Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 10
Текст из файла (страница 10)
13. скость Оху (рис. 13). Если на 5 выбрана сторона, обращенная в сторону возрастания г, то (рис. 13) ~~~~ Й (»и гр ".;) (Я»). „= '~, )с [»и тю г(»п ти)[ ар откуда после перехода к пределу получаем: '[ [ )» (х, у, г) г(х г(у = / ~[ )» [х, у, я (х, у)[ г(х г(у. Аналогичные формулы получаются для поверхностных интегралов по другим парам переменных. Итак, ') Р(х, У, л)пУ»(г= ~ / Р[х(У, г), У, я]пУ»(а (2,32) [где 5 — кусок поверхности х = х(у, я) и А — его проекция на Оуя[; О Я(х, у, г)лг~1х ==-ОО[х, у(я, х), я[плох (2 33) л 81 $ 7] поввгхностныв интегглты [где Я вЂ” кусок поверхности у =у(г, х) и А — его проекция на Огх]; '[ ] гс(х, у, г)г(хг[у=[ *] те [х, у, д(х, у)]ттхг[у (2 34) [где Я вЂ” кусок поверхности х =г(х, у) и А — его проекция на Оху].
Заметим, что вывод формул, выражающих поверхностный интеграл через обыкновенный двойной интеграл, дает одновременно доказательство существования поверхностного интеграла, если существование обыкновенного двойного интеграла считать известным Преобразование поверхностного интеграла в обыкновенный двойной интеграл (общий прием) Пусть Я вЂ” кусок поверхности, заданный параметриче- скими уравнениями х=х(и, е) ] у =у(и, о) ), г=г(и, ю) ] где (и, о) пробегает область Ь на плоскости Оио (функции, стоящие в правых частях, предполагаются непрерывными вместе с их частными производными первого порядка). Предположим сперва, что кусок Я может быть пред- ставлен уравнением г = у(х, у), где г" — однозначная не- прерывная функция, и пусть А — проекция 5 на плоскость Оху. Тогда г(и, о)=-7 [х(и, о), у(и, о)].
В силу (2.34) и правила замены переменных в двойном интеграле (еслн соответствие между о и А прямое, т. е. сохраняющее направления обходов) ~ Й (х, у, г) гт'х с[у = ~ ~ тс [х, у, у (х, у)] г[х ау = ~ гс [х(и, и), у(и, о), г(и, ю)] " - тит[о. (2.34') и Эта же формула верна, если Я окажется куском цилин- дрической поверхности с образующими, параллельными 6 Зии 1Зы П 11. Рииииоисьиа 82 [гл.
п ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ у(и, о) =ср [х(и, о)), откуда — = ср (х) —, ду, дх до до' и, следовательно, в якобиане †' — строки пропорциод(х, у) нальны. В общем случае Я можно разбить на части, подходящие под один из рассмотренных двух типов (мы ограничиваемся такими поверхностями 5). Тогда Ь разобьется на соответ- ствующие части.
Применив к каждой из частей формулу (2.34') и складывая полученные равенства, получим фор- мулу (2.34') для всего куска Я. Аналогичные формулы получаются для поверхностных интегралов по другим парам переменных. Итак, ду, дх ди ди — == р'(- )— Р(х, у, г)дуссг = ~ ~ Р(х, у, 8 'Ь* ~ ~ (,с(х, у, г)с(г ссх = — ~ ~ я (х, у, *8 Ь ~ ~ ст(х, у, г)с(хссу= ~ ~ ст(х, у 8 Ь откуда ~ Рссуссг+ Яс(гссх+стссхс(у = г) — — ' — — ди сстс, д(у, г) д(и, о) г) ' с(и с/о, д(г, х) г) ' сси лсо, д(х, у) д(у, г) + Р Я )Р' дхду дг ди ди ди дхду дг до до до + д(г, х) + д(х, у) [ „ д(и, о) д(и, о)) (2. 35) при надлежащем выборе стороны поверхности 5, оси Ог, так как тогда обе части формулы равны нулю. д(х, у) Правая часть равна нулю вследствие того, что ' =О.
д (сс, о) Последнее равенство легко обнаружить. Пусть, например, уравнение названной цилиндрической поверхности есть у=ср(х), тогда $8) ФОРМУЛА 06ТРОГРАДСКОГО Пусть, в частности, имеем кусок поверхности г =у(х, у), где х, у пробегают область А плоскости Оху. Тогда формула (2.35) дает (здесь х, у играют роль и, о): Р О ') Рдудг+Одайх+)т г(хг(у = 3 О 1 дх ду= = ') ) (- — рР— ОО+Я)дх ду, (2.36) А дУ дУ где р= —, д = — — и поверхностный интеграл дх' ду верхней стороне поверхности. берется по и 8. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 'Ю А г ~ Я (х, у, г,) — й (х, у, л,)) дх Ну = А ~ ~ Ядхг(у+ ~ ~ )тйхг(у, Эта формула преобразовывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности в тройной интеграл по области, ограниченной этой поверхностью. Пусть В в замкнутая область, ограниченная замкнутой поверхностью Я, а Р(х, у, а), О(х, у, г), гс(х, у, л) — непрерывные функции с непрерывными частными производными первого порядка на В. Сперва предположим, что О ограничена снизу поверхностью а =х,(х, у), 'сверху — поверхностью г =г,(х, у), с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Ог, вырезающей на плоскости Оху площадку А (рис.
14). Тогда Я будет состоять из куска 5, поверхности г =х,(х, у), куска 8, поверхности г =г,(х, у) куска 8з цилиндрической поверхности с образующими, параллельнымн оси Оа. Имеем: 1гл. п ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ где интегрирование происходит по нижней стороне 5, и по веРхней стоРоне Оя. 7)обавляя О 7с г1х г1у к правой части последнего равенства, мы не нарушим его, так как 07с'для =01 следо- вательно, ~ ~ — дх с1у саул = ~ ~ й сУх сну, (2.37) где в правой части интегрирование происходит по внешней стороне замкнутой поверхности Ъ. Рис. 14. В общем случае В можно разбить на конечное число частей рассмотренного выше типа (мы ограничиваемся рассмотрением областей В, которые допускают такое разбиение). Применяя к каждой из частей формулу (2.37) и складывая полученные равенства, найдем, что (2.37) будет справедлива для рассматриваемой области (так как интегралы по перегородкам взаимно уничтожаются).
91 ВектОРнАя 3Апись ФОРмулы ОстРОТРАдского 85 Меняя роли переменных, получим еще две аналогичные формулы: (2. 37') (2.37") Почленное сложение формул (2.37'), (2.37"), (2.37) дает нам искомую формулу Остроградского ~ Р г(у йе + сэ Вг г(х + )с дх ду = ~ ~дР+ дО+ дЛ) „ (2.38) где О в ограниченная замкнутая Рис. 15. область в пространстве (рис. 15), 8 — замкнутая поверхность, ограничивающая О, н Р, ь), гс — функции, непрерывные вместе с их частными производными первого порядка на (у, причем в лавой части формулы интегрирование происходит по внешней стороне поверхности 5. В 9.
ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Поверхностный интеграл от вектор-функции Пусть а(уИ) — непрерывная вектор-функция на двустороннем куске поверхности 5. При этом предполагается, что 5 имеет в каждой точке касательную плоскость, направление которой непрерывно зависит от точки поверхности (или же кусок 5 может быть разбит на конечное число таких частей). Выберем на 5 какую-нибудь сторону (рис.
16). Рааобьем 5 на части; пусть площади этих частей будут Яе На каждой части возьмем точку А(; и построим вектор по направленный по нормали в точке Ма к выбранной (гл. т1 ~бравы твовии поля стороне поверхности и имеющий длину ( п;! = 5;. Затем значение вектор-функции в точке Ит скалярно умножим на а; и составим сумму таких скалярных произведений ~ а(ИДи;.
Если наибольший из диаметров частей рассматриваемого куска поверхности стремится к нулю, то эта сумма стре- мится к определенному пределу, котов рый называется поверхностным инте- гралом от а(М) по выбранной сто- Я роне поверхности 5 и обозначается .о, знаком О а(М) с(тв (здесь с(вз есть 8 «ориентированный элемент поверхности»). 1тис. 16.
Поверхностный интеграл от век- тор-функции легко выражается через обыкновенный поверхностный интеграл. Зададим систему координат. Пусть Ц, ч)1, чт — координаты Мб тогда ~а(МДпт = — ~~Р ~(а (си ч)а 'Д(а;) + Ф ч +ав(Ц, т)п (Д(аД„+а,(ст, т1н "-.Д(аД,). Но (пД, (и;)„, (аД, с точностью до бесконечно малых высшего порядка равны соответственно (5Д„ч, (5;)мы (5т) „; поэтому 1пп Ха(Л1т) аг =1пп Х!а~(са тн, гД(5,)гм+ т ч +а„(са т1а (Д(5т) +а (са т11, СД(51)„„) илн ~ ) а(Л)гувз= ~ / а,с(утюг+лис(я~ух+а,с(хс(у.
(2.39) Одновременно мы получаем доказательство существовании поверхностного интеграла от вектор-функции, считая, что существование обыкновенных поверхностных интегралов уже доказано. 9 9) ввктогнля запись еогмулы остеогглдского 87 Следовательно, ~ ~ а(М)»1ю есть Рнс. 17. количество жидкости, протекающей через поверхность 5 в единицу времени. По этой причине поверхностный интеграл О а(М)дев называется потоком в векторного поля через поверхность 5. Дивергенция векторного поля и векторная запись формулы Остроградского Если 5 есть замкнутая поверхность, ограничивающая область Е), то в силу (2.39) и (2.38) (интегрируя по внешней стороне поверхности) получим: ~а(М)ейо = ~ ~ а е1уе1г+а„е1гдх+а,е(хе(у= ~ ~ ~ (~ + д-"+ д )е1хе1уие.
(2.39') Ь Определение. Дивергенцией векторного поля а (М) да» дав да в точке (х, у, з) называется скаляр — + — + — , ободх ду дг ' значаемый символом 31та. Таким образом, да, дав да» доя а = — + — в+ —. дх ду дг ' (2.40) Пусть а(М) — векторное поле и 5 — кусок поверхности. Если это векторное поле рассматривать как поле скоростей потока жидкости, то через элементарную площадку 5е (рис. 17) в единицу времени вытечет столб жидкости, объем которого есть 5;а (М,)хм = =(п;'Па(Ме) )соз(а,, а(М;)) = =а(М;)ао 88 (гл.
и ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ (2.41) Инвариантное определение дивергенции Формула Остроградского позволяет дать инвариантное (независимое от системы координат) определение дивергенцин векторного поля. С помощью теоремы о среднем для тройных интегралов находим; ~ а (лл) им йча==йт (2.42) где 8 — бесконечно малая поверхность, окружающая данную точку, ч" — объем области, ограниченной этой поверхностью. Таким образом, дивергенция векторного поля в какой- нибудь точке равна отнесенному к единице объема потоку векторного поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую данную точку.
Формальные свойства дивергенции Пусть а и Ь вЂ” векторные поля, е — скалярное поле. Тогда йч(а+ Ь)= йча+ йчЬ; (2.43) йч(суа) =~у йч а+ атад уа. (2.44) Вставляя этот символ в формулу (2.39'), получим: ~~ о(Л4)гГвг = ~ / ) Й1чаг1о. 8 л Эта формула, являющаяся векторной записью формулы Остроградского, показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью. Точки, в которых дивергенция положительна, называются источниками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, положителен). Точки, в которых дивергенция отрицательна, называются стоками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, отрицателен).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
