — а(, р †ради круга С. По формуле Коши 7'(л) = —, 1~1 „— и'ч. 1 г У(Г,) 2ш ')' С 14) 157 Ряд твйлоРА При " на С имеем: 1 1 1 — (г — а) — (а — а) ( а — а)' 1 — а/ а — а1 г и так как ~ — ~ = — ( 1, то последнее выражение можно ь — а~ и рассматривать как сумму убывающей геометрической про- 1 грессии с первым членом — и знамена- с — а г — а гелем — , Таким образом, ь — а' г 1 1 а — а р а ' — а ь" — а+ (ь — а)а+ ' '+ л'и (г а) -ь1' Рис.
39. Сходимость этого ряда равномерна по " на С (при фиксированном л), так как этот ряд мажорируется числовой убываю- кч гч щей геометрической прогрессией а~а ран ' умножая предыдущее равенство на у (г), интегрируя почленно по С и деля на 2кг, получим: ч э я=О с или 7(г) =- ~л А„(г--а)", где г причем Г есть произвольно фиксированная окружность с центром а, лежащая внутри первоначально заданного 7 (1) крута (замена С на Г законна, так как ~ ) аналитична (г а)яэ1 между С и Г, включая их). Итак доказана следующая теорема, 158 (гл. ш АНАЛИТИЧБСКИБ ФУНКЦИИ Теорема. Всякая аналитическая функция у(г) внутри крута с центром а может быть разложена внутри этого круга в степенной ряд ! (г)= .,~~~ А„(г — а)", (3.45) з коэффициенты которого определяются формулой А„= — — у — —,а'г (л=-О, 1, 2, ...), (3.46) 1 Г У(г) 2з13 (г — а)"Ф' г 1 Г /(г)аг чч Аз ( 2в! 5 (г — а)вз> ~М 2в! ',~' г а)з " с(г=А„, учитывая, что в силу (3.36"), 1 Г л в.> (О йгьи, —.
(г> (г — а) ' а> 2я! (~У Этим доказана единственность разло>кения аналитической функции в круге с центром а в степенной ряд по степе- ням г —.а. Лемма. Пусть !'(г) — аналитическая функция в области УУ, равная нулю в некоторой области а, содержащейся в Л. Тогда у(г) тождественно равна нул>о в О. Сделаем предварительное замечание. Из формулы (ЗА6) видно, что если функция аналитична внутри некоторого круга К и равнз где à — какая-нибудь окружность с центром а, лежащая внутри данного круга. Этот степенной ряд называется рядол! Тейлора для у(г) в рассматриваемом круге. Пусть функция у(г) разло>кена в круге с центром а в какой-нибудь степенной ряд ~~'„Ал(г — а)л. Пусть à — коне центрическая окружность меньшего радиуса.
Тогда на 1' этот ряд равно>>ерно сходится. Умножая равенство у(г)= 1 =- ~~~~ Ал(г — а)" на — —, интегрируя затем почленно (г а)в > ' 1 вдоль Г и умножая еще на —, получим: 2в! ' 159 14) Ряд твйлогл нулю в концентрическом круге л меньлего радиуса (рис. 40), то она равна нулю внутри круга К.
В самом деле, взяв Г лежа цим внутри меньлего круга д, найдем по формулам (ЗЛ6), что все А„ = О, но тогда по формуле (ЗЛ5) У(а) = 0 внутри К. Рассмотрим теперь конечную цепочку ле'кащих в Т) кругов Кт, Кз, ..., Ки, обладающую тем свойством, что центр каждого круга лежит внутри предыдущего круга, центр первого круга ле~кит в г), центр последнего круга лежит в произвольно выбранной точке л области )) Рис. 41. Рис. 40.
Такую цепочку кругов можно, например, построить следующим способом (рис. 41). соединим точку ла, принадлежащую области сг, спрямляемой дугой Г с точкой г. Пусть положительное число о меньше расстояния дуги Г до границы области 1). Разобьем Г на конечное число частей с длинами, меньшими 6. Тогда цепочка кругов радиуса Ь с центрами в точках деления удовлетворяет всем нуно ным требованиям.
С помощюо сделанного выше замечания найдем последовательно, что У(а) равна нулю внутри Кт, внутри Кз, ..., внутри К„, Таким образом, лля любой точки а области 1У получим У(г) = О. Легко видеть, что если у(г) — аналитическая функция в облзстп О, пе равная тождественно нулю, то вокруг всякой точки а области О можно описать такой круг, лежащий в О, что внутри этого круга, кроме, может быть, точки а, функция у'(г) отлична от нуля. В самом деле, опишем около точки а круг, лежащий в О. Соглзсно лемме в этом круге у(з) не может быть тождественно. равна нулю.
Следовательно, в разложении функции у(з) в этом круте в ряд по степеням з — а не может слу'шться, что все коэффициенты равны нулю. Пусть в упомянутом разложении у(з) = ~ Аа(г — а)" первый из о !гл. и 160 Андлитичвскив Функции коэффициентов, отличных от нуля, есть А„(п у 0), тогда У(з) = А„ (г — а)" + А„ , (х — а)"э + ... = (з — а)" ср (з), где ср(г) = Ая+-А„+,(х — а)+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
