Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 53
Текст из файла (страница 53)
иь ь=е (3) п1 Р(и*=12,...,п* =й„,)=, ',р11 ... р*, 1 ' ' т где п объем выборки, Й1 +... + Йт = 'и, р; = Г(хе) — Г(х, .1) вероятность того, что с примет значение из интервала (х, и х,). Значения квантилей ер ,таких,что Р(ег ) р ) = о, для различных о, п, т, рм.,,, р можно получить с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ. 2. При п,',, — пь~ << пь величины (2) и (3) примерно равны.
Именно поэтому можно применять критерий Х . Очевидно, что 1с~ является функцией т переменных п,*,..., и* . Поэтому закон распределения ер~ определяется вероятностями Р(п1 = ам...,и* = йт). В свою очередь, эти вероятности определяются полиномиальным законом: 395 7.19. Критперий согласия Пирсона 3. Если имеется несгруппированная выборка ат,..., аи, то при груштировке целесообразно использовать интервалы (хт, „ хь), такие, что вероятности Р(хь т < с < хь) одинаковы для всех интервалов. 4. Теоретические частоты пь в формулах (2) и (3) зависят от параметров распределения.
Это можно использовать, чтобы определить параметры распределения по выборке следующим образом. Выразив теоретические частоты пь через параметры распределения ат,..., аз и используя формулу (2) или (3), получаем: = тт (ат,...,а ) или т)т = тД (ат,...,а.). Параметры ат,..., а определяются из условия К~(ат,..., ат.) — т тшп или тр~(ат ... а ) — т тшп . Примкг.
Дан группированный статистический ряд абсолютных частот некоторой случайной величины ~, найденный в примере раздела 7.1 (стр. 332). Используя критерий Пирсона, проверить т итютезу Но. Р(С < х) = Е(х) = 1 — е т* против гипотезы Нт; Р(С < х) у'= Е(х) при уровне значимости о = 0.02. Параметр Л = 1.7205 определен по выборке. Ргсшиииг.. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений. Поскольку абсолютные частоты пт,..., пзт меньше 10, объединим интервалы группировки 7 и 8, 9 и 10, а также интервалы 11 — 21.. 2.
Вычисляем полуширину Ь интервала группировки: хз — х*, х' — х*, 0.27075 — 0.09025 2 2 2 3. Находим границы интервалов группировки по формуле хь т = хт. — Ь, Й = 1,...,т, х = х*, + т.'т. и помещаем их в 4-й и 5-й столбцы таблицы. Гл. 7. Математическая статистика 4. Находим объем выборки п = и' + и* +... + и' = 280 (сумма чисел в 3-м столбце). 5. Вычисляем теоретические абсолютные частоты пь по формуле (1) и помещаем их в 6-й столбец таблицы. В данном случае П П(Р(Х ) Р(Х )) 280 [Š— Ьггаьие, Š— Ьггаоие] Сумма частот в 6-и столбце равна 280, т. е.
совпадает с объемом выборки п = 280. 6. Заполняем 7-й столбец таблицы числами (пь — пь)~/ць, к = 1,...,9. В итоге таблица принимает вид (пь — пь) /пь 0.020971 1с хь 1 0.0902 и*. хь 76 ~ 0 0.18050 74.748 2 0.2707 51 0.1805 0.3610 54.793 0.26257 0.032770 39, 0.3610 0.5414 40.147 3 0.4512 36, 0.5414 0.7219 29.448 0.6317 1.4578 6 0.9922 18 ~ 0.9024 1.0829 15.824 0.29923 16 ~ 1.0829 1.4438 20.099 7 1.1732 0.83595 8 1.3537 12 1.4438 1.8048 10.804 0.13240 11 1.8048 оо 12.549 0.19120 10. Находим максимальный уровень значимости о, при котором наша гипотеза Но согласуется со статистическими данными, т.е.
2 2 Хв < Хкр' Используя таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ, находим что при 7-ми степенях свободы о = Р(Х2 > Хг) = Р(Х2 > 3.2489) = 0.86106. 7. Суммируем числа в 7-м столбце. Получаем величину (2). В данном случа Х,г = 3.2489. 8. В таблице значений функции распределения Хг или с помощью пакета РЕШЕБНИК.В7И находим квантиль Хг, такой, что Р( г> с1исло степеней свободы равно т — 1 — 1, где т = 9 количество интервалов и 1 = 1 число параметров, определенных по выборке.
Следовательно. число степеней свободы равно 7. Тогда Хг = 16.622. 9. Поскольку Хг < Хг, гипотеза Но . Р(4 < х) = 1 — е ха не отвергается. 7.19. Критерий согласия Пирсона 397 Замечание. Уровень значимости о это риск ошибочно отвергнуть гипотезу Нв,когда она верна. У нас получилось,что гипотеза Нв принимается при очень высоком риске отвергнуть ее, что означает хорошее согласие гипотезы со статистическими данными.
Ответ. При уровне значимости вплоть до 0.86106 нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что выборка распределена по показательному закону с функцией распределения Г(х) = 1 — е Условия задач. Для группированных статистических рядов абсолютнь х частот, найденных в задачах раздела 7.1 ( стр. 333), с поыои1ью критаерия согласия Пирсона проверить гипотезу о виде распределения. 1. Г(х) = х при 0 < х < 1. 2. Г(х) = х при 0 < х < 1. 3. Г(х) = = 1 — е ' при х ) О. 4.
Г(х) = 0.5+агсв1п(х)/к при ~х~ < 1. 5. Г(х) = хг при 0 ~ (х < 1. 6. Г(х) = хз при 0 < х < 1. 7. Г(х) = е*,1(е* + 1). 8. Г(х) = 1 — е г ~~ при х ) О. 9. Г(х) = Ф(х) — Ф( — оо). 10. Г(х) = = агс18(хз)/и+ 0.5. сгзпья = 0 99999350 'хп1ах — 0,99567821 о, = 0.99999172. и„,„„= 0.99987244. о = 0.90674512. Ответы. 1, К~ = 0.35, 3 К~ = 1.67, 5. К,' = 0.37, 7. К~ = 0.7, 9 Кв 4 07 2, гг~ = 0.147, 4. Кг = 0.09, 6. К~ = 0.263, 10.
К~ = 0.62, о = 0.99999985. о, = 0.99999998. сг,„, = 0.99999813. о„= 0.99943750. о„, = 0.99882110. ая ОЕВ1Ъ'Е., Мар!е тг, МССРАТС, есс. ассоггНп Со СЬе ивет сЬо1се. СТСЕВ1УЕ Ся а рагС о1 СЛе рас!тле Еог СЬаС ригрояе.) ЯТЕМ Р1ия шяегся СЬе САЯ геяи!С тп СЬс аост! т!осшпспС. А11 тпаСЬептаска1 Согши1ая сап Ьс Сгеасет! тп СЫя тнау.
11 гя ипрогсапС СЬаС оп1у ясапсСагтС птаСЬешаНса1 поСа11оп 1я ивет! ш СЬе т11а!од ЬеСгчтееп СЬе ияег апй сотпрттСег. ТНЕ ЯО1АтЕВ.НМ Ьурегсехс Ьоо1т Ся а со11есНоп о1 М1сгояой Чтогт1 т1осшпепся тчССЬ а пач1даНоп Соо!. ТЬе тСосишепся аге а!пюяС пуепНса! Со СЬояе ш СЬе Ьоо!т.
ТЬеу аге ивет ая Сешр1асея Сот соггесС апН сошргеЬепя1не яо!иИопя о1 Ьаятс птаСЬетпайса! ргоЫешя. ТЬе пан1даССотт Соо! епаЫея СЬе яситСепся Со ишсМу ЙпС! а Сетпр!асс Сог СЬе шаСЬетпабса1 ргоЫеш СЬеу Ьане Со яо1не. Сопсехс-яепвйй е Ье1р Ся ана11аЫе. ТНЕ Я01Л'ЕВ.НМ Ьс1ря а ясит!спС Со сопсспсгасе оп СЬе пеи апН еяяепНа1 тчЫ1е СЬе соптрисег с1оев а11 СЬе орегасюпв СЬаС аге а!геат1у 1тпотчп Со СЬе яСи- С!спС. ТЬе рас1та е я1вс Ся аЬоиС 800 !т1!оЬувся. 11 Ся яо1т! аС а 1ои рпсе.
Еноту ясиНепС сап апт1 яЬои1Н Ьаче пс ТНЕ Я01АСЕВ "НСяЬег МаСЬстпайся. Ярсста1 яессюпв" спаЫея а яСит1епС Со 1еагп шаС!тешаНся ий1юи1 иппесеяяагу т11йси111ея аптС тчавсе а Нше. 11 сяСаЫСя1тся ап орвппа1 ясит1епС вЂ” сошршег соорегайоп, тчЬсге СЬе яСидепС'я Сая1т !я Со Согпш1асе СЬе ргоЫешв ргорег1у апт! СЬе сошрисег'я Сея!С Ся Со регВкш СЬе гоисше орегасюпв. Уя1пя СЬе сошр1ех, СЬе яситСеттся сап ССеер1у тшт!егясапсС Ьотч Со яо!че СЬе шаСЬешаНса1 ргоЫешя Ьесаияе СЬеу яо1не птапу ргоЫешя апй СЬе1г аНепсюп Ся сопсспвга1сН оп СЬе петч апН СЬе евяепсла1. ТЬе сотпр!ех 1геев аЬоиС ЬаН оЕ Сипи Неновед Со ЬСяЬсг птаС!тсптаскя тп СЬе сшгки!а. Т1йя Сгее Нше сап Ье ивет! Гог СеасЫпц СЬе ясийепся СЬе п1еая апс1 шеСЬоНя о1 шаСЬетпавтся оГ СЬе 20СЬ сепсигу.
ТНЕ Я01АСЕВ "НСЯЬег МаСЬептаНся. Ярес1а! яессюпя" сап Ъе ияет1 аС со!- !елея, СесЬшса1 ип!негя111ея, апН Сот ехсепяюп еНиса11оп. 11 епаЫея СЬе яситСепся Со ясиНу 1пНерепНепС1у. ТЫя Ся ппрогсапС Ъесаиве СЬСя Спсгеаяея СЬе ейисаНопа! рояшЬС1гНся Сот рсор1е 1Сн1пЯ Саг Егош ип1негя111ея аптС Сог СЬояе и Ьо саппоС !саге СЬе1г Ьотпея Еог яоше геаяоп. ТНЕ ЯО1АтЕВ "НфЬег МаСЬешаскя.
Яреста1 ЯесСюпя" Ся СЬе яесопт1 СиСопа1 сотпр1сх о1 потч Сурс гса!тяет1 Ьу СЬс рго2ссС Ес1иХХ1. ТНЕ Я01ХЕВя "МесЬап1св", "РЬуя1ся", "Е!ессг1сССу", есс. Сог со11ехея апт1 ишчегшНея ая тчеП ая арргорпавс рас1шяся Сог ЬСяЬ ясЬоо1я хН11 Ье сгсасеС! Ьу СЬе рго!есС ЕйиХХ1. 1п1огтпасюп оп ЕС1иХХ1, Асат1сппаХХ1, апс1 ТНЕ ЯОСАтЕВя сап Ьс Соипт1 оп С!те 1псегпеС яССе и гчтч.Агат!еш!аХХ1.ги.
Учебное издание АФАНАСЬЕВ Валерий Иванович ЗИМИНА Ольга Всеволодов!го КИРИЛЛОВ Андрей, Иеоревич ПЕТРУШКО Игорь Мелетиеоич САЛЬНИКОВА 7агпьяна Анатольевна РЕШЕБНИК Р»ЫСШАЯ МАХЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ Под редакцией профессора А.И. Кириллова Редактор Н.Ь'. Бартошевич-Жагель Оригинал-макет О.В. 3 миной ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 27.02.03. Формат 60хрйгг16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уел. печ.
л. 25. Уч.-изд. л. 24. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «НаукаггИнтерпериодика» 117997 Москва, Профсоюзная, 90 Е-та!!: бятаЖта!!с.гн Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфисты 160001. г. Вшгогда, ул. Челюскинцев, 3. '!'елз (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72. Е-та!1: Готт.р!рСатоге!.гп Мгр:~(тгтгн.то!о8да~ р1рт !ЗВН 5-9221-0423-3 9 785922 104234 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
