Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(х, у, () Ж = и = Р (х, у,, ~„)+ Р (х, г, ~,) /, " + Р (х, у, г) !'=" = =Р(, у, )-+(Р(х, у, ) — Р(, у, )1+ + ( ( . у. е) — Р(х, у, хо)) = Р(х, у, х) и, (х, у, а) =-.. Я (х, у, а )+ ) Р, (х, у, г) Ж = =-()(х, у, хо)+ ) гт,(х, у, г) Ж = = я(х, у, „)+ с;) (х, у, г) ~,'; = = ьт (х, У, ао)+ [ьт (х, У, г) — (2 (х, У, е )) = Я(х, У, е); и. (х, у, г) =-. И (х, у, г) и, следовательно, с(и(х, у, х) =- Ргтх+ ь2тту-г-)где. Итак, для того чтобы выражение Р дх+ Я с(у+ тс да было полным дифференциалом (в рассматриваемой области), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства дР д(3 .
д(;) дР . дР дР ду дх' ол ду ' дх дх (в рассматриваемой области). В лоиазатсльстве теоремы о том, что если ныполнепы условия (225), то выражение Рдх+9иу+Рих есть полный лиф. ференциал некоторой функции, молчаливо прелполагалось, что (гл. н ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ й 6. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ Если каждой точке М некоторой области пространства отнесен вектор а(М), то образуется векторное золе. Если задать систему координат (например, правую), то каждая точка М будет иметь некоторые координаты х, у, я и вектор-функция точки М становится вектор-функцией трех переменных а(х, у, з). Криволинейный интеграл от вектор-функции Пусть а(М) — непрерывная вектор-функция на кусочно- гладкой дуге АВ (рис. 10). Разобьем дугу АВ на части с помощью точек деления М;, на каждой части возьмем какую-нибудь точку Ул(м значение рассматриваемой вектор-функции в этой точке скалярно умножим на вектор М;М;„, и составим сумму этих скалярных произведений м,, / Х а(Лгл) М;М;„,.
Рис. 10 Если наибольшая из длин частей дуги АВ стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется криволинейным интегралом от а(М) вдоль дуги АВ и обозначается знаком ~ а(М)сгг (здесь А.в с(г есть «ориентированный элемент дугиа). Криволинейный интеграл от вектор-функции легко выражается через обыкновенный криволинейный интеграл. в рассматриваемой области найдется такая точка Ме что для любой точки М рассматриваемой области трехззенная ломаная МеКЕМ лежит з втой же области.
С помощью дополнительных рассуждений молкно показать, что теорема останется верной для всякой области, в которой любые дза пути с общим началом и общим концом могут быть непрерывно деформированы один в другой, не выходя нз области. Йвктовноя поли' Зададим систему координат. Пусть га†радиус-вектор и хо Ун г, — кооРдинаты точки Мб с«ч з)з,(,; — кооРдинаты точки М;; тогда л,'а(Иь) М;Мзы = ~~~~~ а(Ц, т)о,"е) Ьг,= = ,'«„[а (со з)а ~з) Ьхь+ ае (Ц, з)о ";) ауг+ а, (со з)о С;) агД, откуда в пределе получаем: ~ а(М)йг= А — ~ а (х, у, г) йх+ не(х, у, л) йу+ а, (х, у, г) йг.
(2.26) АВ Это рассуждение не только дает выражение криволинейного интеграла от вектор-функции через обыкновенный криволинейный интеграл, но дает доказательство существования его, если существование обыкновенного криволинейного интеграла считается известным. Если С в какой-нибудь путь в заданном векторном поле, то, рассматривая векторы а(М) как силы (тогда векторное поле становится силовым полем), найдем, что скалярное произведение а(М;) ° М;Мы, будет (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) работой силового поля при перемещении точки от положения Ме в положение Мены Складывая эти элементарные работы и переходи к пределу, найдем, что ~ а(М)ььг будет работой силового поля при перемещении точки по пути С.
По этой причине криволинейный интеграл [ а (М) с0' называется работой л векторного ноля вдоль пути т'.. Работа векторного поля вдоль замкнутого пути называется еще циркуляцией еенторнозо поля вдоль этого замкнутого пути. Определение. Векторное поле называется потенциальным, если раббта этого поля не зависит от формы пути или, что равносильно, если циркуляция векторного поля вдоль каждого замкнутого пути равна нулю. ~гл. п ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Из формулы (2.26) следует, что для потенциальности векторного поля необходимо и достаточно, чтобы криволинейный интеграл Г -".+"" +"" да» да, да» да дая д໠— — — = О; — — — = О; — ' — — = О.
(2.27) ду дг ' дз дх ' дх ду В этом случае работа поля вдоль пути М,М, равна / Хи(х,у, з)=и(МЯ) — и(М,)=О(Мд)--О(МЯ), Ж,Ж» где О= — и называется потенциалом векторного поли. Таким образом, работа потенциального векторного поля равна приращению силовой функции или уменьшению потенциала. Следствие.
Для потенциальности векторного поля необходимо и достаточно, чтобы оно было полем градиентов некоторого скалярного поля. В самом деле, если а =- игад Р, то дв дт ду а =щ, 'аи=д— , 'а»=д и, следовательно, а» г'х + ая «У+ а ~~а д ~~х + д ду+ д ~~~ есть полный дифференциал, причем с7 играет роль силовой функции. Обратно, если а дх+аиг(У+а,с7г=-д»7(х, У, г), то дт а дх' дт д у дт а =— йда не зависел от формы пути. Из й 5 следует, что для этого необходимо и достаточно, чтобы выражение а с(х+ а»с(у+ а»с7е было полным дифференциалом некоторой функции и(х, у, з) (силовая функция), иначе говоря, чтобы выполнялись равенства 77 понвгхностныв интвгРАлы и, следовательно, а =г — +./ — + а — =-дгаб лр, .
др .др ду дх ду дг что и требовалось доказать. Пример. Пуст~ имеем какое-нибудь Иентрированное векторное поле (с центром О); зто значит, что каждый вектор а(М) лежит на луче О И, причем длина я направление вектора а (М) зависят только от расстояния Р = ОМ. Тогда а(М) = — г, У(р) Р где У(р) — скалярная функция полояплтельного аргумента (~ а (М)~ = = ~ У(р) 1). Имеем а ах+анну+а,ах= — х Р уй + д — У()йр — И(), Р Р Р где Е(р) = ~ У(р) йл, учитывая, что ра = хз+ уз+ аз; р др = хих+ у ну+ а йж Таким образом, центрироваиные векторные поля потенциальны.
Векторными линиями векторного полн а(М) называются такие кривые, которые в кажлой своей точке М имеют направление вектора а(М). Эти линии определяются из системы дифференциальных уравнений бх йу йз аа а, ал Если С вЂ” какой-нибудь замкнутый контур в пространстве, то векторные линии, проходящие через гочки етого контура, образуют поверхность, называемую векторной трубкой. Я 7.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рассмотрим двусторонний кусок поверхности 5, который можно разбить на конечное число частей, каждая из которых либо изобразима уравнением вида л == г'(х, у), либо является' частью цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Ог. Выберем на 5 определенную сторону. 1гл. П 78 Основы теОРии поля Заметим, что не всякий кусок поверхности является двусторонним. Легко дать пример односторонней поверхности. Взяв прямоугольник аЬса (1ис.
11) и склеив стороны аЬ и са так, чтобы а совпало с Ь, е совпало с а, получим поверхность с одной стороной. Пусть Я (х, у, е) — непрерывная функция на куске по- 14г й'г' Рн:. 11. Рис. 12. верхности 3. Разобьем его (рис. !2) на части ЯО каждая из которых либо изобразима уравнением вида Л=Дх, у), либо принадлежит цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Ох. Возьмем на кажлой части Я, точку бг "чо "). Значение рассматриваемой функции в этой точке умножим на взятую с определенным знаком площадь проекции кусочка 5, на плоскость Оху, причем берем знак +, если выбранная сторона поверхности на кусочке 5; обращена в сторону возрастания л, и знак —, если выбранная сторона поверхности на кусочке Яг обращена в сторону убывания х.
Если 5е принадлежит цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Ое, то вопрос о знаке отпадает, ибо площадь проекции равна нулю. Эту площадь проекции 51 на Оху с выбранным знаком обозначим (51)„е. Теперь составим сумму упомянутых произвелений ХА Ло;о .гНЗ;)аю Если наибольший из диаметров кусочков 51 стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному прелелу, который называется поверхностным интегралом от Й (х, у, л) по выбранной стороне поверхности 3 по переменным х,у и обозначается знаком О 1с (х, у, е) г1х 0у.
Аналогично в определяются поверхностные интегралы по лругим парам б 7! ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ переменных (при аналогичных ограничениях, налагаемых на 8). Таким образом, ~ ~ Р(х, у, я) <(» с<я =1нп ~ Р(«, т)<, "-.д%)я„(2 28) ~~ д (х, у, л) <(г <(х = Иш ~~М <9 (Ц, 9н ~д (5д,л, (2. 29) в а Ой(,У,,)»= „,1й6.„.9н д(Бдма. (2. ) Далее вводим понятие комбинированного поверхностного интеграла ~ ) Р«удл+Ос<г<18+ й Их«» = = 1 1~ <(» «л + ) Г «' «л «х + 1 Г й <Ух «».
(2. 31) Из определения поверхностного интеграла следует, что при перемене стороны поверхности интеграл лишь меняет свой знак; если кусок поверхности разбит на части, то интеграл по всему куску поверхности равен сумме интегралов по его частям; постоянные множители выносятся за знак интеграла, интеграл сул<мы равен сумме интегралов. Из (2.30) видно, что О й <(х «у = О, если Я есть кусок 8 цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Ол (в эточ случае проекции 5< на плоскость Ох» вырождаются в линии).
Аналогично, из (2.28) и (2.29) видно, что ) Р а<у <<я =-О, если 5 есты<у сок цилиндрической поверхности 8 с образующими, параллельными оси Ох; ОЯ«лдх=0, если 5 есть кусок цилнндрическоп поверхности с образующими, параллельными оси Оу. [гл. и 80 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Преобразование поверхностного интеграла в обыкновенный двойной интеграл (частные случаи) Пусть имеем поверхность я=-я(х,у). Пусть Π— кусок рассматриваемой поверхности, А — его проекция на пло- Я;.)[) Ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
