Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 11
Текст из файла (страница 11)
9) вв«торнАя зАпис~ еормгльс остгогрАдского 89 В самом деле, сйч (а+ Ь) = д (а+ Ь)м + д (ам -г д )+ дх дх ... =.(д +...)+(д + .. )=81 а+ей Ь; д(та) + д(уам) + (сда~+ )+ +( Ч а. +...) =срс11ча+дгас1сра. Многоточия всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получающиеся из него заменой х на у и х. Соленоидальные векторные поля Векторное поле а, для которого тождественно с((ча= 9, называется голеноидальммм.
Из (2.41) следует, что в случае соленоидального векторного поля поток векторного поля через всякую замкнутую поверхность равен нулю. Если взять векторную трубку ьл (рис. 18), провести два сечения ее 5с и Яа и принять во внимание, что поток через боковую стенку всегда равен нулю, то приходим к такому б, - ..У заключению: Если векторное поле соленоидально, то потоки -векторного поля через различные сечения векторной Рис.
18. трубки равны между собой. Пример. Рассмотрим какое-нибудь центрирозаииое поле (см. пример в конце Я б) а(сИ) = р(р) г, гле р(р) = —. Тогда у(р) Р д д гйч(р(р) г) = — (:р(р) г), + ... = — (т(р) х)+ ... = дх х '" ' дх = ~т' (р) — + ч (р)) + ... = Рт' (р) + йу (р). Р Отсюда заключаем, что цеятрироваяяое поле т (р) г солеиои- лально только тогла, когда функция т (р) удовлетворяет дифферен- [гл. и 9О Обнозы ТЕОРИИ Поля цизльному уравнению рт'(р)+зу(р) =о. Разделив переменные, получим = — —, откуда !п у (р) = т'(р) з р(р) с с = — 3 !п р+ !и с; р (р) = —, следовательно, у(р) = †.
Таким обрарз рз зом, центрированное векторное поле будет соленондально только в том случае, когда длины векторов этого поля обратно пропорциональны квадратам расстояний точек приложения от центра. й 1О. ФОРМУЛА СТОКСА Эта формула преобразовынает криволинейный интеграл вдоль замкнутой пространственной кривой в поверхностный интеграл по поверхности, натянутой на эту кривую. Пусть 5 — кусок поверхности, имеющий в каждой точке касательную плоскость, направление которой непрерывно зависит от точки поверхности, или могущий быть разбитым на конечное число таких частей.
Замкнутая кривая С, ограничивающая 5, предполагается имекщей в каждой точке касательную, направление которой непрерывно заиисит от точки кривой (или же С состоит из конечного числа дуг, удовлетворяющих этому требованию). Пусть Р(х, у, з), !',!(х, у, я), тс (х, у, з) — непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные во всех точках поверхности 5 (и точках, достаточно близких к 5). Пусть сперва кусок поверхности Я может быть представлен уравнением я=!(х, у). Пусть А — проекция 5 на плоскость Оху, à — проекция С на плоскость Оху (рис.
19). Если х =х(г), (г) рз < р < рз — параметрические уравнения Г (пусть возрастанию Г отве- чает обход Г в положительном направлении), то х =х(т'), у=у(1) г <1<1 я = з (г), 91 4 1О] ФОРМУЛА СТОКСА Рнс. 19. Полагая — =р, — = д и используя правило преобразоду ду дх ' ду вания криволинейного интеграла в простой интеграл, можем написать: ~ Р ах+ Яду+ Р ив = ~ [ГР— + 1;1 — у+ Я вЂ” ) и'г = с, [ Ж+й„,+ (Рн+Рн)1 = и и = Д(Р+РР) дт+Я+ ч(д) Яч г(~ = с, =Ц(Р+РЮд~+ М+Ч)с)ду, г (2. 45') причем в последнем интеграле Р, Я, Я следует понимать как Р [х, у, У(х, у)], Я [х, у, г"(х, у)], 1с[х, у, У(х, у)], у. е. как функции двух переменных х,у. где я(д) =у [х(1), у(1)] будут параметрическими уравнениями С.
92 [гл. и основы твогии поля Формула Грина, преобразовывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром, дает: ~ (Р+ рЮдг+ Я+г7Ю Ь= г =~ ~ Щ+дК)' — (Р+рК„') 7хг(у, (2.45") А но (используем формулу полной производной и полагаем дзу дх ду Я+рР)' = — + — р+Я+ 7( — + — р) д0 дГд, где~ дР дх дг (дх ' дг г ду + дг т+ +' (ду + дг т)' дР дР др др откуда Я+ г7Р)' — (Р+ рР)' = Из равенств (2.45'), (2.45"), (2.45"') и формулы (2.36) (см. конец 9 7) получаем искомую формулу Стокса: Р и'х + Я ну+ Я г(г = о =Дф — ~Я~дудг+(~~ — д~) ага +ф — ~~ ~ ~ ~у, (2.45) где направление обхода контура С берется положительным для выбранной стороны поверхности. Но эта формула доказана пока лишь для куска поверхности специального вида.
Меняя роли переменных, получим формулу (2.45) также для поверхностей 5, изобразимых уравнением вида х =7(у, г) или уравнением вида у = 7'(г, х). В общем случае разобьем 5 на конечное число частей, каждаа из которых изобразима либо уравнением вида х = Г"(у, г), либо уравнением вида у= У(г, х), либо уравнением вида г= 7'(м, у) (мы ограничиваемся поверхностями 5, которые могут быть разбиты таким образом). Применяя к каждой части формулу (2.45) и складывая полученные равенства (при этом интегралы по 5 1Ц ВвктОРнАя ВАпись ФОРмулы стоксА 93 перегородкам взаимно уничтожатся), докажем справедливость формулы (2.45) для рассматриваемого куска поверхности.
Теперь формула Стокса (2.45) доказана в общем виде. в 11. ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ СТОКСА. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Пусть а(М) — векторное поле, В в кусок поверхности, С вЂ” контур, ограничивающий его. Имеем в силу (2.26) и (2.45): а(М)йг =~ а йх+авиу+ а,йл = о с Яда,. дик) (ди да ) + ( дх ду ) йхйУ) (2.46') Определение. Вихрем векторного поля а(М) в точке х, у, в называется вектор обозначаемый знаком го(а (а также символом снг1а). Из формулы (2.39) находим: 1 ~(' —."; — '":) " ( — ":-й)""+ +( —" — — ) йхйу= — ~ ~(го1а) йуйв+(го(а)вйзйх+(го(и),йхйу = = / / го1 а йсо.
(2.46") Из (2.46') и (2.46") находим: ~ а (М) йг = / / го1 а йс», с 8 94 [гл. и ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ причем направление обхода контура С берется положительным для выбранной стороны поверхности О. Формула(2.46) является векторной записью формулы Стокса и показывает, что циркуляция векторного поля влоль замкнутого контура равна потоку вихря через поверхность, натянутую на этот контур. Безвихревые векторные поля Векторное поле а (М) называется безвихревылг, если имеем тожлественно го)а=О. Из определения вихря видно, что лля этого необходимо и достаточно, чтобы да» да, да» да» дал д໠— — — =О, — — — =О, — — — =О. ду дл ' д» дх ' дх ду Но эти условия [см. формулы (2.27) в 9 6), как мы знаем, необхолимы и достаточны для потенциальности векторного поля.
Итак, для того чтобы векторное поле было безвихревым, необхолимо и достаточно, чтобы оно было потенциальным. Таким образом, понятие безвихревого векторного поля эквивалентно понятию потенциального векторного поля. Так как поле градиентов какого-нибудь скалярного полне потенциально, то получаем тождество го) игад ср = О.
(2. 47) Соленоидальность поля вихрей Пусть а(М) — какое-нибудь векторное поле; тогла его вихри образуют некоторое векторное поле го) а. Это есть поле вихрей данного векторного поля. Поле вихрей всегда Инвариантное определение вихря Применяя формулу Стокса к бесконечно малой площадке, содержащей рассматриваемую точку, получим следующую инвариантную (независимую от координатной системы) ха» рактеристику вихря. Проекция вихря на какое-нибудь направление равна отнесенной к единице площади циркуляции векторного поля вдоль контура бесконечно малой площалки, содержащей рассматриваемую точку и перпендикулярной к выбранному направлению.
~ 111 ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ СТОКСА соленоидально. В самом деле, 81ЧГО(гг =д— (Г01а) +д— (Г01ГГ)У+д — (Г01ГГ), = д д д дзаа дза, даа дала дза, дзаа О. дхду дхдх+ дуда дхду+ дхдх дуд» Итак, (2.48) сйу го1 а = О. Формальные свойства вихря Пусть а и Ь вЂ” векторные поля, Ф вЂ” скалярное поле. Тогда го1(а+ Ь) = го1а+го1 Ь; (2.49) го( (Фа) = р го1 а+ (ягад сра).
(2.50) В самом деле, д (а+ б), д (а+ Ь)У дб» ддя +(Г( — — — )+...~ = го(а+ го1 Ь; Гд(та), д(та)УГ Гд(та,) д(та )т = Ф го1 а+ (дгаг$ сра). Многоточия всюду обозначают, что следует выписать второе и третье слагаемые, получающиеся из' первого круговой перестановкой по схеме (гл. п основы теогии поля 5 12. ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Рассмотренные выше три операции первого порядка ятад ср, сИч а, го1 а, переводящие соответственно скаляр в вектор, вектор в скаляр, вектор в вектор, порождают пять операций второго порядка: с!!чдгас! р, го1 ятад р, ятад сПч а, сПч го! а, го1 го1 а, из которых две тождественно пулевые (см.
формулы (2.47) и (2.48)): го1 атас! ср = О, д!ч го1 а = О. дзч дзр дзч Ар= '+ 'з+ дхз дуз дхз ' дза дза дза Ьа = — + —,+— дхз дуз дгз (2.5!) (с!ср есть скаляр, Ьа есть вектор). Очевидно, Ьа = г Ьа + у Ьа, + !з дса,. Имеем: с!!чдгас$ зз= — (дгад ср) + — (дгад ср)„+ — (дгас$ ср)з = д д д Следовательно, гПч вегас! о = Ьср. (2 82) Имеем: атас! д!ч а =1 — (сПч а)+ у — (д!ч а)+ сз — (й!ч а) = д д д дх ду дх дза дза Введем еще операцию второго порядка, называемую операпсором Лапласа, для скалярного поля ср и векторного поля вп 5 и) 97 СИМВОЛИКА ГАМИЛЬТОНА го1 го1 а = г ~ — (го1 а), — — (го1 а)г) +... =- гд д 1ду ' дг [ду ~дх ду ) дг ( дг дх)1+ ' ' ' ='( " ' *- -*) дзач два» дзаа два»1 дхду+ дх дг дув дгв )+ ' ' ' ='( — '* " ' ' ' '9) дзаа двая два» два» дааа два» ~ дхз+дхду+дхдг дхз дув дга )+ ' ' ' ./д =11ч — йча — Аа ).+...
=Кгадйча — Аа. го1 го1 а = игас1 д 1ч а — Йа. и 13. СИМВОЛИКА ГАМИЛЬТОНА (2.54) Введем символический вектор (набла) ч =1 — +,у — +»г —, .д .д д дх ду дг ' и при выполнении действий по правилам, установленным для реальных скаляров и векторов, будем понимать под «произд д д ведениями» символов †, †, — на скаляр ~у(х, у, г) соотдх ' ду' дг ветственно скаляры дт дт дт дх ' ду ' дг ' Тогда »уТ = (г' — +у — + Ф вЂ” ') и = г — + / — + Ф вЂ” = агам т . д . д да .дт .дт дТ дх ду дг) дх ду дг (здесь в левой части стоит произведение' символического вектора на реальный скаляр); Ча = (с —,+у —,+ Лд )(да.+3аг+-Аа,) = .д, .д дч да .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
