Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Считая ошибки 4й изыерения уй мальвми, имеем 1 !п(уй — 5й) = 1пуй — — 4й. Уй (4) Следовательно, Сй - (!пут — азхй — Ь)уй и параметры а1 и аз определяем из условия в Я(ам Ь) = ~ ~(!пуй — азхй — Ь)вуй - — + 1пш й=1 1. Находим частные производные дд дд дав „дЬ = — 2 1 (!и уй — авхй — Ь) уйхй, — = — 2 1 (!и уй — азхй — Ь)уй. й=1 й=1 2. Определяем параметры аз и Ь как решение системы уравнений: дд дав дд — = О. дЬ Имеем аа ~~~ уйхй + Ь ~ 9 уйхй = ~~~ хйуй 1п уй, й=1 (5) в уй = ~ ~уй 1пуй. хйуй+5 ~ й=1 24 В.И.
Афанасьев н др. ПЕИМЕЕ 2. Для определения параметров а1 и аз в формуле у = айев'" были измерены значения у при различных значениях х,. Получена выборка 370 Гл. 7. Математическая статистика По известным хь, уь вычисляем 9 хьуь 1пде = — 21.63, уьхь = 11.16, дьхь = — 11.36, уь = 18.7, ~~~ уь 1п уь = 23.0. Подставляя зти значения в систему (5), приводим ее к виду с 11.16аз — 11.36Ь = -21.63, — 11.36аз + 18.7 Ь = 23. Решая эту систему, получаем аз = 1.798, Ь = 0.13766.
Поскольку Ь = 1п ам имеем а1 = 1.1476. Ответ. д = 1.15е Замечание. Примененный метод линеаризации требует контроля точности приближенных формул типа (4). Например, погрешность формулы (4) возрастает при Ь = 7, Ь = 8, Ь = 9, так как при таких Ь уь < 1. В сколько-нибудь серьезных расчетах значения параметров, полученных с помощью линеаризации,используются только как начальное приближение для применения численных методов отыскания минимума или решения систем. Условии задач.
Длл определения параметров аы...,а~ в фор- муле у = 7'(х; аы..., а.) бьыи измерены значения д при различных значени х х. Получена выборка (хз, у1),..., (хв, ув). Используя, эти данные, определить параметры аы..., а. методом наимень<аих квад- ратов. Ошибками измеренил хз,,, ., хв и погрешнос лми вычислений можно пренебречь. 1. у = аьх+ аз, хь -1 -075 -05 -025 0 025 05 075 1 уь 2.08 1.83 1.57 1.13 0.89 0.75 0.30 0.06 -0.01 2. у=адх-~аз, хь -1 -075 -05 -025 0 025 05 075 1 уь 1.09 1.47 1.95 2.47 2.98 3.54 4.20 4.42 4.89 3. у = а1х+ аз, хь -1 -075 -05 -025 0 025 05 075 1 уь 3.90 3.71 3.63 3.22 3.04 2.71 2.45 2.25 2.03 371 4.
У = атхг+ агх+ аз, хе — 1 — О. 75 — О. 5 — О. 25 0 0.25 0.5 0.75 1 3.16 3.41 3.58 3.96 4.02 уь — 0.14 1.08 1.61 2.34 5. У = атхг+агх,+аз, хь — 1 — 0.75 — 0.5 — 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.95 2.05 2.31 2.46 3.08 уь 2.98 2.47 2.13 2.00 6. у = а1х + агх+ аз, г хь — 1 — 0.75 -0.5 — 0.25 0.25 0.5 0.75 1 — 1.17 — 1.17 — 0.69 — 0.26 — 0.86 — 1.20 0.92 -0.37 атеаья — 0.75 — 0.5 4.65 3.16 а еь'" т — 0.75 — 0,5 — 0.25 0.25 0.5 0.75 1 -5.53 -14.6 -40.3 -109 -0.08 — 0.14 — 0.83 — 1.95 18(атх+ аг), — 0.75 — 0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 0.57 0.17 — 0.03 — 0.10 — 0.34 1.47 1.12 ($ (аг х + аг), — 0.75 — 0.5 0.85 0 0.25 0.5 0.75 1 0.26 0.51 0.94 1.29 2.22 — 0.25 — 0.28 0.05 0.10 Ответы. 1.
у = 0.95555 — 1.106х. 2. у = 1.9746х + 3.0011. 3. у = 2.9933 — 0.982х. 4. у = -1.0138хг + 2.0193х + 2.9802. 5. у = 1.0531хг + 0.052х + 1.9422. 6. у = 2.1174х — 1.0626х — 1.1889. 7. у = 1.3438 ехр( — 1.6674х). 8. у = — 1.9936ехр(4.0024х). 9. у = = (8( — 0.76185х+ 0.43977). 10. у = (8(0.82116х+ 0.31743).
7. 14. Выравнивание результатов измерений Постановка задачи. Независ мыс измерения величин хы..., х„ дали результаты хт,...,х*„. Известно, что Дхы...,х„) = О. Использовать зтпо равенстпво, чтпобы уточнить значения хт,...,х„', считая ошибки измерения величин хы.,,,х„распределенными по нормальнтлм законам с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями о,,..., о„. г г уь 2.04 7. у= хь — 1 уь 6.94 8. у= хь — 1 одо 9. у= хь — 1 уь 257 10. у= хь — 1 уь — 0.62 7.14.
Выравнивание результатов измерений — 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 2.30 1.37 0.74 0.73 0.25 0.16 Гл. 7. Математическая статистика 372 ПЛЛН рНШННИя. Обозначим символами Ьх*,..., Ьх„" ошибки, содержащиеся в числах х1,..., х„'. 1. Находим Ьхм..., Ьх*„из условия + +...+ — ' — ~поп, э ((хе — Ьх1,..., х,', —,Ьх*„) = О. Для этого используем метод множителей Лагранжа., т.е. ищем точку безусловного экстремума функции Г(21х*„...,,2,х'„, Л) = ' + ' +...
~ " + + ЛУ(х; — 21х,*,..., х*„— Ьх„'). а) Необходимое условие экстремума функции К имеет вид = — Ьхг. — ЛЯх,' — Ьх*,..., х„" — Ьх„*) = О, о~е (1) б) Решаем систему (1) и находим Ьх*,..., Ьх,*„. 2. Выравниваем результаты измерений х1,..., х,'„полагая х1 = т1 — Ьх~,..., хи = х„' — Ьх„. 3. Записываем ответ в виде х1 = х1,..., х„= х„. Замечания. 1. Выравнивая эмпирические моменты можно повысить точность оценки параметров распределения методом моментов.
Необходимые для выравнивая соотношения между моментами следуют из того, что все моменты выражаются через несколько параметров распределения. Например, если случайная величина с распределена по показательному закону с р(х) = Ле л* (х ) 0), то М(" = (п — 1)!Л "= (и — 1)! (М~)". 2. Результаты вычислений можно выравнивать так же, как и результаты измерений. В качестве и используются единицы старших разрядов, т.е, а = 0.01 для 3.14, и = 0.001 для 3.142 и т.д.
В частности, следует выравнивать относительные частоты, если ик сумма не равна единице. 7.14. Выравнивание результатов измерений 373 РЕшЕИИЕ. Обозначим символами Ьхз, Ьх~~, Ьх~ ошибки, содержащиеся в числах х1, хз, хз. 1. НахоДим Ьхз„Ьхз*, Ьхз из УсловиЯ < — + — — - + — ' ь ппп, (хз — Ьх~) + (хз — Ьх~) + (хз — Ьхз) — 180' = О.
Для этого используем метод множителей Лагранжа,т.е. ищем точку безусловного экстремума функции Р(1х*„1х*„ьх.*„Л) = .' + ".' + .' + + Л[(хз — Ьхз) + (хз — Ьхз) + (хз — Ьхз) — 180']. а) Необходимое условие экстремума функции Р имеет вид 2 дГ 2 дат'„(О 10)2 дР— = хз — Ьх*1 + хз — Ьхз + х.. *— Ьхз — 180' = 0 дЛ (2) б) Решаем системУ (2) и нахоДим езх1, Ьхз, Ьхз.
Ьх'„= (х*, +х~+хе)/3 = 2'/3 = 40', 1 =1,2,3. 2. Выравниваем результаты измерений х1 = 31", хз хз — — 89', полагая 62', х1 = хз — Ьх~ — — 31' — 40' = 30'40', хз = хз — Ьхз = 62' — 40' = 61'40', хз = хз 2зхз = 89 40 = 88 20~. Ответ. х1 = 30'40', хз = 61'40', хз = 88'20'. Пример. Независимые измерения углов треугольника х1, хз, хз дали результаты х*, = 31', х* = 62', х* = 89'. Известно, что хз + хз + хз — 180' = О. Использовать это Равенство, чтобы Уточнить значениЯ х„', хз, хз, считаЯ ошибки измеРениЯ Углов х1, хз, хз распределенными по нормальным законам с нулевыми математическими ожиДаниЯми и ДиспеРсиЯми оз — — озз = озз = (0.1')з. Гл.
7. Матемаглическал статистика 374 УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Независимые измерения величин хд,... г хв дали результаты хд,...,х'„. Известно, что ~(хд,...,хг) = О. Использо- вать зто равенство, чтобы уточнить значения хд,...,х*„, считая оидибки измерения величин хд,...,х„распределенными по нормаль- ным законам с нулевыми математическими ожиданиями и диспер- сиями о,..., о„. 2 2 1. хд — — 17, хг — — 84, хз = 83, хд+хг+хз — 180 = О, с г = огг = огд = 1. 2. х* = 52, х' = 47, х* = 82, хд + хг + хз — 180 = О, о.г = 1г гтг = 2, ог = 1.5. з— 3. х,' = 0.27, х,* = 0.15, хз —— 0.57, хд + хг + хз — 1 = О, тг = 0.02, с", = 0.03, т,' = 0.01. 4. хд = 0.89, хг = 0.46, хгд+хг г— 1 = О, сгдг = стг = 0.01. 5.хд = 0.27, хг = 0.53, хз = 0.80, хгд + хг г+ хз г— 1 = О, гт2 = гт2 = гт2 = О 01 Д 2 3 6. х" = 0.89, хг — — 0.46, хг + хгг — 1 = О, гтдг — — 0.01, огг — — 0.02.
7. хд = 1.21, хг = 3.11, хз = 11.1, хз — хд — хг = О, тг = тг = 0.01, гтг = 0.02. д 2 ' г 3 8. х,' = 3.14, хг = 1.21, хз = 8.40, хз — хг + хг = О, 9.хд = 2.17,хг = 1.34,хз — — 2.90, хз — хдхг = О, сгг = 0.01, ог = 0.02, о г = 0.03. Д ' 2 ' 3 10.хд = 3.12,хг = 2.87,хз — — 8.95, хз — хдхг = О, о.дг = 0.02, сггг = 0.01. гтзг = 0.03. Ответы. 1. хд = 15.(6), хг = 82.(6), хз = 81.(6). 2. хд = 51.17), хг = 46.(5), хз = 81.(6).
3. хд = 0.27(3), хг = 0.155, хз = 0.571(6). 4, хд = 0.88836, хг = 0.45915. 5, хд = 0.27084, хг = 0.53165, хз = = 0.80249. 6.хд = 0.88864г хг = 0.45860. 7.хд = 1.2079, хг = 3.1047, хз = 11.098. 8.хд = 3.1407, хг = 1.2097, хз = 8.4002. 9.хд = 2.1681, хг = 1.3369, хз = 2.8985. 10.хд = 3.1192, хг = 2.8692, хз = 8.9496. 7.15. Случайные интервалы ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Непрерывном случайная величина 4 имеепд функцию распределения е (х). 1. Найти вероятность тпоео, что интервал дЛ вЂ” а, с.— , 'Ь) содержит число с.
2. Найти а и Ь, такие, что интервал (~ — а,Е + Ь) содержит число с с вероятностью р, причем Рдс ( е — а) = Р(с > Ь + Ь). 7.16. Случайные интервалы 375 ПЛАН НЕшЕНИЯ. Событие с Е (~ — а, (+ Ь) эквивалентно тому, что с — а < с и с + 6 > с, т.е. с — 6 < с < с 4- а. По определению функции распределения Г непрерывной случайной величины имеем Р(с.— 6 < с < с+ а) = Г(с+ а) — Г(с — 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
