Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 6
Текст из файла (страница 6)
=а„[ [14а(х)[гах, а а 4 Зкк. 1944. П И. Раикиаискиа 50 [гл. ~ Ряды еугъв и интвгглл Фугьв откуда ~ у(х) ти(х) ах а а„= ь ~ [т (х)]э ах (и = 1, 2, 3, ...). (1.47) аь<рь(х)+аята(х)+ '+а~ср~(х)+ '' коэффициенты которого определены по формулам (1.47). Будем писать У(Х) а,Р,(Х)+а,еэ(Х)+... + анти(Х)+ .. или, короче, г"(х) — ~ а„р„(х). и=! (1.48) Из этого определения отнюдь не следует, что функция непременно должна разлагаться в свой ряд Фурье относительно системы (Я), а следует лишь то, что если функция разложилась в равномерно сходящийся ряд вида,~~~~ а„~рв(х), а=1 то этот ряд будет ее рядом Фурье относительно системы (Я) (но такого разложения может и не существовать!). Пример. На сегменте [ — и, я] система функций 1 —, соэ х, э1и х, соэ 2х, э1и 2х, ...
соэ лх, э1и ах, ... (Т) 2' ортогональная (см. вычисление вспомогательных интегралов 5 2). Обозначая коэффициенты Фурье какой-нибудь функции у(х) на [ — я,я] относительно системы (Т) через аэ, аь Ьь аь Ьэ, ..., аи, б„... Определение. Рядом Фурье какой-нибудь функции У(х) на сегменте [а, Ь] относительно ортогональной системы (8) назовем ряд 5 111 овтогонлльные системы екнкций найдем по формулам (1.47): 31 1 у (х) — кх 2 ае= ~( — ) а'х Г = — ~ у(х)мх; у(х) со5 лх их а„= и со55 лх ах п ! — у(х) со5 лхах; — ч (л=1,2,3...), у (х) мп лх ах д„= 51пэ лх Нх 1 — ~ у (х) 5!и лх ах которые в данном случае превращаются в формулы (1.7) 4 2.
а„= ~ 7(х)срл(х)т(х (а=1, 2, 3, ...) (1.47') а Тригонометрические ряды Фурье являются частным случаем рядов Фурье относительно ортогональных систем функций. Если функций, составляющие какую-нибудь ортогональную систему (3), умножить на какие-нибудь постоянные Л„+О, то получим снова ортогональную систему.
Коэффициенты Фурье какой-нибудь ' функции при этом раэделятся на Лл (как видно иэ формул (1.47)), члены же ряда Фурье не изменятся ( †" Лмол= ало ). В случае ортонормированной системы (3) формулы (1.47) принимают вид [гл. ~ еяды еггьв и интвгвлл фявьв В 12. МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОЭФФИНИЕНТОВ ФУРЬЕ Пусть л(х) — интегрируемая функция на сегменте [а, б]. Среднил значениелс этой функции на [а, б] называется число ь ~ /(х) дх а б — а Определение.
Пусть л (х) и Р(х) — две функции на [а, б] (для простоты будем предполагать их непрерывными). Сред- нила квадратических угслонениель л(х) от ~ь(х) называется квадратный корень из среднего значения квадрата разности этих функций, т. е. число ~ [Г(х) — Ч(х)]здх и б — а 1 Отбрасывая постоянный множитель, не зависящий Т' б — а от функций 1(х) и Р(х), иногда называют средним квадратическим уклонением г'(х) от Р(х) число ь ~ [ у(х) — Р (х)]' ах.
а Пусть имеем какую-нибудь ортогональную систему (5) функций Рг(х), 9,(х), , Р„(х), на сегменте [а, б]. Линейные комбинации из и первых функций системы (8), т. е. выражения вида слог(х)+ серь(х)+... + С,Р„(х) где с,, с,,, с„— любые постоянные числа, назовем для сокращения обобщенными полиномами и-го порядка. Экстремальная задача. Из всех обобщенных полиномов и-го порядка найти тот, который имеет наименьшее среднее квадратическое уклонение от данной функции л(х).
$12[ минимлльнов свойство коэффицивнтов еьвьв 53 Вопрос сводится к отысканию таких с,, с,, ..., с„, для которых ь ьь з ~ ~ у(х) — ~ьа сеть(х)~ аьх а Ь=1 будет наименьшим. Не нарушая общности, можем считать систеиу ортонормированной (в противном случае умножением на нормируюшие множители мы достигнем этого). 1!меем: Ь и / ~У(х) — ) сьььь(х)~ дх = а а=1 ь и и ( [ ьс(х)]ь + ~~~ сь [ьгьь (х)[а — 2 ~~~ сььс (х) ьгь (х) + а 1 1 + 2 ~ сьс,ьуь(х) ьь1 (х) ~ дх = Ь<1 ь и ь =- / [Дх)[ь ах+ ~> сг, / [ьуь(х)]'с(х— а а п ь ь — 2 ~ ск / У(х)аь(х)ах+ 2 ~~ сьс, ~ ьуь(х) ььь(х)аьх=— а а<1 а ь и и = [ [ь(х)]ьс(х+ ~~ сь — 2 У сьаь= а ! 1 ь и и = ~ [1(хь)]ас]х — Ъ.аь+ ~) (сь — аь)ь, (1.49) К=ь ь учитывая, что ~ [ьуь(х)1'ьгх=1 [так как ь]ьгь(х) — нормироь ванные), ] ььь(х)ьу!(х)с(х=О при )ь Ф1 [так как ьь(х), и 54 [ГЛ. 1 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ~ (с„— ай)г й=1 бУдет минимальна, т.
е. пРн с,=а1, с,=а„..., си=пи. Итак, из всех обобщенных полиномов и-го порядка вида с11Г1 (х) + сг1гг (х) +... + си1РР (х) наименьшее среднее квадратическое уклонение от данной функции Д(х) имеет и-я частичная сумма ряда Фурье относительно ортогональной системы (8), т. е. тот обобщенный палимом и-го порядка, коэффициенты которого суть коэффициенты Фурье функции 7'(х) относительно системы (Я). Из формулы (1,49) находим: ь и г ь и ш[п ~ [7(х) — ~„сйуй(х)~ с(х= / [7(х) — ~~ айей(х)~ с(х= и й=1 а й=1 = ~ Ях)[гс(х — ~1 айл (1.50) так как средняя часть (1.50) неотрицательна, то и ь ~~'„а11 .
~ [7(х)!гс(х, откУда следУет, что РЯд ~лай сходитсЯ и имеет место не- 1 равенство Бесселя: ь ~~)„ай: ~ [7 (х)]г с(х. й-1 и (1.51) ь 4г(х) ортогональны[, ~ 7(х)ей(х)17х=ай в силу (1.47'). а Мы видим, что интеграл будет минимальным, когда 121 минимальнОВ сВОйстВО коэФФициентоВ ФУРье 55 Если система (Я) ортогональная (но не обязательно ортонормированная), то (1.51) следует заменить неравенством ь — ( ~ [~(х)1' г(х, к=! л а (1. 51') получим как частный случай решенной экстремальной задачи (когда в качестве системы (5) берется тригонометрическая система (Т)1 следу!ощип результат.
Из всех тригонометрических полиномов п-й степени наименьшее среднее квадратическое уклонение на ( — к, я) от заданной на этом сегменте функции 1(х) имеет тригонометрический полипом — "+ ~~! (а„соа !ах+ 0„51п ггх), л=! коэффициенты которого определяются по формулам Фурье (1.7) из й 2. где Лл — ноРмиРУющий множитель длЯ Рл(х) (ибо, беРЯ ЛА!~„ вместо ры мы должны взять — вместо а„). аь л„ Называя тригонометрическим полиномом и-й степени функцию вида — + (СЬС05ЙХ+Ггла!П гзх), 2 ь=! ГЛАВА !! ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ й 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Веклторож называется направленный отрезок прямой.
Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину, параллельны и одинаково направлены. В печати векторы часто обозначают полужирными буквами. Например, буква а обозначает вектор в отличие от скаляра (числа) *). Длину вектора а будем обозначать )а!. Угол между векторами а и Ь обозначим (а, Ь). Угол между векторами берется в границах от О до к. Угол между а и Ь теряет определенность, если хотя бы один из векторов нулевой. Проекцию вектора а на ненулевой вектор Ь обозначим аь. Имеем аь —— !а!соз(а, Ь). Суммой векторов а и Ь называется вектор — диагональ параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, и обозначается а.+Ь.
Сложение векторов подчиняется перестановочному закону а+Ь= Ь+а и сочетательному аакону (а+Ь)+с=а-+(Ь+с). Из этих законов следует, что при сложении векторов допустимы изменение порядка слагаемых и любая группировка слагаемых. Вычитание векторов есть действие, обратное сложению. '") Иногда вектор записывается символом АВ, если А есть начало вектора, а  — конец его. й 1] основные свядиния из ввктогнои ллгввгы 57 Произведение вектора а на скаляр Л, обозначаемое аЛ или Ла, определяется как вектор, параллельный а, одинаково или противоположно направленный, смотря по тому, будет ли ).)О или (О, имеющий длину [аЛ]=[а][Л[. Произведение вектора на скаляр подчиняется сочетательному закону аЛ р = а Лц (а в вектор, ) и й — скаляры) и двум распределительным законам; (а+ Ь) Л = аЛ+ Ь>с а(Л+ р) = =аЛ+ар (а, Ь вЂ” векторы; Л, й — скаляры).
Скалярное произведение двух векторов а и Ь есть скаляр, обозначаемый аЬ и определяемый формулой аЬ = [а[[Ь [сов(а, Ь). Очевидно, аЬ = аз[ Ь[. Скалярное произведение векторов подчиняется перестановочному закону аЬ = Ьа и распределительному закону (а+Ь)с= ас+Ьс. Векторное произведение двух векторов а и Ь есть вектор, обозначаемый [аЬ[, имеющий длину, равну|о площади параллелограмма, построенного на а и Ь, ортогональный плоскости этого параллелограмма и направленный так, что видимый из конца вектора [аЬ] переход от а к Ь происходит в положительном направлении (в случае правой ориентировки).
Векторное произведение двух векторов подчинено антикоммутативному закону [аЬ] = — [Ьа] и распределительному закону [(а+Ь) с[ = [ас] + [Ьс]. Произведение трех векторов а, Ь и с, обозначаемое (аЬс), есть скаляр, равный - Ь", где ]' — объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с, причем знак - берется в зависимости от положительной или отрицательной ориентировки системы рассматриваемых векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
