Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1 В общем случае [когда значение !'(хо) может быть любым) положим: у(хо) при хо — 1 ~ х (хо+11- ф(х) = ! (х) =.— у(х) — ф (х). О для других значений х; % 3! 41 ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Тогда Э !(а)= — ~ Дхь+х) '" 0х+ — ~ ф(хь+х) их. По доказанному первое слагаемое правой части стремится к нулю при а — ++ со, ибо у(х ) = О. Второе слагаемое правой части равно У(хь) ~' з1пахй У(хь) ~ ыпхй Г(хь) ~ л1пхд ах = ихл — 1 — дх= Г"(х ) я „х а,~ х -л -а — Э и р и а -+ + со (интеграл в средней части получен из предшествующего заменой ах на х). Таким образом, в точках дифференцируемости хе функции Д(х) имеем: т(хе)=-1нпl(а)= — ~ Ни )' 1(х)сози(х — х„)Нх. 1 Заменяя хе на х и х на Г, доказанное предложение можно формулировать так: Теорема.
Если 1'(х) иллеет на каждом конечном интервале не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на ( — со, + со), то в каждой точке х, в которой у(х) дифференцируема, имеем: )(х)= — ~ йа ~ Я)сози(1 —,х)Ж. (1.35) 1 о О Правая часть формулы (1.35) называется двойным инте- аралом Фурье функции 1(х). Так как соя и(à — х) = сова( соя их+ з1п игойп их, то ( после внесения множители †) внутренний интеграл в [гл. | Ряды ФуРье и ннтегРАл ФуРье формуле (1.35) можно преобразовать так: — [ 7(1)сози(г — х)Ж= — [ Дс)созигг[1 ° сових+ Г [' 1 + — ~,7(г) з1п иг Ж з[п их=а (и) соз их+Ь (и) з[п их, где (1.36) Ь (и) = — [ 7 Я я[п и1 йс (и )~ 0).
Г Тогда (1.35) принимает вид 7(х)= ~ [а(и)сових+Ь(и)з!них[|Хи. (1.37) о Выражение, стоящее в правой части формулы (1.37), называется интегралом Фурье для функции 7" (х). Таким образом, функция 7(х) представляется своим интегралом Фурье во всех точках дифференцируемости. Заметим, что это достаточное условие представимости функции своим интегралом Фурье не является необходимым, представимость интегралом Фурье будет иметь место и при более общих условиях.
Формула (1.37) показывает, что интеграл Фурье можно рассматривать как континуальный аналог ряда Фурье: вместо суммировании по индексу и, пробегающему целые значения, мы имеем интегрирование по непрерывно изменяющемуся переменному и; вместо коэффициентов Фурье, зависящих от целого индекса и, мы имеем функции а(и), Ь(и) от непрерывно изменяющегося переменного и, определяемые формулами (1.36). 9 91 КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ 43 5 9. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ Преобразуем подынтегральное выражение формулы (1.37) с помощью формулы Эйлера. Имеем: а (и) соз их+ Ь (и) з1 и их = с!их+ е — еих Егих — Š— гих =а(и) +Ь(и) Егих+ е — гих Есих е-гих 2 — гЬ(и) 2 а (") — РЬ (и) гих, а(и) + гЬ (и) = — С(и) Еаи + С( — и) Е-'и", где положено а(и) — гЬ(и) а(и)+!Ь(а) с(и) = с( — и) = Тогда ~ (а(и) соз их+ Ь(и) з(п их] г!и = о Х = ~ (с(и) еси +с( — и)е-еих) с(и= о Х = ~ с(и)егихс(и+~ с( — и)е-!' с(и= = — ) с(и)е" гг(и+ ~ с(и)е'и'с!ихх ~ с(и)ееи а!и, о Х так как после замены и на — и интеграл ~ с( — и) е-™с(и о о ПЕрЕКОднт В ~ С(и) ЕФЯ С(и, [гл.
л Ряды ФуРье н ннтегРАл ФуРье Для с(и) получим выражение с(и) 2 + +.э 1(1 — — ],Г(г)сози(ж — 1 — с! Г(г)з!пагй1 Г 2~ к где с(и) = —, 2! Г(Г) е-гч'й(. 1 Г Выражение для Г(х) в форме (1.38) является комплексной формой инглеграла Фурье для функции Г(х), Если в формуле (1.38) заменить с(и) его выражениель то получим в точках дифференцируемости функции Г(х): у(х)= — ~ егм йи ~ Г(Г)е-гч'йс (1.39) 1 2ч (1.38') — ] Г(Г)(соя и1 — (з!пи()й! = — ! Г(1)е-™йе (и~~~О). (' 1 Непосредственно видно, что зти формулы верны и при и ( О, например, из того, что с ( — и) = с(и). Из формулы (1.37) получаем теперь: л ,Г(х) = 1пп ~ [а(и) соз их+(л (и) з!и их] йи = л .++ о ~-юю 1пп / с(и)е'и йи= / с(и)е!" йи л -+Ф -л сю + ° Э л (понимая / как (пп / ) .
л+ л Итак, в точках дифференцируемости функции Г(х) Г(х) = ~ с (и) е!" йи, (1.38) $10] интвгглл еьвьв для четных и печатных евнкций 45 или, после внесения егчм под знак внутреннего интеграла, г(х)= — ~ йи ~ г(г)еьк < — г! й1. (!.39') 2к „ Правая часть формулы (!.39') называется двойным интегралом Фурье в комплексной форме. й 1О. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ Пусть 7(х) — четная функция, удовлетворяющая условиям 9 8. Тогда а (и) = — ~ 7 (!) соз и! йг = — ~ Г (г) сов иг йИ (' 2 — СО о д(и) = — ~ 7'(!) Ип иГЖ= О, 1 ( следовательно, интеграл Фурье (1.37) принимает вид 7(х)= / а(и)соя ихйи, о (1.40) где а(и) = — ] ((г)сознай!. 2 о (1.40') 7'(х) = — ~ соз их йи ~ 7(г) соз и! й!.
(1.41) 2 Г я,~ о о Это —. интеграл Фурье для четной функции г (х). Заменяя здесь а (и) его выражением, получим двойной интеграл Фурье для четной функции: 46 [гл. ~ РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Пусть теперь Г(х) — нечетная функция, удовлетворяющая условиям 2 8. Тогда а(и)= — [ Г(г)сояигйЬ=О; О Рш Ь(и)= — [ Г(!)з!пи1Ж= — ! Г(!)з!пи1 й1; 1 Г . 2 à — ОЭ о следовательно, интеграл Фурье (1.37) принимает вид Фс Г(х) = ~ Ь (и) з!п их йи, о (1.42) где ь (и) = — д! Г(1) Рй п и1 йь.
2 ! о (1.42') Фсо Ф сО Г(х)= — е! Рйпихйи~ 7'(С)з!пигйг. (1.43) 2 Г о о Формулы (1.41) и (1.43) можно перефразировать следующим образом. Положим Ф(х)=уу — ' ~ Г(Г)созхгйг. (1.41') о Тогда из (1.41) следует [если Г(х) — четная функция. удовлетворяющая отмеченным выше условиям[, что в точках дифференцируемости функции Г(х) Г(х) = 1Рà — л! ~у (!) соз х! Ж.
/2Г о Это — интеграл Фурье для нечетной функции Г(х). Заме- няя здесь Ь(и) его выражением, получим двойной интеграл Фурье для нечетной функции: 2 10] интвгглл еугьв для чвтных и нвчвтных еункций 47 Называя выражение, стоящее в правой части (1.41'), косинус-трансформацией функции Г(х), приходим к закону взаимности: если ~у(х) есть косинус-трансформация четной функции у (х), то Г(х) есть косинус-трансформация от у(х). Положим ф(х) = 1, — ~] Г(1) ]ах1йу. Г2Г о (1.
43') Тогда из (!.43) следует [если Г(х) — нечетная функция, удовлетворяющая отмеченным выше условиям], что в точках дифференцируемости функции Г Г(х) — зтà — ~ ф(С) з!п х1аг. Г2 Г о Пример. Представить интегралом Фурье функцию 1 прн ]х](1, 1 у(х) = — прн ]х] =1 2 0 прн ]х]) 1.
Функция У(х) — четная, следовательно, на основании (1.40) имеем: у (х) = ~ а (и) сов их йи; о +со | 2 Г 2 Г 2 в!и ие |~=~ 2 в|н и а(и) = — ) 1(г) сов игаг = — ~ сов игаг= ° 1,. о о повтому 2 ] в|пи У(х) = — ~ — сов их|на я ц о Называя выражение, стоящее в правой части (! .43'), синус-трансформацией функции Г(х), приходим к закону взаил|ности: если ф (х) есть синус-трансформация нечетной функции Г(х), то Г(х) есть синус-трансформация от ф(х).
48 [гл. ~ еяды еяеьк и инткгелл еяеьк Таким образом, (1.44) Выражение (1.44) называется разрывным множителем Дирихле. й 1!. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ Будем рассматривать функции на каком-нибудь сегменте [а, о] (для простоты будем предполагать их непрерывными). Определение. Функции у(х) и ф(х) называются ортогонильными на [а, о], если ~ е(х)ф(х)а'х= О. а (1 А5) Ортогональность функций не нарушается при умножении функций на постоянные множители. Определение. Функция сь(х) называется нормированной на [а, О], если ~ [о(х)]ге(х=1. а (1.45') Всякая не исчезающая тождественно непрерывная функция о(х) может быть сделана нормированной при умножении на подходящий постоянный множитель (нормирующий множитель).
В салюм деле, постоянный множитель ), нужно взять так, чтобы -~- еэ 2 [ з!пи — — соз их йи = 1 на и 1, если [ х [ е. 1, — если [х[=1, 1 2' Ц если ]х[)1. 5 11[ огтогонлльныв системы агнкций 49 откуда получаем формулу для нормирующего множителя функции 4г (х): л= 1 (1.46) Например, для х на [О, 1[ 1 - ~гг3. ,Г 4 +-)/ ~ хза'х а Рассмотрим бесконечную систему функций на [а, Ь[: з,(х), ч г(х), ..., р„(х), ... (8) Назовем систему (Б) ортогональной, если все функции втой системы не исчезают тождественно и попарно орто- ь гональны, т. е.
/ е4(х) 4(ь(х) йх = 0 при 1 чь и. Назовем а систему (Б) ортонормироаанной, если она ортогональная и все ее функции нормированы, т. е. если ь (О при 4ФФ, ~ 4аг (х) 4рь (х) йх = ~ ~ 1 пРи 4'= — й. а Предположим, что некоторая функция 1(х) разлагается относительно ортогональной системы (Я) в равномерно сходящийся ряд вида 1(х) — а,е,(х)+аг14г(х)+... +а„1к„(х)+... Умножая на аа(х) 'и интегрируя почленно в пределах от а до Ь, получим: ь ь ь / Г (х) ~а (х) йх=аг / 4~4(х) 1~а (х) йх+44г ~ аг(х) ~а (х) 4[х+' ' ' а а а ь ь ... +а„~ [аа(х)[гйх+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
