Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 35
Текст из файла (страница 35)
+ — — 1п и) . 1 1 „+ ' 2 ''' н Итак, 1пр С !п г=.— ' — — —— Р Р (5. 27) где С в постоянная Эйлера, Это число называется постоянной Эйлера. Можно показать, что й 8) изовглжвния нвкототых спвцилльных етнкций 277 Рассмотрим теперь 1!ее (см. гл.
1Ч, й 7). Имеемг Гег Гег — 1 1!ег= ) — (Г= ) М+!пт= с Г е" — 1 — с(и+с+!и г, и 1 1 е" — 1 .=-' — — —, р 1 р ег — 1 .1/ 1 11 =.' ~! ( — — — ) сбу = 1.п Р— Ьп (р — 1), — д) р г е" — 1 .Ьпр Ьп(р — 1) с(и .=' —— и ' р р о Следовательно, пользуясь (5.27), получим: 1! е'. ' .1пр 1.п(р — 1) с Ьпр С Ьп(р — 1) + Р Р Р Р Р Р С вЂ” с и при надлежащей нормировке интегрального логарифма будем иметь: Ьп (Р 1) (5. 28) Р 2. Изображения функций, связанных с интегралом вероятностей Положим; ег1(Г) =-= е-"'г(и; Ег1(г) = 1 — ег1(Г). г~ 19 заз, 19$с и.
и. Рочаесссаяа где с — произвольная постоянная. Но (учитывая свойство 9 и 8 9 3) 1 ес —.— —, 2г8 [гл. ч ПРВОБРАЗОВАННВ ЛАНЛАСА откуда Р (Р) = (Р— 1)Угт Таким образом, ег ег[ф"7) =.' (5. 29) (р — 1) Ур ' откуда по правилу смещения изображения (свойство 11 й 3) ег[ ( 'Р' С ) Р УР+1 (5.30) Затем е' Ег1 []г' 7) = е' — е' егЕ [ [/ 7) =.'— — (р-1) Ур 1 гг+УР и, таким образом, ег Ег1 ['[г 7) Ры и+Ур ' откуда по правилу смещения изображений Е![ (~/7) .-' р+1+ УЕ-]-1' (5.
31) (5,32) Очевидно, ег[(1) есть непрерывная возрастающая функция на [О, +со)! ег[(0) =-О, ег1(+со) =1, Ег((Г) есть непрерывная убывающая функция на [О, + со), Ег1(0) = 1, Ег[(+со) =О. Рассмотрим функцию Я) = ееег[ [у7) (оче- ВИДНО, ЗтО ОрИГИНаЛ), И ПуСтЬ Г(1)=.— 'Гт(Г). УЧИтЫВая, ЧтО [ег1(Г)]' = = е-' найдем: ,1'(1) = егег[(у 7)+е'. = е-' = е'ег[[]г 7)+ Ув 2Уг += ==У(1) +=,; 1 1 Уяг = Увг ' следовательно, после перехода к изображению (пользуясь свойством 4 3 3 и учитывая, что г(0) =0), получим: , Р(р)=~(р)+ —, =~(р)+=- 1 !2) 1 У л2 3. Изображения интегрального синуса и интегрального косинуса Имеем (на основании свойств 9 и 8 9 3): о!пг .
] ли г)з+ 1 2 = — — агс]д р; г =(- )' о!пи . 1 / — лги —.— ' — ] — — агс!1, Р11; и ' РГ2 о 1 згп г,=.л Р следовательно (при нормировке з! 0 =- 0), , и агсгяр з! г:=' —— 2р р (5.33) Далее (учитывая свойства 9 и 8 9 3), соз г =.' —; сов ! — 1 =.— ' Р . ° Р р'+11 ' ро+1 р ' =Ьп ~ + =1.п ~Р ']Гря г сози — 1 .1 р г(и ны — 1.ив и ' р )Рро.» 1 ' сов г ' ] соя! — 1 с!1- ~ — ~= 1" — ~+»пг= г лги+ с+ 1п г, и о где с — произвольная постоянная; следовательно ]принимая во внимание '(5.27)], .Ьпр Ьп(рз+1) о 1.пр С с!1: — ' —— + — — — — —— р 2р р р р Ьп (рв+1) С вЂ” с 2р р 19в 9 8] изовялжвния нвкотогых спвцилльных огнкций 279 (гл. ч 28О ПРВОВРАЗОВАНИВ ЛАПЛАСА 4. Изображения интегралов Френеля Имеем (пользуясь свойствами 11 и 8 й 3): г( — ) Р 1 егг — е1', У и 1 1 У1 Уг 21 21 (Ур — 1 Ур+1) 1~-:""=' — „' (.—,'- — Ь)' ма 1 следовательно, полагая о (1) = —.~ =11и (синус френеля), (5.35) 1 ~я1пи получим: 5(1) 1 УР+1 УР 2 У21 Ура+1 (5.
36) Далее (учнтывая свойства 11 и 8 й 3), У.. Ур ~ =11и=.' — ( + ); о поэтому при надлежащей нормировке интегрального косинуса будем иметь: с11.=' — (1 + ). (5.34) 2р 281 ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ следовательно, полагая 1 1 сов и С (г) = — з! = с!и (косинус Френеля), (5. 37) получим: С (г) .=' ' г" р Ура+! (5. 38) з 9. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ Преобразование Фурье и его обращение Определение.
пусть Д(г) — комплекснозначная функция на ( — оо, +со), непрерывная всюду, за исключением, быть может, изолированных точек, и абсолютно интегрируемая на ( — оо, + оо). Преобразованием Фурье функции 7(!) называется функция Р (и) = ~ 7'(Г) е 'ас с!Г.
Преобразование Фурье функции 7(!) называют еще спектральной характеристикой функции 7(Г). Легко видеть, что р(и) непрерывна на ( — со, +со) и ( г'(и) ( ~( ) )7(Г) (с!Г. (5.39) Теорема обращения преобразования Фурье где ~ =!!сп / . а-Р> -а Если 7(!) удовлетворяет упомянутым в предыдущем определении условиям, то в каждой точке г, в которой 7 дифференцируема, имеет место формула обращения (обратное преобразование Фурье) 7(Г) = — ~ Р(и)е'а'с!с, (5.40) 282 ПРВОВРАЗОВАНИВ ЛАПЛАСА [ГЛ. У Доказательство непосредственно следует из формулы (1.39), доказанной в 9 10 главы 1. Преобразование Меллина и его обращение 1 ОЭ О(р) = [" х — д(х)бх, о (5.
41) аналитическая в полосе а ( Кер ( 1>. Замечание. Если преобразование Меллина функции д(х) есть 6(р), то при а ( с < Ь преобразованием Фурье функции е оса(е ') будет 0(с+(и). Пусть д(х) — комплекснозначная функция, непрерывная на (О, +со) всюду, за исключением, быть может, изолированных точек. Если 1 хо->[в(х) [а>х (здесь е — действио тельное число) сходится при в=е> и е=е,, то он сходится при всяком е, лежащем между е„и е, (зто следует из того, что если е,(е(е,, то х'(х' при х(1, х' ( х" при х ) 1). Отсюда легко заключить, что либо упомянутый интеграл при всех е расходится, либо найдутся такие а и 1> ( — со (а (1> (+со), что при а(з(1У упомянутый интеграл сходится, а при е ( а и при е ) 1> расходится.
В последнем случае (если а ( 0) интеграл Меллина ~ хв->8(х)дх имеет полосу абсолютной сходио мости а ( Кер((>, причем в каждой полосе а, (Ке р <1>, (где а ( а, ( 1>, ( 1>) его сходимость — равномерная. Из теоремы 9 1 вытекает, что он изображает аналитическую функцию 0(р) комплексного переменного р = в+ гя в полосе а < Ке р < 1У. Определение.
Пусть д(х) — комплекснозначная функция на (О, +ос), непрерывная, за исключением, быть молоет, изолированных точек, и такая, что соответствующий интеграл Меллина имеет полосу абсолютной сходимости а ( Кер < 1>. Преобразованием Меллина функции д(х) называется функция з 9) 283 ФОРМУЛЫ ОВРАЩВНИЯ В самом деле, с помощью подстановки х= е-' находим: 0(с+1и) = ~ е "гго1гд(е-с) й1= е-оса(е-') е-го'а1. Теорема обращения преобразования Меллина Если д(х) удовлетворяет отмеченным в предыдущем определении условиям, то в каждой точке х, в которой д дифференцируема, имеет место формула обращения (обралг- ное преобразование Меллина) ссгоо е (х) = — ~ 0 (р) х Р с(р, (б.
42) с-'ио ссг сега где ) = 1нп ~, причем с — любое действительное ймесо с — Го с-1А число, удовлетворяющее неравенствам а о, с о., д. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если д (х) дифференцируема в точке х, то после подстановки х = е -' функция е-сгд(е-') будет дифференцируема в соответствующей точке 1, но тогда в силу предыдущего замечания и теоремы обра- щения преобразования Фурье найдем в упомянутой точке 1 ос Е-сед(Е ') = — — ~ 0(С+1и) Ег"'С(и, 1 2с „ 1 Г оо(е Е)= — ' ~ 0(е+1и)е1сгго1'Йи; — о следовательно, в рассматриваемой точке х СФГ о д(х) = — —.
~ 0(р) х-Р йр, 1 с — го что и требовалось доказать. 284 [гл. ч ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Обращение преобразования Лапласа Замечание. Если преобразование Лапласа функции у(1) есть р(р), т. е. Р(р)=/ У(1)е "б1, (5.43) а Р(а+1и)= ~ 1(1)е < вяа~'И = / е — аг1 Я ° е емб1. Теорема обращения преобразования Лапласа Если у(1) †оригин и Р (р) — его изображение, то в каждой точке 1, в которой У дифференцируема, имеет место формула обращения (обратимое преобразование Лапласа) аНса У(1) --- ~ Р(р) еявбр (5. 44) азу аМа ~де ~ = !пп ~, причем а — любое действительное й.ь а:о а.-з. а зь число, большее показателя роста 1(1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Я) дифференцируема в точке 1, то е а'У(1) тоже; следовательно, в силу предыдущего замечания и теоремы обращения преобразования фурье найдем в рассматриваемой точке 1 е — агу Я . ~ Р(а+[и) егавг(и, 1 2а, то преобразованием фурье функции е-ав1"(1) будет Р(а+1и), если и†действительное число, большее показателя роста И). В самом деле, Ю 1О) достлточнов головин изовглжвния 285 Г (1) = — ~ Р (а + ш) е1о ' сп1 ' а»и» Г 2п алсо» Г(1) = — ~ Р(р) евгг(р, 1 2г1 а- »со что и требовалось доказать. и 1О.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ БЫЛА ИЗОБРАЖЕНИЕМ Теорема. Пусть Г(р) — аналитическая функция в полосе Иер) ее и при всяком а ) е: 1) ~ )Р(а+и)~г(о сходится, 2)»"-(р)-+ О при Иер)~ а, (р! — ++со. Тогда г" (р) является изображением, причем оригиналом будет: а+ Ь» Г(1) = —, ~ Г(р)ея~,(р, 1 2пг где а — какое-нибудь действительное число, большее ее.
До к а з а т е л ьс т в о. Сперва заметим, что определение Г(1) не зависит от выбора числа а. Действительно, интеграл от Р (р)ев' по прямоугольнику, ограниченному прямыми е = а, е = а„ ч = :"-1», где а и аг больше ге, равен нулю по теореме Коши, но интегралы по горизонтальным сторонам стремятся к нулю в силу уело. вия 2) при Ь -+ + со. Следовательно, в пределе найдем, что а+го» о,+»со а — »со а,-»со Из выражения для Г(г) находим: -~-со ( Г(1) ~ ( — ~ ) Р (а+ 1е) ( еЬ ° ео' 266 (гл. и пгеоввазованив ллпльсл при всяком а ) га; следовательно, у(1) есть оригинал с показателем роста (еа. Пусть Кера) га и еа(а( Кера.
Имеем: УЯ е Рй йг — ~ е-Рий( ~ гч(р)еясйС ! 1 2ат, а-зсо — е1а тч>~й1 ~ Р(а+Еа)егмйа= р 2а,~ — Р'(а+(а) йа ~ е1 г и Р1гйг 1 Г 2а,~ причем изменение порядка интегрирования законно, так как при — со ( а ( +со, 0 ( 1 ( + со имеем; / Г (и+(а) Е1аЧ и-ж1 С ! — ~ Гч (П+ 1 ) ! Š— 1аеР -а) С а интегралы / )Г(а+1а))йа и ~ е <и'аь — а1'й1 сходятся. -СО о Но е1а . и — яо1~ й1— 1 аа — а — В о следовательно, У(Г)е-мг й(= — ' — йа =— 1 Р Р(а+1а) ! Г Р(р) й,Р 2а ~ ра а — га 2ч1,~ ро — р а — аз Пусть К)(ра~ и Сл — дуга окружности (р(=К, лежащая в полуплоскости Кер)~а, а -1е — точки пересечения окружности )р)=Я с прямой Кер=а (рис.
67). ~ !о! достАточное услОВие изоврлжения 287 Внутри сегмента, ограниченного дугой Св и прямой Кер=а, Р(р) аналитическая функция Р) имеет только одну особую Р— Ро точку ро (простой полюс); следовательно, по теореме о вычетах и правилу вычисления вычетов относительно простого полюса (см. гл. !П, Я !7) находим: — с7р = Кев — = Р (ро), () 215' Р— Ро —, Р-Ро— с р, где С вЂ” контур сегмента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
