Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 46
Текст из файла (страница 46)
5. Для построения графика эмпирической функции распределения наносим на ось абсцисс интервалы (х', х'т ) и над каждым из них на высоте Р*(х~) строим горизонтальные отрезки. В правом конце отрезка помещаем стрелку, чтобы показать., что Р*(х) в точке х~ч., делает прыжок в высоту на Е*(х* ) — Г*(х') = и* /и.
Пример графика Г'(х) приведен на рис. 7.4. Примкр. Составить таблицу значений и построить график эмпирической функции распределения группированного статистического ряда относительных частот, найденного в примере раздела 7.2 (стр. 336). Гл. 7. Математическая статистика 348 РЕШЕНИЕ. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: 2.
В четвертую колонку записываем накопленные относительные частоты. и| Г'(х~) = — ' = 0.27143, и Р'(хз) = — + — =0.27143 + 0.18214=Е*(х~) + 0.18214 = 0.45357, и и Г'(х~) = — + — + — = 0.27143+ 0.18214+ 0.13929 = и и и = Г*(хз) + 0.13929 = 0.59286 и т.д. Таким образом получаем таблицу Е*(хь) 0.27143 0.45357 1 2 0.09025 0.27075 0.27143 О. 18214 0.45120 0.13929 0.59286 0.63165 О.
12857 О. 72143 0.81215 О. 79643 0.07500 0.99265 1.17310 0.06429 0.03214 0.86072 О. 89286 1.35355 1.53405 1.71455 0.02500 0.02143 0.02143 О. 91786 О. 93929 0.96072 8 9 10 11 12 1.89500 2.07545 0.01429 0.00714 0.97501 О. 98215 О. 98215 2.25595 2.43645 2.61690 2.79735 О. 98572 О.
98572 О. 98929 14 15 0.00357 0 0.00357 16 2.97785 17 0.00357 0.99286 18 3.15835 0.99286 3.33880 О. 99286 0.99286 3.51925 3.69975 20 21 0.00714 7.7. Выборочное среднее несеруппированной выборки 3. На оси абсцисс выбираем начальную 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (х~, хз1) = (0.09025., 3.69975) и отчетливо различались точки хь, т.е. 4; 10. 4. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (О, 1) и отчетливо различались точки пь(п, т.е.
1: 10. 5. Для построения графика эмпирической функции распределения наносим на ось абсцисс интервалы (хьл х*,) и над каждым из них на высоте Г'(х'„) строим горизонтальные отрезки. В правом конце отрезка помещаем стрелку, чтобы показать, что Е'(х) в точке х' „1 делает прыжок в высоту на Г'(хь„,) — Г*(х') = и„' ~ /и. Получаем график эмпирической функции распределения, изображенный на рис. 7.4. Условия задач. Составить таблицы значений и построить зрафики злошричесних функций распределения для еруппированных статпстических рядов относительных частот, найденных в задачах раздела 7.2 (стр. 337).
7.7. Выборочное среднее несгруппированной выборки Постановка задачи. Дана числовая выборка а„а„...,а„. Вы- числить ее выборочное среднее. План гкшкиия. Выборочное среднее определяется формулой аь + аз -ь... + а„1 к (1) ' ь=ь По теореме Бернулли выборочное среднее а стремится при и — ь со к математическому ожиданию той случайной величины, значения ко- торой образуют выборку ам аю..., а„.
При больших объемах выборки числитель и знаменатель дроби (1) могут принимать большие значения, что, в свою очередь, может при- вести к потере точности. Поэтому при практических вычислениях лучше избегать суммирования большого числа слагаемых. Например, если объем выборки и = 100, то лучше суммировать по десять элементов: Вз — — а1 + ... + а|а, Вз = аы +... + аза, В1а = аав+ .
+ аюа. 350 Гл. 7. Математическая статистика Затем делим 81, Яг,..., 810 на 10. В дробях 010 — Лг= — .. 010=— 10' 10' ' 10 числитель и знаменатель не столь велики, как в (1). Затем вычисляем 01 + . . + 010 а = —— 10 Здесь опять числитель и знаменатель не столь велики,как в (Ц. 1. Суммируем по десять элементов: 10 го а,=о1, ~~ 0,=52 и=1 1=11 и так далее. 2. Каждое из чисел 81, Яг,..., 5„~10 делим на 10 и получаем числа Е! 02 ° ° Ли/10. 3. Искомое выборочное среднее определяется формулой л1 + 02+. + еи710 10 Поимке.
Дана выборка (см. стр. 331). Вычислить ее выборочное среднее. РКШ8НИК. 1. Объем выборки и = 280. Суммируем по десять элементов, т.е. по строкам таблицы. Получаем для Яь значения 4.5087 6.1697 9.9594 5.6525 5.6168 3.1159 5.9010 5.3229 6.8730 3.6779 2.9509 4.8706 3.1259 6.9227 8.1017 3.5787 4.3316 6.8805 4.1764 6.5541 4.3579 6.2955 6.3430 7.5616 7.3155 10.4964 5.5335 5.3734 2. Каждое из чисел Я1, Яг,..., Яге делим на 10.
Получаем 28 чисел лс = Яь/10: 0.45087 0.61697 0.99594 0.56525 0.56168 0.31159 0.59010 0.53229 0.68730 0.36779 0.29509 0.48706 0.31259 0.69227 0.81017 0.35787 0.43316 0.68805 0.41764 0.65541 0.43579 0.62955 0.63430 0.75616 0.73155 1.04964 0.55335 0.53734 3. Искомое выборочное среднее есть л1+ 02+... + 020 16Л5677 ив 28 28 — — О. 5770275. 7.8. Выборочное среднее группированного статистического ряда 351 Ответ. а = 0.5770275.
Условии зядяч. Вычислить значения аь при 1 = 1,2,...,200. Вычислить выборочное среднее выборки а„..., агее (см. отр. 332). Ответы. 1. 0.49846. 2. 0.50111. 3. 1.0074. 4. — 0.0025671. 5. 0.66526. 6. 0.74874. 7. -0.025608. 8. 1.2587. 9. -0.025979. 10. -0.024496. 7.8. Выборочное среднее группированного статистического ряда абсолютных частот Пс1стаионкА задлчИ. Дан группированный сгпатиспьический ряд абсолютнь х частот (Х1, П1), (Хг, Пг),..., (Х„'О Пп,). Вььчислить его выборочное среднее.
ПЛАИ РКП1ЕНИЯ. Выборочное среднее группированного статистического ряда абсолютных частот определяется формулой пь х=~ хь —, Я.=1 где и = п1 +... + и.* — объем выборки. Из теоремы Бернулли следует, что выборочное среднее х стремится к математическому ожиданию той случайной величины, значения которой образуют группированный ряд, если объем выборки и стремится к бесконечности, а длины интервалов группировки — к нулю. Чтобы упростить вычисления и уменьшить погрешность округления, используем так называемый метод произведений. Заметим, что если с центр того интервала группировки, который находится примерно в середине статистического ряда и Ь— длина интервала группировки, то величины х*„— с уь = 6 — целые числа.
Поэтому величина ы У = — 7 Уьпь и я=1 352 Гл. 7. Математическая статистика вычисляется очень просто. Искомое выборочное среднее х выражается через у по формуле х = 6д+с. (1) 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: 2. Вычисляем длину интервала группировки Ь = х2 — хм 3. Выбираем с. Если т — четное число, то с = х* ~ . т/х Если т — нечетное число,то с = х' 4. Заполняем 4-й столбец величинами уь. В строке с хь — — с пишем О, вверх записываем последовательно — 1, — 2, и т.д., а вниз— последовательно 1, 2,и т.д. 5. Заполняем 5-й столбец величинами п*у'. 6. Суммируем частоты пь в 3-м столбце и получаем объем выборки п.
7. Суммируем числа уьпь в 5-м столбце и делим на п. Получаем величину у. 8. По формуле (1) вычисляем искомое выборочное среднее т. Пгимиг. Вычислить выборочное среднее группированного статистического ряда абсолютных частот, найденного в примере раздела 7.1 (стр. 332).
РЕШЕНИЕ. Чтобы упростить вычисления и уменьшить погрешность округления, используем так называемый метод произведений. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: 2. Вычисляем длину интервала группировки 6 = х2 — х,' = 0.27075 — 0.09025 = 0.1805. 7.8. Выборочное среднее группированного статпистичесноео ряда 353 3. Выбираем с = х' = 1. 5. Заполняем 5-й столбец величинами пьуь. Таблица принимает вид 0.09025 76 — 10 — 760 0.27075 51 --9 -459 0.45120 39 -8 -312 0.63165 0.81215 0.99265 36 — 7 21 — 6 — 252 -126 18 -5 -90 1.17310 9 — 4 — 36 7 — 3 6 — 2 — 21 1.35355 1.53405 — 12 1.71455 6 — 1 10 11 12 1.89500 2.07545 4 0 2 1 2.25595 0 2 2.43645 1 3 2.61690 0 4 0 15 2.79735 1 5 16 17 18 2.97785 3.15835 1 0 6 6 7 0 19 3.33880 0 8 0 20 3.51925 0 9 3.69975 2 10 20 21 6.
Суммируем частоты п*„в 3-м столбце и получаем объем выборки п = 280. 7. Суммируем числа у*.п* в 5-м столбце. Получаем — 2038. Делим этот результат на п = 280 и получаем величину у = — 7.27857. 8. По формуле (1) вычисляем искомое выборочное среднее; х = Ьу + с = 0.1805 ( — 7.27857) + 1.89500 = 0.58122. Ответ. х = 0.58122. 23 В.И. Афанасьев в др. 4.
Заполняем 4-й столбец величинами уь'. В строке с х~ — — с пишем О, вверх записываем последовательно — 1, — 2, и т.д., а вниз— последовательно 1, 2, и т.д. Гл. 7. Математическая статистика 354 Условия злдлч. Вычислить выборочные средние группированных статистических рядов абсолютных частот, найденных в задачах раздела 7.1 на стр. 333. Ответы. 1. 0.4995. 2. 0.5008.
3. 1Л)47. 4. — 0.004047. 5. 0.6644. 6. 0.7476. 7. -0.02437. 8. 1.261. 9. -0.01935. 10. -0.03646. 7.9. Выборочная дисперсия несгруппированной выборки Постлновкл злдлчи. Дана числооая выборка а„аг,..., а„. Вычислить ее выборочную дисперсию. ПЛЛН ЕЕШЕНИя. Выборочная дисперсия несгруппированной выборки определяется формулой (аг — а)г + (аг — а)г +... + (а„— а) 1 ч (аь — а), (1) и--1 и — 1 ь=~ 1 ч г и г и / — г 71* = — — гг аь — — — а .= — — (аг — а 1.2 и — 1 и — 1 я=1 (2) Примег. Дана выборка (см. стр. ЗЗЦ. Вычислить ее выборочную дисперсию.
РЕШЕНИЕ. 1. Вычисляем выборочное среднее а (см. задачу 7.7). Получаем а — 0.58122. 2. Вычисляем выборочную дисперсию по формуле (1) с и = 280. Получаем (0.3414 — 0.58122)г +... + (0.6973 — 0.58122)г 279 Ответ. ьг, = 0.343925. где а выборочное среднее. Из теоремы Бернулли следует, что выборочная дисперсия 11,* стремится при и — ь со к дисперсии той случайной величины, значения которой образуют выборку аы аг,..., а,. 1. Вычисляем выборочное среднее о, (см. задачу 7.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
