Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами можно почленно перемножать. Это можно доказать прямым путем, но этот факт получается сразу, если считать его уже установленным для рядов с действительными членами. В самом деле, пусть г, тич и ~ ти„ абсолютно сходятся, и>„= и„+ (о„; тв„' = и„+ ги„. Тогда ~ и„, ~~ о„, ~ и„', ~~Рю„' абсолютно сходятся и затем ~ шй ~~', и>> = (,~'„ий+ ( ~~„о>,) (.~~~~ и> + Г ~ о>) = ~> ил~и> — ~ой~~о>+Г(~ илло>+ХойХ и>)= й й й й > I / > = Х ийи> — ~~р ~о р, + г (~~~~ ийо> + Х ойи>) = й,> й,> й,> й,> > > с> = ~ [ийи> — ойт>>+ ! (ийо>+ ойи>)[ = ~> п>йп>>. й,> й,1 и 3.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Степенным рядом называется ряд вида ар+а,г+а,г'+... +а„г" +... илн ~ а»гв, (3.8) где а„— любые комплексные числа, г — комплексное переменное. Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для некоторого значения переменного, то он абсолютно сходится для всех значений переменного с меньшим модулем. Это значит, что если ~~~ а, ге сходится, [ г [ ( [ ге[, то ~' а„г" абсолютно сходится, !15 бтвпвнныв гяды Локаза тельство.
Так как ряд ~а„го~ сходится, то его члены стремятся к нулю и, следовательно, ограничены, т. е. найдется такое число К, что для всех п !а.хо 1 < К. Если (х1< ~ао(, то число д = — < 1 и )с) = ! ао! $а„г" $ =-~а„го ( — ) ~=!а„ао ~ ( — ) <Кд". Но числа Кд" образуют убывающую геометрическую прогрессию, значит, ряд ~ Кд" сходится, но тогда на основании принципа сравнения рядов с неотрицательными членами ряд ~~'"„(азг"~ сходится, следовательно, ряд ~ а„г" абсолютно сходится, что и требовалось доказать.
Следствие. Если степенной ряд расходится (или неабсолютно сходится) для некоторого значения переменного, то он расходится для всех значений переменного с ббльшим модулем. Это значит, что если ~ а„го расходится или неабсолютно сходится, (г) ) 1ао), то ~а„а" расходится. В самом деле, если бы ряд ~~~ ~а„х" сходился, то по теореме Абеля (так как ) го) < ) х |) ряд ~~', а го' был бы абсолютно сходящимся, что противоречит условию. Область сходимости степенного ряда Рассмотрим какой-нибудь ряд, члены которого зависят от г.
Те значения г, для которых рассматриваемый ряд сходится, нарываются точками сходимости его; те значения г, для которых рассматриваемый ряд расходится, называются точками расходимости его. Совокупность всех точек сходимости называется областью . сходимости рассматриваемого ряда. Теорема Абеля позволит решить вопрос об области сходимости степенного ряда. Пусть ~ аоао †как-нибудь степенной ряд. Логически возможны следующие три случая: 1) все положительные числа суть точки сходимости; )гл. ш АНАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ 2) все положительные числа суть точки расходимости; 3) существуют положительные точки сходимости и положительные точки расходимости.
В первом случае в силу теоремы Абеля данный степенной ряд сходится !абсолютно) для всех значений г (так как для любого комплексного числа г найдется положительное число большее, чем )г!). Следовательно, область сходимости есть вся плоскость комплексного переменного. Во втором случае в силу следствия из теоремы Абеля данный степенной ряд расходится для всех значений яФ О !так как для любого комплексного числа ИФО найдется положительное число меньшее, чем (г!). Следовательно, область сходимости состоит из одной точки О.
В третьем случае найдется положительная точка сходи- мости га и положительная точка расходимости Й1. Если г1+ Й1 2 есть точка сходимости, то положим г = ' Я 2 Йз =Й;, если же есть точка расходимости, то поГ1+ Р1 2 ЛОЖИМ 1'1 — Г1, Йа = г1+ А'1 2 Таким же образом, исходя из г,, )11 введем числа гз, )хз и т. д. В результате получим неубывающую последовательность положительных точек сходимости г, (г,~(га <.. и невозрастаюшую последовательность положительных точек расходимости )~1~~)~2~ )1З~ ''' причем )11„ — г„ = „ , -ь О.
Следовательно, обе назван- )21 — г1 ные последовательности имеют общий предел !!ш г„= йш Я„= Й. Если (я!<)с, то при достаточно большом п !г!<г„ и, следовательно, в силу теоремы Абеля г есть точка сходимости. Если ~г~ > )г, то при достаточно большом п )а~ ) Й„ и, следовательно, в силу следствия из теоремы Абеля, я есть точка расходимости. Таким образом, внутри круга радиуса )1 с центром О ряд сходится !абсолютно), % 3) )п ствпвнныв гады вне этого круга ряд расходится. Вопрос о точках, лежащих на окружности, остается открытым. Область сходимости степенного ряда есть, таким образом, круг радиуса )с с центром О (точнее, внутренность этого круга плюс, быть может, некоторое множество точек окружности). Этот круг называется кругом сходимости.
Радиус его называется радиусом сходимости. В первом и втором случаях следует считать соответственно )с = со и )с = О (круг сходимости соответственно обращается во всю плоскость или вырождается в точку). Во всех точках внутри круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится. Если в некоторой точке на окружности круга сходи- мости степенной ряд абсолютно сходится, то он сходится абсолютно во всех точках окружности круга сходимости (ибо модули членов степенного ряда для всех точек этой окружности соответственно одинаковы). Если в некоторой точке на окружности круга сходи- мости степенной ряд либо неабсолютно сходится, либо расходится, то в каждой точке этой окружности он либо неабсолютно сходится, либо расходится.
Рассмотрим теперь ряд 1 Полагая ". = †, превратим этот ряд в степенной ряд г' ~~р~ Ь»ч» с некоторым радиусом сходимости р. Тогда при о ! ч ! ( Р.ряд сходится, при )» ( .» р расходится. Следовательно, 1 1 ряд (3.8') при ~г( > — сходится, при 1г! < — расходится. Р Р Початая г =-", найдем, что область сходнмости ряда (3.8 ) 1 7 Р есть «внешность» круга (рис.
24) радиуса г с центром О (точнее, внешность этого круга, плюс, быть может, некоторое множество точек окружности). Сходимость ряда (3.8') во всех точках вне упомянутого круга — абсолютная. 118 Аналитнчвскив Функции (гл. ш Рассмотрим теперь ряд, бесконечный в обе стороны, +ив+ + а + -ь+аа+ага+аяза+ + + п„ли+... (3.8") или ~~Р и зи Ряд, бесконечный в обе стороны, считается сходящимся, если сходится ряд, составленный из членов, лежащих правее некоторого члена, и ряд, составленный из членов, лежащих левее некоторого члена (очевидно, нет надобности Рис.
25. Рис. 24 указывать номер этого некоторого члена, так как при другом выборе его упомянутые два ряда изменятся на конечное число членов и, следовательно, их поведение не изменится). Таким образом, ряд (3.8") сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся оба ряда аз+а,а+авва+... +а„г"+...
или ~ а„г"; +оэ — ! а~ива =+:., +... +=+... или т = или т а аи 7''''Гч ,гала (, .г~ и Область сходимости первого нз этих рядов есть внутренность некоторого круга радиуса )с с центром О. Область сходимости второго ряда есть внешность некоторого круга радиуса г с центром О. Если г ( Я, то общая часть упомянутых областей сходимости есть кольцо с центром 0 (рис. 25), В этом случае область сходимости ряда (3.8") 8 3) 119 степенные Ряды есть кольцо, ограниченное двумя окружностями с центром О (плюс, быть может, некоторое множество точек, лежащих на ограничивающих окружностях). Это кольцо называется кольцом сходимости ряда (3.8"). Внутри кольца сходимости сходимость ряла (3.8") — абсолютная.
Если г ) )х, то ряд (3.8") не имеет точек сходимости, если г= )т, то ряд (3.8") может иметь точки сходимости только на окружности ралиуса г= Й. Рассмотрим степенной ряд Аз+А,(г — а)+А,(г — а)а+... + +А„(г — а)" +... или ~ А„(г — а)". (3.8"') Полагая "=г — а, превратим этот ряд в ряд ~ А„чо с нео которым радиусом сходимости )с.
Возвращаясь к переменному г, найдем, что область сходимости ряда (3.8"') есть круг (рис. 26) радиуса )с с центром а (точнее, внутренность этого круга плюс, быть может, некоторое множество точек окружности). Этот круг называется ируРнс. 26. Рнс. 27. гом сходимости ряда (3.8"'), его радиус — радиусом сходимости (при )с =+ со получаем всю плоскость, при гс = О круг вырождается в точку а).
Внутри круга сходимость ряда (3.8"') — абсолютная. Рассмотрим рял ... + "„+ .. +='+Ао+Аг(г — а)+ ... + А„(г — а)" +... или ~ А„(г — ' а)". (3.8"") Полагая ч=г — а, превратим этот ряд в ряд ~~Р~А„ч". Если он имеет кольцо схолимости г ( ! " ( ( )х, то область сходимости ряда (3.8"") будет кольцом, ограниченным 120 [гл. Им АИАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ э 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Для любого комплексного числа я определим функции е', сиг, ай я, созз, Мпл как суммы тех степенных рядов, в которые разлагались эти функции, когда переменное г было действительным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
