Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При круговой перестановке множителей оно не меняется: (аЬс)= (Ьса); при перестановке двух множителей меняется знак: (аЬс) = = — (Ьас). Произведение трех векторов равно смешанному векторно-скалярному произведению (аЬЬ) = [аЬ] с = а [Ьс[. Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве (правую).
Пусть 7, ~, Ь вЂ” едини шые векторы (орты), направленные по осям Ох, Оу, Ог, Пусть а — какой-нибудь вектор. Проекции его на Ох, Оу, Од (или, что то же, на 1,у, Ф) называются его координатами. Координаты а обозначим а., аю а,. Два вектора равны тогда и только тогда, [гл. и основы теогии поля аЬ = а„Ь + аиЬ„+ а,Ь„, (2.1) что непосредственно получается, если а и Ь разложить по ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять во внимание, что см = — /' = Ье = 1, 1у'= [Ь = Ь1 = О. Выражение векторного произведения векторов а и Ь через их координаты имеет вид Ь„Ь, Ь, Ь Ь Ь„ что непосредственно получается, если а и Ь разложить по ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять во внимание, что [й[ = [.0[ = [ЬЬ[ = О (нулевой вектор); [(У[ = Ь; [гй[= с; [И[= г'; [г([= — й; [Ьт[= — с'; [ай[= —,у.
Выражение произведения трех векторов а, Ь, с через координаты на основании сказанного имеет вид аЬс= [аЬ[с= [аЬ[„с + [аЬ[иси+ [аЬ[,с,= а„аи а, ~с с„с, (2.3) и 2. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО Пусть а(г) — вектор, зависящий от скалярного переменного 1. Производная векторной функции а(С) определяется как вектор а'(С) = 1пп — = 1пп да (т) . а (г+ аг) — а(1) лг- о дт ьг- о аг когда их координаты соответственно равны. Поэтому для доказательства равенства двух векторов достаточно установить равенство соответствующих координат.
Всякий вектор а может быть разложен по оргам: а= са + уаи+Йа,. При сложении векторов координаты их складываются (при вычитании вычитаются), при умножении вектора на скаляр координаты умножаются на этот скаляр. Выражение скалярного произведения векторов а и Ь через их координаты имеет вид 2[ вв«тогныв еянкцнн с«ллягного пвгвмвнного 59 (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) причем в левых частях (2.4), (2,5), (2.7) фигурируют производные векторных функций; в левой части (2.6) — производная скалярной функции; в правых частях (2 4), (2.5), (2.7) знак+ обозначает сложение векторов; в правой части (2.6) знак+ обозначает сложение скаляров.
Если аз в постоянный вектор, ее в постоянный скаляр, то получаем ряд формул «вынесения постоянного множителя за знак производной» в произведениях трех типов (вектор на скаляр, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов): (а(г) ро)' =а'(г) мв; (2. 5') (аор (т) ) = азр (г) (2.5") (аоЬ (() ) ' = аоЬ' (С) ' (2.6') [а,Ь(т)[' = [аоЬ'(С)]. (2„7') Этн формулы получаются нз (2.5), (2.6), (2.7), если учесть, что производная векторной постоянной есть нулевой вектор. Производные высших порядков от вектор-функций определяются как результат последовательного дифференцирования. Рассмотрим систему прямоугольных координат в пространстве.
Каждой точке Л4(х, у, а) отнесем вектор г =-[х + уу + Ьз с такими же координатами. Такое если этот векторный предел существует (предел переменного вектора есть такой вектор, что длина разности между ням и переменным вектором стремится к нулю). Если вектор-функция а(г) имеет производную (дифференцируема), то она подавно непрерывна в рассматриваемой точке, т. е. а(г-т цг) — а(г) стремится к нулевому вектору при цг — +О. Правила дифференцирования векторных функций выводятся как правила дифференцирования скалярных функций в дифференциальном исчислении. Если а(г), Ь(т) — дифференцируемые векторные функции, е(г) — дифференцируемая скалярная функция, то (а (г) + Ь (г) )' = а' (~) + Ь' (г); (акр (т))' =а'(() ср(т)+ а(т) ср'(т); (а (т) Ь (т) )' = а' (() Ь (() + а (г) Ь' (г); [а (() Ь (()[' = [а' (() Ь (()[ -+ [а (() Ь' (()1, 60 ]гл.
и Основы твогии поля соответствие между точками и векторами будет взаимно однозначным. Таким образом, каждой точке соответствует вектор, камгдому вектору соответствует точка. Векторное параметрическое уравнение г = г (г) ]г (1)— векторная функция одного скалярного переменного] после перевода на координатный язык дает три координатных параметрических уравнения х = х (г), у =у(г) > ] в =в(г) и изображает некоторую кривую в пространстве. Производная г'(Г) будет касательньщ вектором к этой кривой. Векторное параметрическое уравнение г=г (и, О) ]» (и, в)— векторная функция двух скалярных переменных] после перевода на координатный язык дает три координатных параметрических уравнения х= — х(и, О), ] у=у(и, и), л=г(и, О) и изображает некоторую поверхность в пространстве.
в 3. сОпРОВОИДАюЩий тРехГРАнник пРОстРАн- СТВЕННОЙ КРИВОЙ Рассмотрим пространственную кривую, заданную векторным параметрическим уравнением г =- г (л), гда за параметр взята длина дуги ж отсчитываемая от некоторой точки кривой (фигурирующая в этом уравнении вектор-функция предполагается трижды непрерывно дифференцируемой).
Касательный вектор т =-г'(з) при таком выборе параметра будет единичным для всех точек кривой (ибо отношение хорды к дуге при стягивании последней в точку стремится к единице). Дифференцируя равенство г' == 1, получим г'г" = О, следовательно, вектор г" ортогонален ф 3) сОпРОВОждАющий тРехГРАнник пРОстРАнствен. кгивой 61 Дифференцирование равенств т' = 1; ч' = 1; рг = 1 вает, что см- — — О (1=1, 2, 3); дифференцирование тч= О; чр =-О; рт=-О показывает, что сО+с)2 —— =- 1, 2, 3); наконец, из определения ч видно, что с„ ) О; следовательно, если обозначить с>2 —— К то вышенаписанные рвало>кения примут вид показы- равенств О (ь, у'=- с 2=0; С22 Х ч' = — ят йч, +хр, (2.8) Формулы (2.8) называются Формулами Серре — Френе, величины й и я называются соответственно кривизной н кручением пространственной кривой (в рассматриваемой 1 1 точке).
Обратные величины — и — называются соответй к ственно радиусом кривизны и радиусом кручения кривой (в рассматриваемой точке). г" з' Единичный вектор ч = — „= —,(если г" — ненулевой вектор) определяет направление главной нормали кривой (в рассматриваемой точке); единичный вектор р = (тч! определяет направление бинормали кривой (в рассматриваемой точке). Три попарно ортогональных единичных вектора 2, ч, р образуют соароеождающий трехгранник кривой (в рассматриваемой точке). Плоскости, проходящие через рассматриваемую точку кривой и перпендикулярные к т, ч, р, называются соответственно нормальной, сарямляющей и соирикасающейся плоскостями кривой (в рассматриваемой точке).
Заметим, что если еы е,, е, — три попарно ортогональных единичных вектора и вектор а разложен по ним: а = с„е„ + сге,+ с,е,(с; — скаляры), то, умножая это равенство скалярно на ео получим ае; = с; (1 = 1, 2, 3). Разложим теперь производные векторов, образующих сопровождающий трехгранник, по векторам, его образующим: сз>т + с> ч+ с>зг ч' = с„т+ с„ч+ сгзр; !3' = сз>т + сз2ч + сзз(з. 62 [гл. и основы твовии поля С помощью (2.8) находим: г' =ай г" = т' = Езч; г"' = и'э+ 'мч' = Ез'ч+Й ( — Ест+яр) == — Есат+Ез'э+мир; (г'гмгм) = [г'г" [ г" = ф ( — lгат + И 'э+ Еех[~) = йзх; следовательно, для кривизны и кручения пространственной кривой получаем формулы й = ~'г"', (г'г" У") г Пусть теперь пространственная кривая задана векторным параметрическим уравнением г =и(Е) (2.9) г Ул л ° га ла. г = г"за+ Уа = йаач+ ат; [гг[ = Езла~; [гг[а = Ес'аз г = г"аз+ Ъгма а + г'з; (ггг) (гсУг ) ав Есакае.
отсюда вытекают формулы для кривизны и кручения пространственной кривой при любом выборе параметра (в точках, где г — ненулевой вектор): [г г[а гз гз — (г г)я (га)з (га)а (ггг) (ггг) [г г[а г'г' -- (г г)' (2.9') при любом выборе параметра Е (фигурирующая в этом уравнении вектор-функция предполагается трижды непрерывно дифференцируемой). Пользуясь для обозначения производных по Е точками и сохраняя для обозначения дифференцирования по з штрихи, будем иметь (учитывая -правила замены переменных при дифференцировании, формулы Серре — Френе и свойства определителей): ф 4) скллягнов поля. ггадивнт скллягного поля 63 и 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ дР Г т(М,) — т(М) да лг и ММг (2.10) где М, лежит на луче, выходящем из М по направлению и.
После введения координат Р(М) становится функцией трех переменных Р(х, у, г). Предположим, что эта функция имеет непрерывные частные производные первого порядка, Пусть а, 3, .( — углы направления и с Ох, Оу, Ог. Полагая ММ, =р, перепишем формулу (2.10) в виде д9 1.
9(х+ Рсоа«, У+Р сов Р, г+Р сов т) — т(х, У, г) 2 10 дн Р или — =!пп ~ Р) ' ) =ф'(О), дл .р О р где Ф(р)= р(х+рсова, у+рсовр, 'г+рсовТ), формула полной производной дает ф'(р) «Р (х+ р сов а, у+ р сов л, г+ о сов Т) сов а+ + ~р„'(...) сов 3+ ср'(...) сов (; Если каждой точке М некоторой области пространства отнесен скаляр Р(М), то образуется скалярное поле. Если задать систему прямоугольных координат (например, правую), то каждая точка М будет иметь некоторые координаты х, у, г и функция точки у(М) станет функцией трех переменных ~р(х, у, г). Определение. Пусть и — какое-нибудь «направление» (и обозначает единичный вектор). Производной по направлению и в точке М от скалярной функции м называется предел (если он существует) отношения приращения м при смещении точки М по направлению и к величине смещения точки М, когда последнее стремится к нулю.
Производная по направлению и обозначается —. Таким образом, поопредя дл ' делению 64 (гл. и ОснОВы твогии поля следовательно, 4г' (О) = 4~ (Х, у, 2) СОВ СГ + О,' (Х, у, 2) СОВ 3 + гв' (Х, у, 2) СОВ т или — = — — сов а+ — соз 2+ — соз (. дя дт дв „ дт дл дх ду ' дв (2.10") Определение. Градиентом скалярной функции о в точке М называется вектор игад в =- г' — +/ — + вг —. .дт дт дя дх ду дв ' (2.11) Возьмем какое-нибудь направление и (и — единичный вектор); пусть а, ~, ) — его углы с координатными осями; тогда и= — гсоза+усоз'р+)всоз (. На основании формулы (2.1), выражающей скалярное произведение векторов через координаты, имеем: дгаЙ 4 и = — сова+ — соз 8+ — сов.(. дв дт дт дх ду ' дв Следовательно, учитывая (2.10"), получим: д — ' — — дгаг( гу п = (Кгаг( р)„, (2.12) т.
е. производная по какому-нибудь направлению п равна проекции градиента на это направление. Отсюда получаем следующую инвариантную характеристику градиента: направление градиента характеризуется тем, что производная по атому направлению будет наибольшей (среди производных от о в данной точке по всевозможным направлениям); длина градиента есть наибольшая из производных по направлениям в данной точке. Имеем ~ егаг( т ~ 3/ (д ) + (д ) + (д ) гпах д ' (2.
13) Поверхности уровня скалярного поля Геометрическое место точек, в которых гу(М) имеет постоянное, значение, называется поверхностью уровня. После задания системы координат уравнение поверхности уровня принимает вид: т(х .у, 2) =С.
$ 4) скллягнов полк. гглдивнт скллягного поля 65 Уравнения нормали к этой поверхности в точке х, у, я будут: Х вЂ” х и' — у Š— г дх ду дх Отсюда видно, что направление нормали совпадает с направлением градиента в рассматриваемой точке. Формальные свойства градиента Пусть ср и ф — два скалярных поля, имеющих градиенты; 7 — дифференцируемая скалярная функция одной или нескольких скалярных переменных (с надлежащей областью определения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
