Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 31
Текст из файла (страница 31)
65) а=о причем схотнмость — равномерная внутри области Р. действительно, и-1 и — 1 и — 1 11, р(р) -~'~(!а,р)Ь!а= ~ ~ у(ЬР)П1,')", ~ у(!а,р)П1= а=о а=-О та и — 1 11, У(Ь Р) — у(гъ р)) "г а=о 1, пгповгазования лапласа [гл. ч 240 Теорема. Пусть у'(й р) †- непрерывная комплекснозначная функция двух переменных Г, ул действительного переменного на [а, + со), кроме, быть может, изолированных точек, и комплексного переменного р в облзсти В, Пусть, кроме того, зта функция при каждом упомянутом значении Г будет аналитической от р в области В. Предположим еще, что несобственный интеграл + Э У(й р) пг на каждой ограниченной замкнутой области ь, леткащей а в В, мажорируется некоторым сходящимся интегралом от действительной неотрицательной функции.
Тогда будет аналитической функцией от р в области В, причем Ло к аз а тел ь ство. Если сегмент [с, и), лежащий на [а, +со), не содержит упоминавшихся в тексте теоремы изолированных точек, и то в силу леммы ~ У(й р)тгг будет аналитической функцией от р с в В, производная которой равна ~ У (Г, р)Ж, Если с (или и) стремится к одной из названных изолированных точек сс (или тГс), то л ьа в силу условий теоремы ~ у(бр)Л-ь ~ у(Г,р)тту ~или к [ ) с с, с равномерно внутри В, позтому в силу теоремы й 13 главы И! т' А~ л производная от ~ у(г, р)пг или ~ ) будет равна ~ у (й р)и с„ с с, с )).и „„,, ~ в ~> с ная от [ у(й р) пг будет равна ~ у„(й р) Л.
247 3 2! ПРВОВРАЗОВАНИВ ЛАПЛАСА г са Нзконец, з силу условий теоремы ~ У(б р) аг-» ~ /(А р) йг а а равномеряо внутри 7У, следовательно, з силу теоремы З 13 глазы!11 производная от ~ У(б р) аг будет равна ~ Ур(1 Р) аг что " тре а а бозалось доказать. й 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Пусть Я) — комплекснозначная функция, непрерывная на (О, +со), за исключением, быть может, изолированных точек. Если действительное число з обладает тем свойством, что несобственный интеграл ~ )Я))е-"Ж сходится, то о числа, большие з, также им обладают.
Отсюда следует (рассуждая, как в й 3 главы П! при введении понятия радиуса сходимости степенного ряда), что либо найдется такое действительное число з, что при з > зо упомянутый несобственный интеграл сходится, а при з ( зо рзсходится (число з, назовем показателем роста функции у(1)), либо для всех действительных з упомянутый несобственный интеграл сходится (тогда показатель роста функции Я) считаем равным — со), либо для всех действительных з он расходится (тогда показатель роста функции Я) считаем равным + сс!. Если показатель роста!'(Г) меньше + со (будем говорить в етом случае, что у(!) имеет ограниченный рост), то Я) абсолютно интегрируема на каждом сегменте (О, а), где а > О. В качестве примера отметим, что если у(1) на (О, + со) удовлетворяет неравенству !Я)! ( Л4е", то Я) имеет ограниченный рост и показатель роста ( з.
В самом деле, -'; о тогда интеграл ~,' У(!) ! е — 1оао 'йу при всяком е > 0 схоо дится, ибо он мажорируется сходящимся интегралом а А4е М о 248 [гл. ч пгвоввлзовлнив лАплАсА (5,3) Если г(Г) имеет ограниченный рост, то г (р)= 1,[(1) е й( о является аналитической функцией коиплексного переменного р в полуплоскости Ке р ) ео, где ео — показатель роста Я) (числа ео называют еше абсииссой абсо.гютной сходимости интеграла Лапласа ~ ~(Г) е-тЛ) . В самом о деле, упомянутый интеграл равномерно сходится в каждой полуплоскости Кер)~ е,, где е, ) ео, ибо на ней он ма>коз-и рируется сходящимся интегралом ~ [Я)[е ''йО значит, о рассматриваемый интеграл подавно равномерно сходится внутри области Ке р ) ео и, следовательно, по теореме э 1 является аналитической функцией в этой области.
Определение. Комплекснозначную функцию Я), непрерывную на [О, +со), эа исключением, быть может, изолированных точек, и имеющую ограниченный рост, назовем оригиналом. Аналитическую функцию г'(р) комплексного переменного р = а+ го, определенную формулой Г (р) = = ~ Я)е-тбе при Кер ) ао, где ео — показатель роста ((~), о назовем изображением оригинала Г" (Г). Преобразование, относящее оригиналу у'(г) его изобраокение Р(р)г Р(р) = / у(!)е-лсйС, (5.1) о назь|вается ирсобразоеанием Лапласа. При этом пишут: и)=='р( ).
(5.2) Употребляется еще обозначение !.[г" (г)[.=- ~ г(г) е елй! о (!, — знак преобразования Лапласа). 249 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Мы дали здесь более узкое определение оригинала, чем это принято в общей теории преобразования Лапласа, чтобы в дальнейших выкладках иметь дело лишь с такими понятиями интеграла, которые даются в элементарных общих курсах математического анализа.
Такие оригиналы достаточны для практических надобностей. Замечания. Если встречается надобность продолжить оригинал с(с) на отрицательные значения 1, то полагают У(~) =0 при 1 (О. Если 1!ш с (с) существует и конечен, то обозначим с-воо его с(+0), если йш с(с) существует и конечен, то обозначим его с(+со). Если с"(с) — оригинал, то, очевидно, )Я) ! будет оригиналом с тем же показателем роста. Линейная комбинация оригиналов, очевидно, есть оригинал. Если с(1) — оригинал, то, очевидно, с(а1) (а — положительное число), Гс (~), с(à — т) (т — действительное число, отсс (С) (),— комплексное число) то же будут оригиналами.
Покажем еще, что если с'(с) — оригинал, то со(Г) = 1 с (и) сса о будет непрерывным на (О, +со) оригиналом. Непрерывность су(1) следует из абсолютной интегрируемости у на каждом сегменте [О, а), где а ) О. Далее, если л — показатель роста у, зс — положительное число, большее го, л ) Бы то в случае Я)) 0 имеем: со ф е — вс — е — вс ~ у (и) лсп е — Св-вд с ~ с(л) л-вс с(п ( ( е — Св -вп с / у (и) л-впв сгл о откуда в сдно, что интеграл / су(Г)е-вссст сходится и р есть о оригинал.
мо (гл. ч' ПРВОВРАЗОВАННВ ЛАПЛАСА Если теперь У вЂ” комплекснозначная функция, то ( ~ (~) ( ( / ~ у(и) ~ с(и, о но правая часть по доказанному есть оригинал, следовательно, Т(Г) подавно оригинал, что н требовалось доказать. Теорема. Если гт (р) есть изображение, то гт(р) -+ О при Ке р — ь+ со. Доказательство. Пусть з) О. Возьмем т ) О настолько малым, чтобы ~1Я)~ж~( 2. о Тогда при з) О имеем: ~ ! г" (г) / е — м,д( ( о Пусть Ке р = з ) зы где г,— чясло, большее показателя роста У(Г). Тогда / ((г) ~ е -аг г(à — ~ ) Я) ( е — жг .
е — м-в ) с г(( ( ( е-м-'н ' ) ~ (я! е-' ' Ис, о что ( — при г достаточно большом. 2 Следовательно, при достаточно большом Кер =.з имеем: .~. о + СО ! "(р)~ < ~ У(г)! "с(~= ) +- ) < 2+2 =' что и требовалось доказать.
П р н м е ч а н и е. Можно показать, что оригинал вполне определяется своим изображением (еслп функции, отличаю- 3 3] пгоствйшив свойства пгвовглзовлния лапласа 251 щиеся лишь в изолированных точках, считать эквивалентными). Если ограничиться оригиналами, дифференцируемыми всюду, за исключением, быть может, изолированных точек, то этот факт будет следовать из теоремы обращения преобразования Лапласа, доказываемой в 9 9. 3 3. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 1. Однородность. Если Р(1) =.' гт (р), то ЛУ(Г)=.'ЛГ(р) (Л вЂ” любое комплексное число).
В самом деле, 1,[ЛР(1)] ~ ЛР(1) е-иге[1 Л / У'(1) е лей[ = Ль[у(Г)[. о о 2. Аддитивность. Если Я).= — 'Р(р) р(О=Ф(р) то УЯ+РЯ=Г(Р)+Ф(Р). В самом деле, Х [у (г) + ~р (г)] = ~ [у(г) + Р (г)] е-и' ггг =. о у(~) е — лс сй+ Г а(Г) е лс еП = — ], [у(1)]+- Е [ср (Г)]. о о 3. Подобие. Если /(Г)=.'Г(р), то У(Ы)иы — Р~--) (а — любое положительное число). /рЛ а Ла) В самом деле, ~ ОЭ э о Ф ЦУ(а1)]= ~ У(а1)е- ге[1= 1 ~ У(1) "а= — 1 гт[ Р1. а,) а ~а) о о 4. Дифференцирование оригинала.
Если гф непрерывно дифференцируема на (О, +ос) и если у'ф есть оригинал 1тогда У(г) тоже оригинал и у(+0) существует[, то из У(1),='гт(р) следует: Р'«).=' РГ (р) — У (+ О). 252 [гл. н пяеоввлзовлнив ллпласл В самом деле, интегрирование по частям дает при 0<а<Ь<+оо / у' (Г) е-Р'ЙС =-у(г) е-лг! + р / я) е-я~И. Если Ке р больше показателя роста У(г), то модуль у(Г) е-л' не может для всех достаточно больших Ь оставаться больше некоторого поло>кительного числа, поэтому найдется такая последовательность положительных 1„, что 1„-«+со, Я„)е "' — «О.
Беря теперь а= —, Ь=Г„и П переходя к пределу в вышенаписанном равенстве, получим при Кер, большем показателей роста У(Г) и У'(!): с [у'(г)[ = — у(+ о>+- рр (р). 5. Обобщение. Если У(Г) п раз непрерывно дифференцируема на (О, +с«э) и еслл у! ~(Г) есть оригинал [тогда У(!), У'((),..., У'" н(Г> — тоже. оригиналы иУ(+0), У'(+0),...
..., У'" н(+0) существуют), то из У(!).=Р(р) следует: уои((>.= р™г(р) — у(+ о> р"-'— — у'(+о>р -' —... — у'"-0(+0). В самом деле, это получается из свойства 4 по индукции. При и =- 1 утверждение справедливо по свойству 4. Если утверждение справедливо для и — 1, то уо'-п(г>-.= р"-'р(р) у(+ о> р"-' —... у'" "(+ о>. Отсюда но свойству 4 у!"!(г>.=— р[р"-'р(р) -у(+0>р"-' ... у!"-м(+о)[— — у'"-н(+о>=р"р(р> — у(+о>р" ' —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
