Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Следовательно, в силу доказанной теоремы рр(р) ~ у( )е-с асс + ~ у( [ 0)е-сасс у(+0) что и требовалось доказать. Замечание 2. Пусть Я) непрерывна на (О, + со), Г"(+со) существует, )Я)( (~(~), где у(Г) — неотрицательный, непрерывный, невозрастающий на (О, +со) оригинал.
Тогда, если у(С).=ср(р), то рр(р) — +с(+со), если Р~О и р-+О. Сперва заметим, чтр показатель роста со(с), и подавно показатель роста г(С), не более нуля и потому Р (р) имеет смысл при всех р) О. Пусть 0(р(о, где о.ьО. Тогда рр(р)=р ~ я)е яссу= ~ у( — )е ссср о о Г[ — ) е-' ( ( ср( — ) е-' ( а[ — ) е 1 (,— =.[' ос — !е сЖ=е [ суфе-'сс0 сходится; с[ — ) е ' — ь с / Р— ~-,с(+со) е-' при р-+0 равномерно на каждом сегменте [а, с8[, где 0(а(р(+со. Следовательно, в силу доказанной теоремы рр (р) = ~ с [ — ) е ' Н -+ ~ у (+ со) е-' Ж = С (+ оо), о о что и требовалось доказать.
269 5 71 ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖВНИЯМИ Целые функции экспоненциального типа Определение. Целая функция 1" (г) комплексного переменного г называется целой функцией экспоненциального псина, если можно найти такие положительные числа С, о, что для всех комплексных значений г выполняется неравенство )1(г) ! < Се'1'1. Лемма. Для того чтобы степенной ряд ~ААг" изобрао жал целую функцию экспоненциального типа, необходимо и достаточно, чтобы для некоторых положительных чисел С, Я выполнялись неравенства Доказательство необходимости. Пусть У(г) = + ОЭ = ~~'~ Ааг" — целая функция экспоненциального типа.
Тогда о 1У(г) ( < Се'~'1 при всех г, где С и о — некоторые положительные числа. В силу неравенства (3.48) для модулей коэффициентов ряда Тейлора (гл. П1, 9 14) находим при всех сс ) О Сьал )Аь!< „(й=О, 1, 2, ...). . Беря )т =-- — (й= 1, 2, ...), получим: поэтому, полагая 5 = еа, будем иметь: ~ А„) < С вЂ , (й = О, 1, 2, ...). .чв Доказательство достаточности. Пусть )А,,( < СА < С вЂ” где С и 5 — некоторые положительные числа.
Тогда, Сь1 ' очевидно, степенной ряд,,"~~ Алг" сходится для всех а и 270 [гл. т ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА изображает целую функцию г"(г), причем для всех з имеем: ! у (г) [ < ~ ~ ~А „[ ] л [" < ~~~~С вЂ” ' —, =.— Сев ' ' ', что и требовалось доказать. Заметим, что операции линейного комбинирования, умножения на независимое переменное, умножения на показательную функцию, линейного преобразования независимого переменного, дифференцирования и интегрирования, примененные к целым функциям экспоненциального типа, приводят снова к целым функциям экспоненциального типа.
Необходимое и достаточное условие регулярности изображения в бесконечности Теорема. Для того чтобы изображение было регулярным в бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся целой функцией экспоненциального типа. Доказательство достаточности. Пусть оригинал Я) есть целая функция экспоненциального типа [точнее, У(~), заданная на [О, +оо), продол>каема до целой функции экспоненццального типа]. Тогда, в частности, при Г )» 0 будем иметь: Г (Г) = ~М Алг"; , 'Ал [ < С вЂ”,. (С > 0; 5 > 0). о Очевидно, при Г)~ О,' ке р = — в > 5 имеем: ААР ° е Рг < У [Ал]тл ° е и < т С ° е и= — Се' М Х' -л %1 и явгл я С интеграл ~ Се-и-в>'ы =.
—, сходится; т Аф' ° е-Р' — + л — 5 х о о -+у"(Г)е РФ равномерно на каждом [О, а], где а>0. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе $ 7! 271 ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖРНИЯМИ под знаком несобственного интеграла п ~ Алга ° е РесИ -+ 1 7(Г) е Ро Ж о о о или Е ~ А,.ГА -+ 7.(Г(Г)) при Кар > 5, Е о но 'и и и тыл е1 АЗ следовательно, Ъз д! 1Аь 7.У®) =- ~Є— '„„при 1(е, > с о пРичем Ряд в правой части сходится при (р) > 5 и изображает аналитическую функцию в окрестности бесконечно удаленной точки. Это доказывает, что изображение Р (р) после аналитического продолжения на окрестность бесконечно удаленной точки становится регулярным в ней и ъ1 /г1 !Аа Р(Р)= ДИ Зэ| Прн (р)>5.
А=-О Таким образом, если Я) — целая функция экспоненциального типа и если ее разложение в ряд Тейлора есть .Р, Ааг", то изображение Я1) определяется формулой о (5.20) а=о Доказательство ° необходимости. Пусть изображение Р (р) оригинала Я) после аналитического продолжения оказалось регулярным в бесконечнб удаленной йу2 ПРЕОБРАЗОВАНИВ ЛАПЛАСА точке. Лорановское разложение гч(р) в окрестности со (учи- тывается, что Р (р) -ь 0 при йе р -+ + со) имеет вид р'(р) = ~~~и ф а-1 Пусть положительное число 5 лежит в области сходимости Ст ВА этого ряда.
Тогда ряд г — сходится; следовательно,схоз Вв дится и ряд х„— ' (ибо — =5 — ~ поэтому его члеь вл„у в„„в„,~ л~з Вь (, .чв Двог) ны ограничены, т. е. в„, .чл ( С, где С вЂ” некоторое поло- В +,~ ВА — — ~ ( С вЂ” ' следовательно, л. ~ рл жительное число, откуда — ГА — целая функция экспоненциального типа. По "и ВА+, АЧ о доказанному т В1, гл . ч.тВА~, ч, ВА , к-зВ у Л! ' Л' 1 рвь1 ~,~рл = Р отсюда (так как оригинал вполне определяется своим изо- бражением) заключаем, что о что и требовалось доказать. Заметим, что всякая регулярная в бесконечности аналитическая функция, равная нулю в бесконечности, является изображением некоторой целой функции экспоненциального типа.
Таким образом, с помощью преобразования Лапласа устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми целыми функциями экспоненциального типа и всеми аналитическими функциями, регулярными в бесконечно удаленной точке и равными в ней нулю. $ у! ОРИГИНАЛЫ С ИЗОЗРАЖВНИЯМИ то ® ~ в, (А — 1)! ь=-г будет оригиналом, имеющим изображение г".(р). (5.21) Изображения бесселевых функций При ч)~0 (см.
гл. !Ч, й 2, формулу (4.20)) функция У,(0 ~~ ! л 'ч2) — =-~( — ')'А!1(,+.+1) а=о будет целой функцией экспоненциального типа. В самом деле, модуль коэффициента при гав в правой части равен 1 1 2гЮг1 ! (; + Л + !) 2гал!(ч + Л) (ч + А 1) (ч + 1) 1 (ч + 1) 1 1 - (1(,~-Т)-2а.(А!)-' но, 2а" (й!)')~ (2й)! [Это неравенство проверяется методом индукции: при гг =- 0 оно верно; если оно верно для некоторого гг, то переход к 1г + 1 сводится к умножению левой и правой частей соответственно на 4(н+ 1)' и (21г + 1) Х Х (2й+2), но 4(й+1)' > (2л+1)(2!о+2), следовательно, неравенство .будет верно и для и + 1.) Таким образом, при всех комплексных Г 12) 1) иг(.+ +1) ч-х !!! ! !! га -- 1 (.
+ !) ~и (2А)! -- 1 (. + !) А=О Нахождение оригинала по его изображению (когда оно регулярно в бесконечности) Предыдущие выкладки показывают, что если гч(р)— какая-нибудь аналитическая функция, регулярная в бесконечно удаленной точке и равная в ней нулю, и если ее лорановское разложение в окрестности со есть ) !~в, в-г и, следовательно, †" — целая функция экспоненциального у. (1) (5. 22) где т — любое действительное неотрицательное число. При т = 0 отсюда находим: (2я)! Уо (1),7! ( 1) 2гя (Л!)а Раж! а о но биномиальное разложение показывает, что ! .~.сс '-1 + р'.! ~~а( ) 2ая(Л!)аРая ' 1 -(- —,, в=о Р следовательно, . 1 1 1 уо (1) .
Р.Г ! )'1'-'+! + Ра (5.23) Покажем методом индукции, что Ув(1)=.' ~ Р ~ ' (и =О, 1, 2, ...). (5.24) УРЯ+ 1 При п= — 0 это следует из (5,23). Далее, в силу свой- ства 4 3 3 о()' г — — +1 ! о ' 1 "Ра (- 1 Г'Ра ( 1 и, следовательно, при и = 1 доказываемая формула также верна. Пусть теперь эта формула верна для всех неотрицательных целых индексов, меньших и (где и )~ 2); тогда типа. В силу (5.20) У, (г) пгвозглзованив лАплАсА [гл.
м ! а ! а (2Л)! ( !) 2ева!Г(, ! Л.~ 1)РЯЯ !' а си 5 7! 275 ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖВНИЯМИ (см. гл. !Ч, $ 3, формулу (4.27)), учитывая, что,/и 1(0)=0, находим: /„(1) = Уп, (Г) — 2/„, (Г) —. ,()грв ! й)п 2 ,2 1.1 2Р ()Г112+ 1 — Р)п ' () Ра+ 1 — Р) )гра ! 1 Т/р~-~-1 Таким образом, формула (5.24) доказана. Рассмотрим теперь функцию 1 гп(р) — е Р (и=-О, 1, 2,,). рпе1 Эта функция регулярна в бесконечно улаленной точке и г"(со) = О, следовательно, она является изображением некоторой целой функции зкспоненциального типа Я). Так как 1 1- оо -1-о — — ~~ ( — 1Р1 У (--1)а рп 1 рпт1 АМ Л1~>л,а~д1р олю' А=Р аг В то в силу (5.21) Г (1) — З ) Гпта Л 2Л1(л4 ")' а-о но (см.
гл. 127, й 2, формулу (4.20')! -1 ( 1)22 2 lп(2 ф' г) = ) следовательно, У(г) =12 У„(2У Г), Таким образом, 1' ! 122п(2'11 Г)=.' — „,е и (п=О, 1, 2, ...) (5.25) и, в частности, при Л=О 1 ./~(2 (г Г) —.— ' е 1 (5.26) 276 (гл. т ПРВОВРАЗОВАННВ ЛАПЛАСА й 8.
ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 1. Изображения логарифма и интегрального логарифма Очевидно, !п1 есть оригинал с нулевым показателем роста. Пусть 1пг.='р(р); тогда (приннмая во внимание свойства 6 и 4 2 3 и учитывая, что г!п1 — 1-+0 прн г — + О) г 1п à —.— ' — Рг (р); 1 г! п à — г =.' — р г (р) — —, ' я 1 (г 1п г — г)' =.' — РР' (р) — —; 1 Р но (г!пг — гУ = !п 1, следовательно, 1 Р 1 Р— Ьпр, Ьпр С рр'(р)+ р(р) = (рр (р)1' = с+рр(р) = р(р) = Р Р Полагая р = — 1, найдем: С = — Р (1) = — / 1п г ° е г с11 = 0,577 о С = !пп (1 + — +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
