Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1 1О гяды езяьв и интвгглл езвьв й л гйп тх гйп их йх = — ~ соя (т — и) халяв 2 — е — л 1 й ( О (твьи), — — ) соз(т+и)хах=~ (1А) 2 .) ( п (т=и); к и 1 51п ис х соз их ссх = — — ~ 51п (т — и) х с(х + 2 -к л + — ~ з1п (т+ и) х дх — О, 1 (1.5) — и причем при выволе формул (1.3) и (1А) использовалась формула (1.1), при выводе (1.5) использовалась (1.2). Предположим теперь, что функция Дх) оказалась такой, что для нее нашлось разложение в равномерно сходящийся ряд указанного выше вида: У(х) = — ~+ (а, соз х+ Ь, з1п х)+ (а, соз 2х+ Ь, з(п 2х)+...
... -+ (а„соз их+ Ь„з(п их) +... (1. 6) Почленное интегрирование в пределах от — " до (законное в силу предположенной равномерной схолимости) с учетом (1.1) и (1.2) лает: Ф к л .! п,ы =-ь ~ ~,+(„)'-, а +ь ) ы. а )~ 2,1 и -ь(. ~ ° 2*0*-ьь, 1 ~ 2 ш ) — ~-... — д — и ~ ..., а,~-Ь. ) ыь *а*)-Ь.. = — ч 5 21 гяды егвьв для етнкций с пвгиодом 2я 11 Умножая (1.6) на сових и интегрируя почленно от — и до и, с учетом (1.1), (1.3) и (1,5) получим: У'(х)созихл»х= — ' 1 сов пх г1х+ 2 » -л ) ° ° ° » +», (», ...
*» 1». л » — ~2*»»ь,)»2»1»-... -» -» — ) °,, »+...=, „. — л Аналогично, умножая (1.6) на з1пих и интегрируя почленно от — я до и и учитывая (1.2), (1.4), (1.5), получим: 7 (х) з1п их»7х= яб„. Таким образом, 1 ! ае =- — ~ у'(х) г(х, 1 а„=- — ~ 7(х)сов пхг7х (и= 1, 2, 3, ...), (1. 7) Ь„= — ~у(х)а1ппх»Хх (л= — 1, 2, 3, ...).
1 -л Определение. Пусть г (х) — функция с периодом 2я, имеющая на сегменте ( — к, я] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на этом сегменте гады екгьв и интвггАл еягьи (гл. 1 (тогда она будет абсолютно интегрируема на всяком сегменте). Рядом Фурье этой функции называется ряд 2 + ~а (ит, сов их+ Ья э1п их) коэффициенты которого определяются по формулам (1.7), При этом пишут: У(х) 2 + ~,~ (и„соз их+ йя 51п их). (1.8) и=-т П р н м е ч а н н е. Вместо функций с пернодоч 2я можно рассматривать функции, опрелеленные лишь на сегменте ( — я, я) н удовлетворяющие отмеченным требованиям. Определение ряда Фурье для такой функции будет то же самое.
Необходимо отметить, что из определения ряда Фурье отнюдь не следует, что функция должна разлагаться в свой ряд Фурье. Из сказанного выше следует только, что если некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (1.8), то этот ряд будет ее рядом Фурье. Доказательство разложимости функции в свой ряд Фурье в точках дифференцируемости Имеем для любого х„: 1 а„сов ихв+ Ь„э1п ихо =- — ~ 7(х) сов их их ° соя ихо+ -я 1 + ~ 7(х) 51п их их з!п ихо 1 — ~ 7(х)(сов ихсозихе+гйп ихз1пихе) Нх= à — ~ У(х)сови(х — х )т1х; $ 21 Ряды йтйьв для атнкций с пвгиодом 2п 15 ЯМ (ХП) 2 + ~~ (Ип Сиа ПХП + Ьи Я1П ПХО) У И ~-1 .
1 яСт .„„1 1 — Е( (На 1) а — +~, Е!па= +,'Э Е(аа= — — + 2 21 2 21 2 1 еяа 1 (Же!) а) (1 — 1а) — + 2 ~ 1 — е'"!и 1 1 — е !"-(-е(а" — е((н' ')" 2 + (! — соя а)я+ я!пя а поэтому У 1 ~~ 1 1 — соя а+сояМа — соя (И+1)а — + еысояиа — — — + 2(1 — соя а) и=1 1~ я!и Х+ — а соя Ма — соя(Я+ 1) и ! 2/ 2(1 — соя а) 1 2 я)и — а 2 Следовательно, при любом хп имеем: 1! я(и (й! + — 1! (х — хя) 2) ((х = 2 мп — (х — х„) я(и (М+ — ) х + х) 1 — с(х 2 я1п — х 2 Л„(хп) = — ~ Г(х) 1 Г и 1 Г Г (1.8') К Заметим далее, что — + '~ соя иа является действительной 1 2 и=1 частью выражения [гл.
! Ряды Фурьн и интвгрлл Фурье (второй интеграл получен из первого заменой х на хе+ х с учетом периодичности у). Применяя эту формулу к случаю У'(х) = 1, получим: з!Я(М+ — )х 2мп — х — а 2 (1.8а) Умножая (1.8а) на Г(х) и вычитая из (1.8'), найдем при любом хе: 1 ( +2) Вн (хе) — У(хе) = — (у(хо+ х) — у(хо)) 2 5!и — х а 2 (1. 8"') Для дальнейшего нам потребуется Лемма Римана. Если ~у (х) непрерывна на сегменте (а, Ь), за исключением, быть может, конечного числа точек и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то Ь р(х)зщухах — +О при ч — ++со.
а Доказательство. Так как соя та — соя аЬ ~ 2 ( — -о, при У вЂ” ++ со, то лемма Римана верна для г(х) =— 1 и )'(х)= — х и поэтому верна для любой линейной функции ,! (Х) — = Ах+ В. Отсюда следует, что лемма верна для любой кусочно-линейной функции (т. е. функции, график которой есть ломаная линия), ибо если ! (х) кусочно-ли- зп! '!х г(х а ь хз(пчха!х — ~ а а соз ча — Ь соя. Ь я!и чЬ вЂ” з!и ча ~ ч ° Р й 2] гяды егвьв для етнкций с пвгиодом 2к 15 пейна на [а, Ь], то найдутся такие числа с„: а =се( с, ( < се « ... с„= Ь, что У (х) линейна на каждом [сл „ся]; а тогда ~ у(х)5!Птхс(х= ~ +~ + ° ° ° + ~ -+О прн ч-++со, а а, ев-е ибо по доказанному каждое слагаемое правой части стремится к нулю. Далее заметим, что любая непрерывная функция на ]а, Ь] может быть как угодно хорошо аппроксимирована кусочно-линейной функцией.
Действительно, если Г(х) непрерывна на [а, Ь], то она равномерно непрерывна на [а, Ь], т. е. для любого е ) О найдется такое т) ) О, что при любых х' и х" на [а, Ь] из ]х" — х'] < е] следует ]у(х") — У(х')[ ( е. Возьмем числа се = а ( с, ( ... < с, , < с„ =-. Ь так, что все с„ — с„ „ < ть и пусть е (х) обозначает функцию, график которой есть вписанная в график функции у(х) ломаная, вершины которой имеют абсциссы с,; тогда для любого х на [а, Ь] будет ] т (х) — 7(х) ] ( е, так как если число х попадает на частичный сегмент [сл, с„], то е(х) лежит между е(с„,) и е(сл) (ибо т линейна и, следовательно, монотонна на [с„,, се]), поэтому число ср(х) — у(х) лежит между е (сь,) — у (х) = ) (се е) — ( (х) и е (с„) — у (х) = ( (сл) — у (х), модули которых ( е, и поэтому тоже будет иметь модуль ( е. Теперь легко показать, что лемма Римана справедлива для любой непрерывной функции у(х) на [а, Ь].
В самом деле, по доказанному для любого е ) О найдется такая кусочно-линейная функция .р(х), что ] т (х) — Х(х)] ( — на [а, Ь], Так как для кусочно-линейной функции лемма Римана справедлива, то при достаточно большом т будем иметь: ь !' с(~ (х) 51п тх с(х ( —, 2' !6 гяды екгьв и интвгглл етяьв [ГЛ. 1 но тогда У(х) 51п чХ аЧХ ( а ь + ~ [Ч(Х) 51ПЧХЧЧХ а [у(х) — 1й (х)[ 5!п чх1(х + а Ч 6 ( ((ч — а)+ — =5 2 (Ь вЂ” а) 2 и, следовательно, ь у(х) 5!п Чхг(х-+ 0 при ч-++ со.
а Так как лемма Римана для непрерывной функции справедлива, то при достаточно большом ч будем иметь: с-6 ь Ч (Х)5[пчХачх ( —; Г(х) 5(пчх11Х 3' 3 ' но тогда ь / у(х)5(пчхг[х ( ~ у(х)5[пчхачх + ~ [у(х))ачх+ ь Ч Е $ + ~ у(х)5!пчхг(х -' — + — + — =е; 3 3 3 Чч-1 ь следовательно, ~ !'(Х)5[пчхачх-+О при ч — ++со. Аналогичное рассуждение проводится в случае, когда у(х) имеет несколько точек разрыва на [а, 11[. Лемма Римана доказана. Пусть теперь у(х) имеет одну точку разрыва с, а < с < Ь. Так как ч(х) абсолютно интегрируема на [а, !)[, то для любого е > 0 найдется такое 3>О, что СЧЧ 2 2[ гяды етгьв для еэнкций с пвяиодом 2п 17 Предположим теперь, что 7(х) дифференцируема в точке хо и 7(хо) =О.
Тогда из (1.8") находим: к Ян (хо) = — ' з!и [И+ — [хах, /' у (хо+ х) . Г 2 з!и — х 2 а так как у(хо + х) у(хо+ х) х ! х 1 7 (хп) ' 1 7 (хе) 2 и!п — х 2 2 и!п — х 2 при х -+ О, то после надлежашего доопределения в точке х= О функция со(х) =— У(хо+х) ! становится непрерывной 2 а!п — х 2 в этой точке и, очевидно, находится в условиях применимости леммы Римана на [ — тн и]. Поэтому Ял(хо)= [ со(х)я!и [И+ 2 [хг(х-вО при И-++ос, Пусть теперь 7(х) дифференцируема в точке хо, имея в ней какое угодно значение. Положим 7(х)=7'(х) — 7(х).
Тогда частичные суммы ряда фурье этой функции будут 5н (х) = Зн (х) — !'(хо). Так как г(х) дифференцируема в точке хо и 7(хо)= О, то по доказанному Зм(хо) -+ О при И вЂ” + -+ со, т. е. Ям (хо) — 7'(хп) О при И + и, следовательно, г(хп) = 1!ш Ян(хо) =- — '+ ~ (лисов ихе+ (к„з!лихо). дс -ми-со Итак, доказана Теорема.
Если функция Дх) с периодом 2п имеет на сегменте [ — и, и[ не более конечного числа точек разрыва 2 Зак. !э!с и. и. Романовский 18 (гл. г Ряды Фувьв и ннтвггдл Фхвьв и абсолютно иитегрируема на этом сегменте, то эта функция разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке, в которой она дифференцируема. П р и м е ч а н и е. Доказанное достаточное условае представимости функции своим рядом Фурье отнюдь не является необходимым. Представление функции своим рядом Фурье будет иметь место и при значительно более общих предполоткениях. Отметим, например, без доказательства, что если у(х) удовлетворяет условию Дирихле на ( — т., я) а), то у(х) разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке непрерывности, а в точках разрыва х ряд Фурье У (х — О) + У (х + 0) сходгпся к — ' .
Отсюда следует, что разложение 2 рассматриваемой функции в ряд Фурье имеет место во всех правильных точках, т. е. в точках х, где 1(х — 0) + у (х+ 0) 2 и 3. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2я Пусть У(х) — функция, удовлетворяющая условиям определения 2 2, и пусть ряд -а + ~~~~ (аи соз пх+ Ьв з! и их) я=т является ее рядом Фурье.
Преобразуем общий член этого ряда с помощью формул Эйлера (выражающих косинус и синус через показательную функцию). Имеем: егях+ е-гнх еглх — е — тих ах соя ах+ Ьяз1п ах =ах 2 + Ья 2! егих+ е-гнх елях е-тих =- ая - 2 — Ьби + 2 а стах+ е — слх — с е1ях+ с аа — ~б„т он+ гба где аи+ Гби аи — М„. си= 2 х) Говорят, что функция удовлепюряет условию Дирихле на некотором сегменте, если этот сегмент можно разбить на конечное число частей так, что внутри каждой части функция монотонна н ограничена.
КОМПЛВКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬВ К вЂ” + ~ (а, С05 иХ+ Ею 51П иХ) = а=1 Ю К =с„.+ ~„(с„е™~+с „саа)= д с„ееа . Лля новых коэффициентов с„получаем формулы (учитывая формулы для а„и Ь„) а„— И„ с„= /! — — у (х) соя их сгх — г — ~ у (х) 51п их с(х — ! у(х)(сових — аяпих)с(х= — с! 1(х) е '""йх (и ) О). !' Непосредственно вилно, что эта формула верна лля и = О и для и ( О (последнее видно, например, из того, что с „ = с„, где с обозначает число, сопряженное с). По доказанному имеем в точках лифференцируемости: у(х) = 11пю — ю+ 7 (а„сових+ 6„51п их) ~2 Ле в=1 Ж 11 пю у„с„еч" и Ф сю =- РСЕРФ и аю Полагая егце с = — '-, получим для частичных сумм ряла ю 2 Фурье выражение (гл.
1 ряды аутьз и интвгяАЛ стгьв Итак, в точках дифференцируемости ,Г(х) = ~ е„е'", (1.9) где е„= — ~ Д(х)е '" йх (а=О, ь 1, с2, ...). 1 ! Правая часть формулы (1.9) представляет собой комплексную форму ряда Фурье для функции с периодом 2к. и 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Пусть Д(х) — функция, определенная на всей числовой прямой (или на каком-нибудь интервале с симметричными концами). Функция Г(х) называется четной, если для всех рассматриваемых значений х имеем Г( — х) =Д(х). Функция Г(х) называется нечетной, если имеем Г( — х) = — 1(х). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Линейная комбинация четных функций есть четная функция, линейная комбинация нечетных функций есть нечетная функция (мы называем линейной комбинацией нескольких функций всякую сумму произведений этих функций на какие-нибудь постоянные). Произведение нескольких функций, каждая из которых является четной или нечетной, будет четной или нечетной функцией в зависимости от четности илн нечеткости числа нечетных множителей. В частности, произведение двух четных или двух нечетных функций есть четная функция, произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция. Если функция Г(х) интегрируема на сегменте 1 — с, с), то с с с / Г(х) дх= ~ Г(х) ах+ / 1"(х)ах. — с -с о чвтйыв н нвчвтиыв Фуйкций Но (при замене х на — х) о с ~ 1" (х) сух = / 1( — х) сух, следовательно, / 1(х)с(х = ~ (у(х)+ у( — х))сух, откуда е 2 1 1'(х)с(х, если 1(х) — четная, у(х) сух = О, если у(х) — нечетная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
