Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Найти вероятность Р(2Язоо > оооо — 30) Ркшкник. Случайная величина Язов распределена приблизительно по нормальному закону Х(300,300), т.к. п = 300, т = М<1 = 1, оз = 06, = 1. Точно такое же распределение имеет случайная величина Яеоо — Язоо причем случайные величины Язов и Неоо — 5зоо независимы. Положим О = озоо, ч = оооо — Нзоо. Тогда Яеоо = и + ~ и неравенство 2Язоо > Яеоо — 30 можно записать в виде ~ — ц < 30. Но случайная величина ~ — ц распределена по нор- мальному закону Х(0, 600). Следовательно, Р(2Нзоо > Несо — 30)=Р(~ — и < 30)=Ф ~ 2) = Ф ~/ — -08897 ~, ь7600 ) 1 2) Ответ. Р(2Нзоо > Неоо — 30) = 0 8897 Постановка злдлчи. Пусть йм (г,...
-- независимые одинаково распределенные случайные величины, причем Мед = хп, П~ь = ог, 0 < ог < +со. Положим о„= (1+... + ~„, н = 1,2,... Найти вероятность неьсоторого случайного события, связанного с суммой Я„ при большом и или с несколькими суммами Ят, Я„„... ири больших п„пг,... 328 Гл. 6. Теория вероятностей УслОВИЯ ЗАДАЧ.
Случайные оеличины сысг,... независимы и подчинены одному и тому лсе указанному закону распределенпл. По- ложим Н„= сг+...+5„, и = 1,2,... Найти указанную вероятность. 1. Показательное распределение с параметром Л = 1, Р(згво е (90, 100)). 2. Нормальное распределение Х(1, Ц, Р(Нзоо > 850). 3. Распределение Пуассона с параметром а = 1, Р(Нлоо < 420).
4. Равномерное распределение П(0,2], Р(]Нгвво — 1600] < 40) 5. Биномиальное распределение с параметрами п = 9, р = 0,5, Р(]Нгоо — 450] > 30). 6. Показательное распределение с параметром Л = 1, Р(згооо — лвоо > 390). 7. Нормальное распределение Х(1,1), Р(]Ново — Ньоо] < 420). 8.
Равномерное распределение П(0, 2], Р((олоо+ Нгоо)/2 > азов+ 5) 9. Биномиальное распределение с параметрами и = 9, р = О, 5, Р(Нгво + Нгоо < 1400). 10. Распределение Пуассона с параметром а = 1, Р(Нгоо + Нгоо + Нзоо > 550) Ответы. 1. 0.3414. 2. 0.9522. 3. 0.8413. 4. 0.9167. 5. 0.0455. 6. 0.6915. 7.
0.8413. 8. 0.1103. 9. 0.0680. 10. 0.9093. Глава 7 МАТЕМАТИ'ЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА При изучении темы МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА вы научитесь извлекать полезную информацию из результатов измерений, данных опросов и друтого фактического материала, а также использовать этот материал для формулировки и проверки гипотез. Задачи 1 — 6 посвящены использованию статистических данных для нахождения законов распределения.
Представив статистические данные в виде наглядных графиков, мы формулируем гипотезу о законе распределения этих данных. Такой закон обычно содержит один или несколько параметров, численные значения которых подлежат уточнению. Задачи 7 — 12 посвящены использованию статистических данных для нахождения числовых характеристик законов распределения и, в частности, фигурирующих в этих законах неизвестных параметров.
Вы научитесь находить точечные оценки математического ожидания и дисперсии, а также применять метод моментов и метод наибольшего правдоподобия для определения параметров распределения. Задача 13 посвящена очень важному для приложений методу наименьших квадратов. В задаче 14 вы научитесь уточнять данные с помощью известных соотношений между ними. Задача 15 посвящена случайным интервалам. Они необходимы для оценки точности информанни, извлеченной из фактического материала методами математической статистики. Так, в задачах 16 и 17 случайные интервалы используются для оценки точности л1атематического ожидания и дисперсии, определенных по выборке.
Эта точность характеризуется так называемыми доверительными интервалами. Обработав статистические данные, как показано в задачах 1 — 16, вы будете иметь точную гипотезу о законе их распределения или несколько конкурирующих гипотез. Задачи 17-20 посвящены использованию статистических данных для проверки гипотез о законах распределения. Без использования компьютеров невозможно изучить математическую статистику, поскольку решение задач требует многих гро- Гл. 7.
Математическая статистика ЗЗО моздких вычислений, графических построений, статистического моделирования и частого использования справочных данных. Пакет РЕ1ПЕБНИК.ВМ предоставит вам все необходимое при изучении математической статистики и прн последующей практической работе со статистическими данными. 7.1. Группированный статистический ряд абсолютных частот ПостАнОВкА 3Адлчи.
Дана числовая выборка ам ам..., а„. Построить ее группированный статистический ряд абсолютных частот из т членов. ПЛАН ВНШНННН. Группированным статистическим рядом абсолютных частот называется последовательность пар чисел (хы пь), (хю пз),..., (хю, и„), где х' — центр й-го интервала группировки и и' — число элементов выборки, попавших в в-ый интервал. Числа п~ (к = 1,..., гп) называются абсолютными частотами. 1.
Находим х„,;„= шш(аы аз,..., ои) и х~еьк = шах(аы аз,..., а„). Если х ы нли х „„далеко отстоит от остальных элементов выборки, то нужно либо пополнить выборку, либо исключить из выборки это значение, иначе группированный ряд абсолютных частот получится непредставительным. 2. Находим длину интервала группировки Ь = (х,„— х~ы)/т где т -- число интервалов группировки. 3.
Находим правые границы интервалов группировки хь = х иь, т йй, (/с = 1,..., гп). 4. Находим центры х„* интервалов группировки хь = хе+ 6/2, й = 1,...,т. 5. Для каждого интервала группировки (хь ы хе) находим число пь элементов выборки, попавших в этот интервал. 6. Проверяем, что сумма всех абсолютных частот и* равна объему выборки и: п*+ и*+... + и*„, = и.
Если это не так, то при подсчете каких-то абсолютных частот а*„были ошибки и нужно подсчитать все абсолютныс частоты п*„заново. 7. Рекомендуем записывать ответ в виде х~ т*, хг ... х,'„ пь п1 пг ... и,* 7.1. Группированный стпатпистпичесний ряд абсолтотпных частпотп 331 ПЕИМИ'.
Дана выборка 0.3414 0.0544 0.5665 0.5729 0.5221 1.0481 0.2063 0.4233 0.0765 0.6972 0.5163 0.8818 0.1865 0.1791 0.9468 0.1072 1.5617 1.1870 0.1553 0.4480 0.5821 0.9818 1.0617 0.0652 3.7157 1.8344 0.7458 0.7540 0.0107 0.2080 0.5707 0.0353 0.0961 1.7704 0.2473 0.4891 0.1172 0.6037 1.0279 0.6948 0.2394 0.6025 0.2399 0.5744 0.0105 0.8014 1.8042 0.4547 0.1594 0.7304 0.2385 0.1313 0.4685 0.2088 0.3142 0.2477 0.0590 0.8701 0.4743 0.1035 0.0424 0.4640 0.1973 1.2452 0.6812 0.2391 0.6018 0.1384 0.3842 1.9074 0.8335 0.1128 0.4220 0.7335 0.1384 0.5190 1.0030 1.2520 0.1868 0.1219 0.1084 1.2342 0.0455 0.1426 2.0712 0.0435 0.2432 1.4830 1.3463 0.1551 0.1051 0.1947 0.4945 0.1489 0.0300 1.9687 0.2459 0.2411 0.0786 0.1704 0.0517 0.3001 0.1881 0.3989 0.3636 0.4906 0.5615 0.2307 0.0598 0.3059 0.4618 0.6618 0.6431 0.7181 0.1927 0.2341 0.8441 0.0666 0.5814 0.4669 0.0706 0.3872 0.3162 0.0293 0.3635 0.6708 0.9115 0.2149 0.1379 0.0240 0.2368 3.0668 0.5952 0.9600 0.7650 0.0266 0.1971 0.2453 0.2817 0.5482 1.0075 0.9034 0.1531 1.5407 0.3712 ОА305 0.6989 1.3417 1.0866 0.5681 0.3756 0.9597 0.7906 0.1007 0.5398 0.4489 0.1600 0.0009 0.0279 0.1746 0.1138 0.4197 0.7443 0.2543 1.0400 ОЛ 737 0.6106 0.0511 0.2837 0.6404 0.8304 0.2186 0.4119 0.1463 0.3607 0.1491 0.0713 0.5814 2.8045 1.3063 0.1138 0.0343 0.1560 0.0778 0.0472 0.2749 0.3299 1.4998 1.6403 0.0024 0.0250 0.4424 1.5446 0.9442 0.6416 1.0949 0.3004 0.0413 0.7620 0.7577 0.3538 0.6052 0.3154 0.3242 0.1391 0.6120 0.0216 0.1370 1.6186 0.2310 0.8314 1.2808 0.8731 0.0616 0.3451 0.9448 0.7492 0.7761 0.0214 0.4120 0.0940 0.1623 0.6393 0.1266 1.7226 1.6758 0.3748 0.5488 0.0842 0.9146 1.0724 1.6746 0.3921 1.2122 0.3526 0.0264 0.4680 0.7817 0.3367 1.2449 0.0398 1.2827 0.4134 0.0429 0.6958 0.6410 0.9806 2.5054 0.4858 0.2281 2.1528 0.6725 3.7900 0.0005 0.3757 0.6727 ОА208 1.8663 0.2649 0.2802 1.1588 0.1339 0.0146 0.4941 0.8826 0.3320 0.2814 0.2769 0.6607 1.2985 0.9648 0.5388 0.3288 0.5051 0.6511 0.1595 0.0253 1.3622 0.1405 0.6973 Построить ее группированный статистический рлд абсолютных частот из 21 члена.
РЕШЕНИЕ. 1. Находим х„и„= 0.0005 и х„„= 3.7900. 2. Находим длину интервала группировки Ь вЂ” — — — — — — - — ОЛ 80452381. х„ы„— х,ы„3.7900 — 0.0005 т 21 Здесь тп = 21 число интервалов группировки. Гл. 7. Математическая статистика 332 3. Находим правые границы интервалов группировки: хь = хть, + кгг (й = 1,..., 21). Получаем 0.1805 0.3610 0.5414 0.7219 0.9024 1.0829 1.2633 1.4438 1.6243 1.8048 1.9852 2.1657 2.3462 2.5267 2.7071 2.8876 3.0681 3.2486 3.4290 3.6095 3.7900 4. Находим центры х~ь интервалов группировки по формуле 6 хь-— ха+-, 9=1,...,21. 2' Получаем х*ь 0.09025 0.27075 0.45120 0.63165 0.81215 0.99265 1.17310 х*ь 1.35355 1.53405 1.71455 1.89500 2.07545 2.25595 2.43645 х*ь 2.61690 2.79735 2.97785 3.15835 3.33880 3.51925 3.69975 5.
Для каждого интервала группировки (хь г,хь)находим число и~ элементов выборки, попавших в этот интервал. Получаем п~ 76 51 39 36 21 18 9 п„7 6 6 4 2 0 1 пь 0 1 1 0 0 0 2 6. Убеждаемся, что сумма всех абсолютных частот пг, равна объему выборки 280. Ответ.Группированный статистический ряд абсолютных частот имеет вид х*„ 0.09025 0.27075 0.45120 0.63165 0.81215 0.99265 1.17310 и*„ 76 51 39 36 21 18 9 х*„ 1.35355 1.53405 1.71455 1.89500 2.07545 2.25595 2.43645 пь 7 6 6 4 2 0 1 х*„ 2.61690 2.79735 2.97785 3.15835 3.33880 3.51925 3.69975 пг 0 1 1 0 0 0 2 Условия элдлч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
