Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Координатными линиями будут лучи с начальными точками на оси Ог и перпендикулярные к Оа, окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к Ог, с центрами на оси Ог, прямые, параллельные оси Ол (рис. 22). Цилиндрическая система координат, очевидно, ортогональная. Коэффициентами Ламе в рассматриваемом случае будут: Рис. 22.
Н„=1; Нт=г; Н,=1. Пусть 1 — скалярное поле, а — векторное поле. Из формул (2.60), (2.61), (2.62), (2.63') получим выражения для градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа в цилиндрических координатах: $141 ввктогныв опвгдции в кгиволинвйных коогдиндтдх 107 Векторные операции в сферических координатах Перейдем от прямоугольных координат х, у, г к сферическим г, ~В, 0 по формулам х =гсов 0 сов ~В, у =г сов б сйп ~В, 2 =Гв!п 0 (здесь г, ~В, 0 выполняют роль и, о, те).
Координатными линиями будут лучи, выходящие из начала, окружности, лежащие в плоскостях, пер- Д пендикулярных к Ол, с центрами на оси Ог, полуокружности с цен- а трами в начале и диаметрами на оси Ол (рис. 23). Сферическая система координат, очевидно, ортогональная. Коэффициентами Ламе в рассматриваемом случае будут: Рис. 23.
Н„= 1; Н„=гсов 0; Нв — — г. Пусть / — скалярное поле, а — векторное поле. Из формул (2.60), (2.61), (2.62), (2.63) получим выражения для градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа в сферических координатах: д/ д/ 3габ/' =е — +е + ев —, д/ дт д0 "дг тгсовб г 1 д(гва„) + 1 дат < 1 д(авсовВ) (2 69) гв дг г сов 0 дт ' г сов 0 д0 1 да, 1 д (ат сов В) го1а =е, 1гсов 0 дт гсов В д0 ) Г1 даг 1 д(гав)1 Г 1 д(гая) 1 даг\ +е 1 — —" — — — )+ев1— — — — (2. 70) т'1г дб г дг ) 1г дг гсовб дб)' гв дг( дг/+ ге сова В дтв+ гасов В дб 1 дб/ ' ГЛАВА 1П НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ й 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Если комплексному числу г=х+гу отнести точку на плоскости с прямоугольными координатами (х, у), то между комплексными числами и точками плоскости (назовем ее плоскостью комплексного переменного) установится взаимно однозначное соответствие.
Если комплексное число г — действительное (т. е. у = 0„ тогда г =х), то соответствующая точка лежит на оси абсцисс, и наоборот. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Если комплексное число г — мнимое (т. е. у+ 0), то соответствующая точка лежит вне оси абсцисс, и наоборот. Если комплексное число г — чисто мнимое (т. е. х=О, у л= О, тогда г=гу), то соответствующая точка лежит на оси ординат, и наоборот (аа исключением начала координат).
Поэтому ось ординат называют мнимой осью. Полярные координаты (г, е) точки, изображающей рассматриваемое комплексное число г (если взять полюс в начале координат и направить полярную ось по оси абсцисс), называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа г и обозначаются соответственно )г! и Агяг. Очевидно, )г()~0, причем равно нулю только при г= О. При г ~ 0 Агдг имеет бесконечно много значений, получающихся из какого-нибудь одного агах по формуле АгК г = агй г+ 2йк (й — произвольное целое число).
При г =0 Агдг не определен. $11 комплексные числа Формулы, связывающие прямоугольные координаты с полярными, показывают, что [ г [ = '[Гхг+ у' Агу г = Агс!д У ,(причем, в последней формуле, очевидно, пригодны не все значения арктангенса). Из х = г соз ы у = г 5]п у находим: л = Г(соз 1Р+гсйп 22). (3.1) Выражение (3.1) называют тригонометрической формой комплексного числа г.
Обратно, если комплексное число г записано в форме (3.!), где Г, 1~ действительны, причем г неотрицательно, то Г будет модулем, а 1[ — одним из аргументов числа г. Если каждой точке М плоскости комплексного переменного отнести вектор ОМ, то появится возможность представлять комплексные числа векторами. Сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих векторов. Отсюда следует, что для любых комплексных чисел г, и гг [г1+г [([г [+[ г[ (3.2) откуда, по индукции, для любых комплексных чисел еы 52 гп [ г, + г, +...
+ 5„[ < [ г, [+ [ г, [+ ... + [ 5„[. (3. 2') Из (3.2) следует, что .[г1 г2[~~]51] ]52[' (3.3) ибо из г, = (г, — гг)+ гг по (3.2) находим [ г1[ ( [г1 — г,[ + + [ гг[, откуда следует (3.3). Заметим, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими зти числа. При умножении комплексных чисел модули перемножаются, аргументы складываются. В самом деле, пользуясь тригонометрической формой комплексных чисел, найдем: г1 ='Г1(соз ~1+1 51п 121); гг — Гг (со5 112+! Яп 1~2); г152 = Г,Г, [(соз <~1 соз 112 — 51П 1У151П 1~2)+1(соз о151п 1У2+ + 5! П 121 Соз тг)] = Г1Г1 [Соз (1[11+ 112) + 1 51П (121+ 122)].
АНАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ (гл. и! (3.4) Раскрывая левую часть (3.4) по формуле бинома Ньютона и отделяя действительную часть от мнимой, получим формулы для косинуса и синуса кратных углов: СОБ иу =СОБл1! — СОБл ар 51ПБ О+ л (и — 1) 1 ° 2 л (л — 1).(л — 2) 51п ло — и созл — 1 !я 5!п !в ' созч-5~51па !в 1 2 ° 3 (3.4') Тригонометрическая форма комплексных чисел приводит к простому правилу извлечения корней из комплексных чисел.
Корень и-й степени из комплексного числа г чь О имеет и значений. Пусть Я = Г (СОБ (Р +! 51П 1~) есть рассматриваемое комплексное число и тв = Р (соз () + 1 51п О) есть какой-нибудь корень и-й степени из него (т. е. число, удовлетворяющее равенству твл = а). Тогда рл(СОБ ПО+ 1 Б!П ИП) = Г (С05 !~ +1 5!П с1), откуда р" = Г, л0 =О + 2йп, где (з — некоторое целое число.
Следовательно, 1 — I т+2вя .. т+2яя! ю=гл ~~соя + +!51П"+ ). л л Обратно, при всяком целом и последнее выражение является корнем и-й степени из г (ибо и-я степень его равна г). Но упомянутые выражения для двух значений и будут различными комплексными числами лишь в случае, когда зти значения (з отличаются на число, не кратное п.
Отсюда сле- Отсюда следует, что при делении комплексных чисел модули делятся, аргументы вычитаются. Из правила умножения комплексных чисел следует, что при возведении в степень с целым положительным показателем п модуль возводится в и-ю степень, аргумент умножается на п. Это приводит к формуле Муавра (СОБ (~+ 1 51П 1!)л = СОБ Л~ + 1 51П Л!(!. в 21 гады с комплексными члвилми дует, что, давая !г значения О, 1, 2, ..., п — 1, мы полу- и чим все значения к е и, таким образом, видим, что число и этих значений равно и. Все значения )/я определяются формулой Е )ух = Ги!соз + г 51п ) т+2де, .
т+2ает и и (Уг = О, 1, 2, ..., и†1). Соответствующие им точки лежат на одной окружности с центром в точке О и делят ее на и равных частей. Следовательно, точки, изображающие значения корня и-й степени из комплексного числа, являются вершинами правильного п-угольника с центром О. В частности, при х = ! (тогда г = 1, е =О) получим: 1Г1 =сов — +г Мп — ' (Уг =О, 1, 2, ..., и — 1).
(3.5') Пусть х=х+!у; тогда комплексное число я =х — !у называется еопряаменнам для е. Точки, соответствующие е и е, симметричны относительно действительной оси. Очевидно, что комплексное число совпадает со своим сопряженным только тогда, когда оно действительное. Непосредственно проверяется, что сопряженные суммы, разности, произведения, частного равны соответственно сумме, разности, произведению, частному сопряженных, т. е. аг+ ег = ег+ ег ег ег = ег ег! хгхг = еьег Заметим еще, что ее = ( е ~г. в 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ Пусть имеем бесконечную последовательность комплексных чисел (3.6) где е„=хи+гу„. Число е =-х+гу называется пределом Этой поСледовательности, если для всякого е ) О найдется 112 !гл.
ш АНАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ такой номер М, что при и ) И будем иметь !ㄠ— г! ( а. В этом случае пишут: яи -+ г или йгп я„ = я. Геометрически это означает, что для всякого круга с центром я все члены последовательности, начиная с некоторого, лежат внутри этого круга. Последовательность комплексных чисел не может иметь двух пределов, следовательно, либо имеет один предел гтогда называется сходящейся), либо не имеет предела (тогда называется расходящейся). Для сходимости последовательности чисел г„ = х„+ )уи необходимо и достаточно, чтобы сходились последовательность чисел х„ и последовательность чисел у„. В самом деле, если последовательность г„ = х„+ 1уи сходится к а== х+ гу, то при и ) М имеем !авив г! ( е; но тогда подавно !х„ — х ! ( е, !у, †у ! ( а и, следовательно, х„ -+х, уи — +у. Обратно, если х„ -+х, у„ -+у, то при и ) Дг, имеем !хи — х ! ( =, пРи и ) Мз имеем !ӄ— У!( 2 (, поэтому при и ) М 1где М вЂ” наибольшее из М, г/2 и М,) ! г„— г ! = !I (хи — х)а+ 1ӄ— У)з ( а, следовательно, аи -+ я.
Критерий Коши. Для сходимости последовательности комплексных чисел я„ необходимо и достаточно, чтобы для всвкого е ) О нашелся такой номер М, что при и ) М и р ) О имели бы !зи+р яи!( Этот критерий мамбет быть доказан прямым путем, но его можно получить из критерия Коши для последовательностей действительных чисел 1считая, что для них он был уже доказан). В самом деле, если для ви выполнено требование критерия Коши, то оно выполнено и для х„и у„, так как !хиэр хи! ( !зиву аи! !Уи я Уи ! (!аиэр ли!' Обратно, если требование критерия Коши выполнено для х„ и Дла У„, то из !сиэ„— Яи! =~l (хи ~ — х„)з+(Уиэ„— -Уи)а сразу усматриваем Его выполнимоеть для аи, й 2) Из РЯДЫ С КОМПЛВКСНЫМИ ЧЛВНАМН Пусть имеем ряд с комплексными членами ш1+то +...
+ тон+... или ~~'„то„, (3.7) ГДЕ тик=и„+1Он. Ряд (3.7) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм Яо= то1+... +то„сходится. Тогда ее предел Л называют суммой ряда (3.7) и пишут 5 =,"„тон. к=1 В противном случае ряд (3.7) называется расходящимся. Из доказанного выше предложения для последовательностей непосредственно следует: для сходимости ряда с ком- ПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНаМИ ,'~~ ти„ ГДЕ тин =он+ 1Он, НЕОбХОДИМО И достаточно, чтобы ряды с действительными членами ~ и, и ~ о„ были сходящимися. Из критерия Коши для последовательностей комплексных чисел непосредственно вытекает критерий Коши для рядов с комплексными членами: для сходимости ряда ~',тоо необходимо и достаточно, чтобы для всякого е ) 0 нашелся такой номер М, что при и ) М и р ) 0 имели бы к11+ гон-~-2+ ' ' ' + ~она ~ ( В самом деле, достаточно лишь заметить, что н1Р '3н тонн1+ тонн2+ ' ' ' + н1Р' М1 Ряд с комплексными членами ~, шн называется абсолютно сходя1цимся, если ряд ~~~~ )то„~ сходится.
Из критерия Коши сразу следует, что абсолютно сходящийся ряд сходится. ДлЯ абсолютной сходимости ~ шн, где то„=и„+го„, очевидно необходима и достаточна абсолютная сходимость рядов ~'„ ин и ~~'„ он, ибо Если ряд ~ то„абсолютно сходится, то при любой перестановке членов факт абсолютной сходимости и величина суммы не меняются. Это следует из последнего замечання, и знк 194Ь П. Н.
Ронннонокна !!4 [гл. ш лнллитичвскиа етнкции если считать, что для рядов с действительными членами теорема уже известна. В абсолютно сходящихся рядах с комплексными членами разрешается любая группировка членов (в одну группу может попадать как конечное, так и бесконечное число членов). Этот факт можно установить прямым путем, но он получается как следствие, если для абсолютно сходяшихся рядов с действительными членами его считать известным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
