Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(1) Задача 1. 1. Находим значения Г(с + а) и Г(с — 6),используя таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ. 2. По формуле (1) находим ответ. Задача 2. 1. Находим число ав такое, что Р(с < с — а) = Р(с+ а < с) = 1 — Г(с+ а) = (1 — р)/2, т.е. Г(с+ а) = (1+ р)/2. Для этого используем таблицу нли пакет РЕШЕБНИК.ВМ.
2. Находим число 6, такое, что Р(с > й + 6) = Р(й < с — 6) = Г(с — 6) = (1 — р)(2. Для этого используем таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ. Записываем ответ. Замечание. Вообще говоря, случайный интервал это случайный вектор (Яы Яз) с таким законом распределения, что всегда сц < цю ПЕИМЕЕ. Случайная величина Ь имеет функцию распределения х Г(х) = Ф(х) = — — / е 7 ди. 1 2 ч72я ./ 1. Найти вероятность того, что интервал (й — 1, й + Ц содержит число 2.3. 2.
Найти а и Ь, такие, что интервал (с — а, с+ 6) содержит число 2.3 с вероятностью 0.98, причем Р(2.3 < й — а) = Р(2.3 > й + Ь). Рипение. Задача 1. Событие 2.3 Е (С вЂ” 1, С + 1) эквивалентно тому, что С вЂ” 1 < 2.3 и с + 1 > 2.3, т.е. 1.3 < с < 3.3. Гл. 7. Математлическал статистика 376 По определению функции распределения Г(х) = Ф(х) Р(1.3 < 5 < 3.3) = Ф(3.3) — Ф(1.3). (2) 1. Находим значения Ф(3.3) и Ф(1.3), используя таблицу для Ф(х) или пакет РЕШЕБЕ1ИК.ВМ. *~ Получаем Ф(3.3) - 0.99952, Ф(1.3) — 0.90320.
2. По формуле (2) находим ответ Р(1.3 < ~ < 3.3) — 0.09632. Ответ. Р(2.3 й (й — 1,й+ 1)) = 0.09632. Задача 2. 1.Находим число а,такое,что Р(2.3 < 5 — а) = Р(2.3+ а < с) = 1 — Р(2.3+ а) = (1 — р)/2, т.е. Г(2.3 + а) = (1 -~- р)/2 = 0.99. Используем таблицу значений Г(х) = Ф(х) ияи пакет РЕШЕБНИК.ВМ и находим, что Р(х) = 0.99 при х = 2.32635. Поэтому 2.3+ а = 2.32635, откуда следует, что а = 0.02635. 2.
Находим число Ь, такое, что Р(2.3 ) с + Ь) = Р(5 < 2.3 — 6) = Р(2.3 — 6) = (1 — р)/2, т.е. Р(2.3 — Ь) = (1 — р)/2 = 0.01. Используем таблицу значений Р(х) = Ф(х) ияи пакет РЕШЕБНИК.ВМ и находим, что Г(х) = 0.01 при х = — 2.32635. Поэтому 2.3 — Ь = — 2.32635, откуда следует, что Ь = 4.62635. Ответ. Случайный интервал (5 — 0.02635,5+4.62635) с вероятностью 0.98 содержит число 2.3, с вероятностью 0.01 расположен слева от 2.3 и с вероятностью 0.01 расположен справа от 2.3. Замечание.
Ответ задачи 2 можно проверить, решив задачу 1 с соответствукзшими числами а и 6. Условии 3АдАч. Непрерывная случайная величина С имеет фУнкиию распределения Р(х). а) Найти вероятносгпь того, что интервал (5 — а,5+6) содержит число с. б) Найти а и Ь, такие, что интерв л (с — а,с + Ь) содержит число с с вероятностью р, причем Р(с < С вЂ” а) = Р(с ) С + Ь). Используя единые обозначсния и названия функпий ы(х) и Ф(я), авторы разных книг опредаллют их разными формулами. 7.16.
Доверительный интервал для неизвестного параметра 377 1. Е(х) =Ф(х), с=05; а) а=О,Ь=1; б) р=098. 2. Г(х) = Ф(2х+ 3), с = — 1; а) а = 1, Ь = 0.5; б) р = 0.98. З.Е(х)=Ф(х — Ц, с=З; а)а=О,Ь=2; б)р=096. 4. е(х) =Ф(02х — 2), с=2; а) а=О,Ь=1; б)р=097. 5. Р(х) = Ф(О.Зх+ 0.7), с = 1; а) а = 0.5, Ь = 0; б) р = 0.95. 6. Е(х) = аес18(х)/к+ 1/2, с = 3; а) а = 0.5, Ь = 1: б) р = 0.96. 7.Р(х)=1 — е Яприх>ОиР(х)=Оприх<0, .с=25; а) а = — 0.5, Ь = 1; б) р = 0.96. 8.
Е(х) = 0 при х < О, Г(х) = х при 0 <х< 1 и Е(х) = 1 при х> 1, с = 1.2; а = — 0.4, Ь = 1 б) р = 0.94. 9. Е(х) = е' /2 при х < 0 и Р(х) = 1 — е '/2 при х > О, с = 1; а = 1, Ь = 3; б) р = 0.95. 10. Е(х) = 1 — (х+ 1)е * при х > 0 и Г(х) = 0 при х < О, с = 1; а = 1, Ь = 2; б) р = 0.97. 7.16. Доверительный интервал для единственного неизвестного параметра распределения ПостлновкА Злдлчи. Случайном величина 4 распределена по закону с единственным неизвестным параметром а. Имеетсл выборка хы,,.,х„значений 4. Найти доверительный, интервал для а при уровне доверил р.
Ответы. 1, а) 0.38292; 2. а) 0.34134: 3. а) 0.1573; 4. а) 0.00885; 5. а) 0.03358; 6. а) 0.06; 7, а) 0.088; 8. а) 0.6; 9. а) 0.8647; 10. а) 0.594; б) (4 — 1.82635,4 -~ 2.82634). б) (~ — 0.66318, ~ + 1.66318). б) (5 — 0.0538,~+ 4.0538). б) (( — 18.851, ~+ 2.8505). б) (~ -- 3.2, 5 + 9.8(6).). б) (~ — 12,895, ~ -> 18,895), б) (с — 1 4120,4 + 2,4798), б) (5 + 0.23, ~ + 1,17), б) (~ — 6.3778,(+ 8.3778). б) (с — 5.1695, ~+ 0.81592).
Гл. 7. Математическая статистика 378 ПЛАН РЕШЕНИЯ. Доверительным интервалом для числа о при уровне доверия р называется любая реализация случайного интервала (оы о2), который с вероятностью р содержит число о, причем Р(о < а2) = Р(о > о ) = 2 (1) 1. Находим функцию ~(хы..., х„, о), имеюшую известную функцию распределения Г(х). Например, если о — математическое ожидание, то часто применяется функция х1+ +хи 7(хы..., х„, о) = — о. и Если и характеризует масштаб, то хс +... + х„ х2+...
+х2 7'(хм...,х„,о) = " или 7"(хы...,х„,о) = О ) ° 1 и и т.п. В частности, если о — дисперсия,то з7а характеризует масштаб и 7"(хм...,х„о) = — ~ ~(хь — а) . 2 ь=л 2. Находим такие числа ос и д2, что Р®хы...,х„,о) < д2) = Р()'(хы..., х, о) > д2) = 2 Числа а1 и а2 называются квантилями. По определению функции распределения Г(х) Р(7(хы...,х„,о) < д1) = Г(с12) Расти ° 1 Хи~ О) < Ч2) = 1 — Р(2 (Хм 1 Хп СЕ) < Ч2) = 1 — Г(Ч2 О) ° Поэтому квантили с1с и д2 определяются уравнениями Г(д2 — О) = 1+р 2 Для решения этих уравнений относительно а1 и о2 используем таблицу значений функции Г(х) или пакет РЕШЕБНИК.ВМ.
7.16. Доверительный интервал длл неизвестного паразьетра 379 3. Решаем неравенства ч1 < з (х1~ )хи|а) < чг относительно а и получаем а1 < а < аг. Здесь а1 = а1(х1,..., т„, о1, 92) и аг = аг(т1,..., х„, 91, дг) — случайные величины, поскольку выборочные значения х1,..., х„— случайныо величины. 4. Случайный интервал (аг,аг) содержит а с вероятностью р. Подставляем конкретные выборочные значения х„..., х„случайной величины С и квантили 91,ог.
Получаем конкретную реализацию (а1, аг) случайного интервала (а1, аг), т.е. доверительный интервал для а с уровнем доверия р. Записываем ответ в виде а с (а,', аг)р. Замечания. 1. ЕСЛИ гл(Х1,...,а„,а) НЕПрЕрЫВНая СЛуЧайНая ВЕЛИЧИНа, тО Г(дг — О) = Е(ог). 2. Если точечная оценка параметра а совпадает с серединой доверительного интервала ао = (а* + а') /2, то ответ часто записывают в виде а = аох21ьр, где Ьр = (а' — а1)/2 — половина длины доверительного интервала. Тогда Ьр называется абсолютной погрешностью (с уровном доверия р).
3. Уровни доверия обычно определяются государственными или отраслевыми стандартами. 4. Целесообразно изменить традиционное определение и вместо условий (1) использовать условия Р(а1 < а < аг) = р, аг — а1 — > ппп. Тогда доверительный интервал будет иметь минимальную длину. Примир 1. Случайная величина с распределена по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием а и дисперсией 1.
Имеется выборка х1,..., хшо значений С, х = 1.3. Найти доверительный интервал для математического ожидания а при уровне доверия р = 0.98. РИШИНИК. 1. находим функциго 2" (х1,..., хшо, а), имеющую известную функцию распределения г'(х). В данном случае х1+ .. + хьоо 2'(х1,...,хгоо,а) = — и 100 Гл. 7. Математическая статистика 380 распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1/100. Поэтому х ч72~г,/ 2.
Находим квантили о1 и дз из условий 100 / 2 — а < 91 — — — — 0.01 хе+...+хшо ч) 1 — р По определению функции распределения с'(х) Р— а < д~ = Г(91) /х1+. + х1оо 100 Р~ — а > Оз) =1 — Р1 — а <е1з =1 — Р(дз). (х1+... + х1оо ч~ /'хе +... + хаос 100 ) 1, 100 Поэтому квантили ое и дэ определяются уравнениями Г(9,) = Р = 0.01, Г(9,) = " = 0.99. 2 ' 2 Для решения этих уравнений относительно 91 и дз используем таблицу значений функции т (х) = Ф(10х) или пакет РЕШЕБНИК.ВМ. Получаем 91 = — 0.233 и оз = 0.233. 3. Решаем неравенства х1+ +хпю 91< а<д относительно а и получаем х1 + ...
+ х|оо х| + .. + х|оо 100 100 4. Случайный интервал с хе+ . +х1оо х1+ +х1оо 100 ' 100 / содержит а с вероятностью р = 0.98. Подставляем конкретные выборочные значения хм..., хшо случайной величины ~ и квантили ом оз 7.16. Доверительный интервал для неизвестного параметра 381 в (2) и получаем конкретную реализацию (1.3 — 0.233, 1.3+0.233) случайного интервала (2), т.е. доверительный интервал для а с уровнем доверия р = 0.98. Ответ. а Е (1.067, 1.533)о.ов. Замечание. Точечная оценка (хь +...
+ хюо) /100 математического ожидания а совпадает с серединой доверительного интервала. Поэтому ответ можно записать в виде а = 1.3 х 0.233о ов. Пгимгг 2. Случайная величина с распределена по показательному закону с плотностью вероятностей р(х,Л)=Ле ха прих>0 и р(х,Л)=0 прих<0, где Л вЂ” неизвестный параметр.
Имеется выборка 0.61, 0.71, 1.27, 0.10, 1.49, 1.14, 2.15, 0.06, 0.74, 0.28 значений с. Найти доверительный интервал для Л при уровне доверия р = 0.8. РЕШЕНИЕ. 1. Находим функцию ~(хм..., х1о, Л), имоюшую известную функцию распределения. Поскольку параметр Л ' характеризует масштаб, используем У(хм ., т1о, Л) = (х1+ .. ч хзо)Л. Величина уь = хьЛ имеет плотность вероятностей р„,(х) = е ' при х > 0 и р„„(х) = 0 прн х < О. Случайная величина ьо = (хь +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
