Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В итоге получаем ряд распределения случайного вектора (~, и): 3. Находим Мс, Мо и Мбо по формулам (3). Получаем Мс=1.—,+2 —,+ — -~3 — + —, +4 —,,+— 161 +5 ( + )+6 ( -у ) = (1, 6~15+23+45+66) = 1,36 36) (~ 36 36) 36 36 ' Гл. 6. Теория вероятностей 302 2 1 1 Ми=1 5 +2 36 36 3' МС0=1 2. +21. +31 л4 1 +5 1. +61. 1 2 2 2 2 2 36 36 36 36 36 36 1 11 36 = — (2+2+3+4+5+6) = —.
18 4. Находим ковариацию санЯ, и) случайных величин 4 и и по формуле (2): П 161 1 95 сот(~, и) = М~ц — М~М0 = —— 18 36 3 108 Ответ. сот(~, и) = — 95/108. Условия задач. Бросаются два игральных кубика. Найти ряд распределения случайноео вектора (~,0) и ковариаиию С и и. 1. с — число появлений двойки, и — число появлений тройки. 2.
4 — число появлений двойки, и — число появлений числа, кратного трем. 3. с — число появлений четного числа., и — число появлений числа, кратного трем. 4. ( — число появлений единицы, 9 — число появлений числа, меньшего трех. 5. с число появлений числа меньшего трех, и число появлений числа, большего четырех. 6. с минимальное из появивпплхся чисел, и число появлений шестерки. 7. с минимальное, и максимальное из появившихся чисел.
8. с — минимальное из появившихся чисел, и — число появлений четного числа. 9. с — максимальное из появившихся чисел, и — число появлений числа, кратного трем. 10. С вЂ” минимальное из появившихся чисел, 9 — число появлений числа, меньшего трех. Ответы. 1. — 1/12. 2. — 1/9. 3. О. 4. 2/9. 5. — 2/9. 6. 35/108. 7. 1225/1296.
8. 1/4. 9. 19/54. 10. -20/27. 6.17. Распределение непрерывного случайного вектора 303 6.17. Распределение непрерывного случайного вектора Постлновкл злдлчи. Непрерывный случайный вектор (~,0) задан как некоторая векторная функция элементарных исходов некоего случайного экспериментпа.
Найти плотность вероятностей р(х, у) этого случайного вектора. П2тлн решения. Двумерный случайный вектор (С, 21) называется непрерывным, если он может принимать все значения (х, у) из некоторой области Р и существует неотрицательная числовая функция р(х, у), такая, что для любой области С на плоскости имеем РЯ, у) е С) = ~~ р(х, у)дхау. 1. Находим область Р возможных значений случайного вектора (С 2 и) и убеждаемся, что область Р имеет ненулевую площадь.
2. Для каждой точки (х2у) области Р вычисляем вероятность Р(с Е [х, х+ Ьх], у Е [у, у + 2лу)) для малых 2лх, 2лу. Если (х, у) Е Р, то плотность вероятностей р(х, у) вычисляется по формуле Р(~ е [х,х+ Ьх), и с [у,у+ Ьу)) р(х,у) = 1ш1 (1) л о, Лхасу Ль а Если (х, у) ф Р, го р(х, у) = О. Пример. Точка наудачу выбирается в круге радиуса 1 с центром в начале координат, Х абсцисса этой точки, Ф полярный угол. Найти плотность нероятностей случайного вектора (Х, Ф).
РЕШЕНИЕ. 1. Находим область Р возможных значений случайного вектора (Х, Ф). Очевидно, что Ф может принимать любое значение из промежутка [0,2к), а Х при каждом Ф может меняться в пределах от 0 до сов Ф, если Ф Е [О, к 222Ь [Зк/2, 2к), и от сов Ф до О, если Ф Е [к/2, Зк/2). Итак, область Р возможных значений (х, у2) случайного вектора (Х, Ф) имеет вид к 23к Л=([*22): 2 [2,— [с( —,2 ~, * / °, 2[)22 '2 ~2' О(~") "('-Ч "ь" ~[ (см. рис. 6.7, где область Р заштрихована).
Гл. 6. Теория веролтнноетей 304 Рис. 6.7 Очевидно, что площадь области ь положительна. 2. Для любой точки (т,ео) Е Р находим вероятность случайного события А = [Х Е [х,х+ Ьх), Ф Е [ео,ее+ Ьр]) при малых Ьт, ЬТ. Элементарный исход рассматриваемого случайного эксперимента (выбор точки наудачу в круге) есть точка (и, и), где из+из < 1. На рис. 6.8 заштрихована область благоприятствующих событию А исходов при т > О. Рис. 6.8 Поскольку точка выбирается в круге наудачу, то бд7. Распределение непрерывного случайного вектора 305 где Нкрсн площадь четырехугольника ЕРКИН. Вычисляя площадь четырехугольника ЕРКИН как разность площадей трапеций, получаем х 1Я((Р + Ь(Р) + (х + Ьх) СИ((Р + Ь(Р) оярон— 2 Ьх— хсзр(р+ (х+ Ьх) Фя(р х сох =— 2 сова (о Итак, Р(А) = — ЬхЬ(р.
ог совз (Р Находим плотность вероятностей р(х,(р) случайного вектора (Х, Ф) по формуле (1). При (х, уо) Е Р и х > О получаем р(х,(р) = 1пп Р(А) х ' свх(л()) )г сова (Р а о Аналогично, при (х, (р) е Р и х < О, получаем р(х, ) = ог сова уо ' При (х, ао) (р Р р(х,(р) = О. 1х( Ответ. р(х,у)) = к сова х (*,о) ((*,о):о о,— ) с ( —,| ~. (о, о))() ('2) ~,2' и р(х, а)) = О при остальных (х, (Р). Замечание. В ответе из области Р исключены точки (х,у)) при уо = я,(2 или уо = Зк/2, поскольку при таких (р функция р(х,(Р) не определена.
ло В.И. Афанасьев и др. 306 Гл. 6. Теория вероятностей Условия вядлч. Точка наудачу выбирается в круге радиуса 1 с центром в начале координат, (Х, У) — декартовы, координагпы,згпой точки, (Л, Ф) — полярные координаты. Найти плотность вероятностей заданных случайных векторов. 1.
(Х,У). 2. (Л,Ф). 3. (Х,Л). 4. (У,Л). 5. (У,Ф). 6. (2Х,ЗУ). 7. (Х вЂ” 1,У+.2). 8. (2Х вЂ” 1,3У+2). 9. (2Л,Ф). 10. (Л,2Ф). Ответы. 1. р(х,у) =1~к, х~-~-у < 1; р(зцу) = 0 при остальных (х,у). 2. р(р, р) = рггк, р е [0,1], р е [0,2х], р(р, р) = 0 при остальных (р, р). 3. р(х, р) = р/(к „/рз — хз), х Е [ — 1, 1], р Е [,'х[,1]; р(х, р) = 0 при остальных (х, р). 4. р(у,р) = рГ(к~р~ — уз), у Е [ — 1,11, р Е Цу],1]; р(у,. р) = 0 при остальных (у, р). 5.
р(у, р) = ]у],г(к едпл р)., уг С (О, л), у Е [О, вшр] или ,'р Е (к, 2к), у Е [в1пуц О]; р(у, |р) = 0 при остальных (у, |р). 6. р(и. и) = 1гг(6к) и~,г4+ и~гг9 < 1. р(и, и) = 0 при остальных (и, и). 7. р(и,и) = 1Гк, (и+ 1)~ + (и — 2)~ < 1; р(и, и) = 0 при остальных (и, и). 8. р(и,и) = 1Г(6к), (и+ 1)~/4-Ь (и — 2)~/9 < 1; р(и, и) = 0 при остальных (и, и). 9.
р(и,и) = и/(4к)., и Е [0,2], и Е [0,2х]; р(и, и) = 0 при остальных (и, ь). 10. р(и, и) = и/(2от), и Е 10, 1;', и Е [0,4л]1 р(и, и) = 0 при остальных (и, и). 6.18. Числовые характеристики непрерывного случайного вектора Постановил вадячи. Пусть (С,ц) непрерывный случайный вектор с плотносгпью вероягпностей р(х,у). Найти центр рассеяния и ковариационную матрицу случайного вектора (С,ц).
6.18. Числовые характеристики непрерывного случайного вектора 357 ПЛАН РНШННИЯ. Центром рассеяния называется вектор, составленный из математических ожиданий компонент, т.е. (Мс, Му), где Мс и Му вычисляются по формулам М1 = Цхр(х, у)е1хе1у, Му = Ц ур(х, у)йхе1у. (1) Ковариационной матрицей случайного вектора (Сю у) называется матрица, составленная из ковариаций его компонент,т.е. с 04 сои(д,у) ') (2) сои(Я, у) Оу / ' причем ОС, Оп и сои(С, с1) вычисляются по формулам тсю тою Ос = Ц(х — гп,)зр(х, у)е1хс1у = Цх р(х, у)1хс1у — тг, (3) -~-сю -~-юс Оу = Ц(у -- тз) р(х, у)с1хс1у = Ц узр(х, у)с1хе1у — та~с (4) сои(с,у) = Д(х — т,)(у — тз)р(х,у)сну = хур(х, у)1хе1у — т1тг, (5) где т1 = Мс, тз = Му.
1. Находим М5 и Му по формулам (1) и центр рассеяния (Мсс Му). 2. Находим Ос, Оу и сои(с,п) по формулам (3) — (5) и ковариационную матрицу (2). Замечание. Если обозначить координаты случайного вектора ~~ и бз, а плотность вероятностей — р(хы хз), то ковариационную матрицу можно определить в виде, допускающем обобщение в случае произвольной размерности; (с, ) = (М(С, — тв)(~ — ту)) = в О ~ в ~ ~ в М(51 — тг)(сг — тв) М(сг — та)(сз — тз) М(сз — тз)(с1 — т~) М(сз — тз)(сг — тз) ( ' Гл. 6. Теория вероятностей 308 где т2 = МСеГ и т2 = Мйез.
Элементы этой матрицы могут быть найдены по формулам сГ1 = М(С, — т,)(С вЂ” т ) = Л~(х, — т;)(х. — т )р(х,,х2) йх, ГГХ2 = О х;х р(х2,х2) дх2 Г1Х2 — пе,т„е,у' = 1,2. В частности, сы = М(йà — тГ)(~à — т2) = Р~м С22 = М(с2 Гп2)(с2 т2) = Р(2, С22 = С22 = Со\'(см ~2). Очевидно, что ковариационная матрица симметрична, т.е. совпадает со своей транспонированной. ПгимЕЕ. Точка наудачу выбирается в области Р (см. рис. 6.9). Рис. 6.9 Пусть (С,у) декартовы координаты этой точки. Найти центр рассеяния и ковариационную матрицу вектора (С, 0). Решение.
При выборе точки наудачу в области Л случайный вектор (Г,п) равномерно распределен в области Р. Это означает, что он является непрерывным случайным вектором и его плотность вероятностей р(х,у) имеет вид ) 1/Я(Л), (х, у) Е Р, О, (х,у) фР, где о(Р) площадь области Р. В рассматриваемом случае получаем, что ) 4ГГ7Г, (Х,у) Е Л, ) О, (х у)фР. 6.18. Числовые характеристики непрерывного случайного вектаора 309 1. Находим Мс и Мтг по формулам (Ц.
Имеем мт = //*тн,т)т*тт = — д *в*мт =— 3 те Мтг = // ур(х, у)йхйу = — // уйхйу = —. Зк Поэтому центр рассеяния случайного вектора (С, т1) имеет вид Ы -'.) 2. Находим стй, 021 и сои((,т1) по формулам (3) — (5). Имеем 16 РС = хвр(х, у)йхйу — — = 9. 2 кГ2 Г кг'2 2 = — / сов игйвт— 9кв 4 9к2 о 4 Г 1' 16 = — / йвт/ р сов сойр— к,/,/ 9кв о о Аналогично, 1 16 4 9тгг тг. Имеем Втт = Находим теперь ковариацию ~ и 16 соу(С, т1) = Ц хур(х, у)йхйтут— 9к' ° 12 4 16 4 Р Р в = — // хуйхйу — = — / <йр / р сов говшвтйрв -// ' 92 ° / о о л/2 1 Г 16 1 тйпв со 16 1 16 — сов р вш ссйво— к 9кв к 2 9тг2 2тг 9кв о Для вычисления интеграла удобны полярные координаты (р, уг). Напомним, что х = р сов уг, у = р тйп от и модуль якобнана этого отображения равен р. Аналогично вычисляем Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
