Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ф 51 огигинллы с Рациональными изовглжвниями 261 Заметим, что всякая правильная рациональная дробь является изображением некоторого оригинала. Таким образом, с помощью преобразования Лапласа устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми функциями, являющимися линейными комбинациями выражений 1меы и всеми правильными рациональными дробями. Заметим, что класс функций, являющихся линейными комбинациями выражений вида 1н'е", обладает следующими свойствами: операции линейного комбинирования, умножения на аргумент, умножения на показательную функцию, линейного преобразования аргумента, дифференцирования и интегрирования, примененные к функциям этого класса, приводят снова к функциям этого класса. Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально) Предыдущие выкладки показывают, что если Р(р) — какая-нибудь правильная рациональная дробь, разложение которой на простейшие дроби есть ЗгЧ ~ Лава то и' у(г) = ')' ~ ~"" е'й' й,=!" будет оригиналом, имеющим изображение Г(Р).
В частности, если все полюсы Р(р) — простые, то Р(р)= ~ —" —; Ля=мезе(р), Р Р» и для оригинала, имеющего изображение Р(р), получим формулу Д1) = ~~~~ Мйеяй . (5. 11) й Таким образом, нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально) сводится к разложению правильной рациональной дроби на простейшие дроби. 18 Зак. 4944. П. И. Романовский (гл. т пгвозглзовлнив лапласа Пример. Найти оригинал у(Г), имеющий изображение 2рз+ ра + 2р (- 2 рз Р 2рг -Р 2рз Разложение на простейшие дроби даст: 1 рз р+1--1 р+1+1' следовательно, Сз сз T (1) = — — (е1' ' ' г1г + се1 ' 11 г = †.
+ 2е — с з(п 1. 2 2 6 6. ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Из общего курса математического анализа известно, что все решения линейных дифференциальных уравнений с постояннымн коэффициентами, правая часть которых есть линейная комбинация функций вида Г е", являются функциями такого же вида.
То же относится я к системам линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правые части которых являются линейными комбинациями функций вида 1"сы. Но линейные комбинации ВЫражЕНИй Сн'Етс, ЕСЛИ ИХ раееиатрнзатЬ На (О, + СО), являются оригиналами с рацнональнымн изображениями. Это подсказывает нижеследующий прием отыскания решения названных линейных уравнений и систем линейных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям Коши. Линейные дифференциальные уравнения Требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами а у("1+ а,у1 -'1+ ...
+а,у = У(с), удовлетворяющее начальным условиям Коши у (О) = с„; у'(О) = с,; ...; у1"-'1 (О) =- с„„ КОГда у"(С) ЕСТЬ ЛИНЕйНая КОМбИНацИя фуНКцИй ВИда Смс". ~ 6) НРиложенил к Решению диФФеРенциАльных УРАвнений 263 Пусть у(г) .=' г(р), г(г) =.сГ (р). Тогда из рассматриваемого дифференциального уравнения и начальных условий Коши следует (в силу свойств 1, 2, 5 э 3): а,(р"г' — сер" ' —... — с.„,)+ а, (р" ' у — с„р" '— ... — с„,)+... +ан,(р)с — с„)+а„)'=Г или (аор + а,р"-'+ ... + а„) Г = = с (а„р" '+ а,рн-а+ ... + а„т) + +с,(а р"-е+а,р" '+ ...
+аз а)+ ... +ел,аз+ р, откуда + с, (аз р" Я+... + а„) +... + с„а + с (р) 1, (5 18) Итак, ивображение 1'(р) искомого решения у(() находится по формуле (5.18). Разлагая правильную рациональную дробь )'(р) на простейшие элементы, найдем с помощью формулы (5.16) искомое решение у(г). В случае однородного уравнения имеем Г(Г)=0 и, следовательно, с'(р) = О. Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью, м ае являющейся линейной комбинацией функций вида г е, сводится к разложению некоторой правильной рациональной дроби на простейшие дроби. Пример 1.
Решить уравнение у" — у" — бу' = О прн начальных условиях у(0) =!5; у'(О) =2; у" (О) = 56. Здесь у(р)— 15 (рз с . 6) + 2 (р 1) + 56 15р' — 1ЗР— 36 — р(р+2)(р — 3) р' — р' — 6р 6 5 4 р+ р+2+ р — 3' следовательно, у(Г) = 6+5е и+4е" Пример 2. Решить уравнение у" +у = сопз1 при начальных условиях у (0) = 0; у'(0) == О. 18* 264 [гл. ч ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Здесь Р Рг+1 Р 1 ( 1 1 Рг+ 1 (Рг+1)г 41 ((Р— !)' (Р+ д)'] ' следовательно, у(Г) = — (Ге" — 1е-чд) =- — 1Б!п1.
1 1 4! 2 Системы линейных дифференциальных уравнений Требуется найти решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами у,+ а,„у, + ... + а,„у„=уд(!), У'+ад,У, +... + аг„У„=Уг(1), г у„'+а„,у,+... +а„,у„==У„(1), ~ удовлетворяющее начальным условиям Коши уд(0) = с,; у,(0) = с,; ...; у„(0) = с„, когда ул(!) (а= 1, 2, ..., и) являются линейными комбинациями функций вида 1 в Пусть ул(Г).=' У„(р), Ул(1).='Р„(р) (й = 1, 2, ..., и), тогда из рассматриваемой системы дифференциальных уравнений и начальных условий Коши следует (в силу свойств 1, 2, 4 ф 3): р 1'„— с, + а„у, +...
+ а„, 1;, = с'„ Р) г сг+ адд) д+ + ад~~ и == Р ° Рӄ— с„+ а„дУд+... + а.,дУ„== Р., нли (а, + р) 1' + а У + ... + а „1'„= сд+ д" д, а.У.+(а.+ р) У.+ "+а..У.=с +Р' а„, У, + а„д 1'г +... +- (а„„+ р) У = с„+ Г„. 3 6) пгиложвния к ввшвнию диеевввнцилльных яедвнвний 265 Пусть а„+р а,я ... а,„ А(р) — м яа+Р ''' Яп аяг аия ... а„„+р ()а = 1, 2, ..., и).
(5.19) )'(р)— ра+ 1Ор + 1б (р + 2) (р+ 8) р+ 2+ р+ 8 ~(р) = 3( — 2)+15(р+4) 15р+54 4 11 ря+ 1Ор+ 18 (р+ 2)(р+ 8) р+ 2+ р+ 8' следовательно, у(1) = — 8е-"+ 11е-", г(Г) = 4е ы+ 1!е и Ауя(р) обозначает алгебраическое дополнение элемента уцй строки и )е-го столбца матрицы этого определителя. Тогда с помощью правила Крамера находим: ~ [с + Р)(р)] А а (р) л (Р) А (р) Итак, изображения Уя(р) функций у„(Г), составляющих искомое решение рассматриваемой системы дифференциаль- ных уравнений, находятся по формуле (5.19).
Разлагая пра- вильные рациональные дроби гл(р) на простейшие дроби, найдем с помощью формул (5.16) искомые функции уе(1). В случае однородной системы все Д„(1) = 0 и, следовательно, все Рл(р) = О. Таким образом, решение системы линейных дифферен- циальных уравнений с постоянными коэффициентами и пра- выми частями, являющимися линейными комбинапиями выражен и ний вида 1 е , сводится к разложению нескольких правиль- ных рациональных дробей на простейшие дроби. Пример. Решить систему у'+ 4у+ 4г = О, г'+ 2у+ бг = 0 при начальных условиях у(0) = — 3; г(0) = 15. Здесь 3(р+5)+15( — 4) Зр — 42 8 11 266 [гл.
я ПРВОВРАЗОВАННВ ЛАПЛАСА Б 7. ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ, РЕГУЛЯРНЫМИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ О предельном переходе под знаком несобственного интеграла Теорема. Пусть 1;,(1) (н =. 1, 2, ...) — комплекснозначные непрерывные функции на [О, + со), причем )У„(()[ (Р(Г), где Р(() — такая действительная неотрицательная непгерывная функция на [О, + сю), что / е(г)Ж сходится. Пусть о затем уч(~)-ьу(Г) на [О, +па), и притом равномерно на кам<дом сегменте [О, а[, где а ) О. Тогда +со + 00 1' у„(() ((-+ /' я) ш. е о Д о н а з а т е л ь с т в о.
Из условий теоремы видно, что Дг) непрерывна и [у(г)! (Р(Г) на [О, +со). Пусть е— произвольное положительное число. Так как несобственный интеграл ~ Р(()пЧ сходится, то найдется такое а) О, что о г я тО)пг( О . так как ДО(г)-+у(г) на [О, а[ равномерно, О а а то ~ тп(1)с(( — + ~ д'(г)Ф н, следовательно, найдется такой о о номер Ж, что прн и ) А( будем иметь: 267 огигиналы с изовглжвниями Следовательно, при и ) И / У;,[г) )~ — [ У[г)~~ < [ Ун[т)Π— ~У[г) [г + о о [о о +л + О + ) ун[) + 1 ~[') ' ~ з+,з+ з =' что и требовалось доказать. Примечание. Теорема остается в силе, если у"„[1) и у [~) предполагать непрерывными на [О, +со), за исключением изолированных точек, и требовать равномерной сходимости ~„(1) к Я) лишь на каждом сегменте, лежащем на [О, +со) и не содержащем упомянутых изолированных точек.
Для этого в предыдущее докавательство нужно внести следующие изменения. Выберем а настолько большим и окружим попадающие на [О, а[ точки разрыва настолько малыми сегментами, чтобы сумма интегралов от ~(Г) по этим сегментам и по [а, +со) была меньше —. После этого 3' используем тот факт, что на оставшихся сегментах уя (т) — + У[а) равномерно. В качестве приложения доказанной теоремы сделаем два замечания о свойствах изображений [когда оригинал удовлетворяет некоторым требованиям). Замечание 1.
Пусть У(г) непрерывна на [О, + со), ~'[+0) существует,.)Я)!.. ~о[г), где е[г) — неотрицательный непрерывный неубывающий на (О, + со) оригинал. Тогда, если Я) —.— 'Г[р), то рР[р)-ьу(+0), если р)0 и р-ь+сс. В самом деле, пусть а — положительное число, большее показателя роста ~(Г), и пусть р ) з. Тогда рр[р)=р ~ 7(д)е- 'В= ~ У[ ~1е-'пг; ~р) о о ~У( †)е '[ ( у( †)е ' ( ~о( †)е ', 268 пввоввлзовлние ллпллсл [гл. ч интеграл е-с <ц з ~ ~о(С) е-оссй .~ Ь) о о /с х сходится; У~ — се-с — +у(+0)е-' при р-++со равномерно Р на каждом сегменте [а, р[, где 0 ( а ( 8 (+со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
