Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 45
Текст из файла (страница 45)
3. На оси абсцисс размещаем значения х~, а на оси ординат— значения пь. 4. Наносим точки (х*, н*,), (х~, пз),..., (х', и* ) на координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками. Пгнмгг. Построить полигон абсолютных частот по группированному статистическому ряду абсолютных частот, найденному в примере раздела 7.1 (стр. 332).
Гл. 7. Математическая статистика 340 РЕШЕНИЕ. 1. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки х*, = 0.09025, т.е. в точке 0.05, и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (х~, х~~) = (0.09025, 3.69975) и отчетливо различались точки хь, т.е. 4: 10. 2. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (ш1п1п',...,п" ),шах1п,',...,и* )) = (О, 76) и отчетливо различались точки пь, т.е. 80: 10. 3. На оси абсписс размещаем значения хь, а на оси ординат— значения и,*. 4. Наносим точки (х,*, и,*), (хз, и,*)....., (хз, пз,) на координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками.
Получаем полигон, изображенный на рис. 7.1. 5'СЛОВИЯ ЗАДАЧ. Построить полигоны абсолютных часпшт по группированным статистическим рядам абсолютных частот, найденным в задачах раздела 7.1 (стр. 333). 7.4. Полигон относительных частот Постановка ЗАДАЧИ. Дан группированный статистический ряд относительных частот: х,*, —, х*, --, ..., х',.-"-'- Построить полигон относительных частот.
ПлАн Решения. ПолигОн относительных частот — это ломаная с вершинами в точках (х*„, п*(п). Пример полигона относительных частот приведен на рис. 7.2. Полигон является одним из графических представлений выборки. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы полигон был максимально наглядным. 1. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки х1 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (х,',х* ) и отчетливо различались точки хь. 7.4. Полигон относительных частот 341 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 хр*,. Рис.
7.2. Полигон относительных частот 2. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы отчетливо различались точки и„*/и. 3. На оси абсцисс размещаем значения х', а на оси ординат значения п',,(п. 4. На~~~~~ то«ки ~х',и*/и), (хг,нз,~п), ..., (х*,п",~п) на координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками. Замечание. Полигоны абсолютных и относительных частот различаются только шкалой на оси ординат (ср.
рис. 7.1 и 7.2). Пгимег. Построить полигон относительных частот по группнрованному статистическому ряду относительных частот, найденному в примере раздела 7.2 (стр. 336). РЕШЕНИЕ. 1. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки х,' = 0.00925, т. е. 0.005 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (х'„хг,) = (0.09025, 3.69975) и отчетливо различались точки хь, т.е. 4: 10. 2. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы отчетливо различались точки и~~и, т.е. 0.30: 10. 342 Гл. 7.
Математическая статистика 3. На оси абсцисс размещаем значения х*, а на оси ординат значения и*„/п. 4. Наносим точки (х1,пь/п), (хг,пз(п)....., (х,*„ пг1/и) на координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками. Получаем полигон, изображенный на рис. 7.2. УслОВия злдлч. Построить полигоны относительнь х частота по группировонным статистическим рядам относительных частот, найденным в задачах раздела 7.2 (стр. 337). 7.5.
Гистограмма относительных частот ПОСтАИОВКА ЗАЛАчи. Дан группированный статистический ряд относительных частот: х~, —, х,', —,..., х', — "" Построить его гистограмму относительньх частот. ПлАн РешениЯ. Гистограмма относительных частот зто фигура, состоящая из т прямоугольников, опирающихся на интервалы группировки. Площадь /с-го прямоугольника полагают равной п*ь/и. Пример гистограммы относительных частот приведен на рис. 7.3. Нь 1.50 1.35 1.20 1.05 0.90 0.75 0.60 0.45 0.30 0.15 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 х~ Рис.
7.3. Т'истограмма относительных частот 343 7.5. Гистограмма отпносительнмх частот Из теоремы Вернултл следует, что если объем выборки п стремится к бесконечности, а длины интервалов группировки — к нулю, то гистограмма относительных частот для значений непрерывной случайной величины стремится к графику плотности вероятностей этой случайной величины. Гистограмма является одним из графических представлений выборки. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы гистограмма была максимально наглядной. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: 2. Вычисляем полуширину Ь интервала группировки: Ь= Х2 — Х1 Х* — Х* 1 2 2 3.
Нахолим хт1п = х1 — сь и хтьх = х + гь. 4. Находим границы интервалов группировки по формуле хь 1 — — хь — Ь, Й = 1,..., т, и полагаем х = х„,„ . 5. Вычисляем высоты прямоугольников: Н1„. =, 1=1,...,т. и*!и Результаты, полученные впп.4 и 5,представляем в таблице. 6. Проверяем, что сумма всех высот Нь в 6-м столбце, умноженная на Ь = 2Ь, равна 1. Если это не так, то при вычислении каких-то высот были сделаны ошибки и нужно вычислить все высоты заново. Если сумма всех высот Н1, умноженная на Ь = 2Ь, незначительно отличается от единицы, то этим можно либо пренебречь, либо применить выравнивание (задача 7.14).
7. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки х1 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (х,', х* ) и отчетливо различались точки х~~. Гл. 7. Математическая статистика 8. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси отчетливо различались точки Ны 9. Для построения гистограммы относительных частот на ось абсцисс наносим интервалы (хь ы хь) и,используя каждый из них как основание, строим прямоугольник с соответствующей высотой Ны Пгимег. Построить гистограмму относительных частот по группированному статистическому ряду относительных частот, найденному в примере раздела 7.2 (стр.
336). РЕШЕНИЕ. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: 2. Вычисляем полуширину Ь интервала группировки: 0.27075 — 0.09025 2 2 2 3. Находим х м = х,' — Ь = 0.09025 — 0.09025 = 0 х, = хз, + Ь = 3.69975+ 0.09025 = 3.79. 4. Находим границы интервалов группировки по формуле хь 1 = хь — Ь = х~, — 0.09025, 1с = 1,...,21, и полагаем х = х 5.
Вычисляем высоты прямоугольников: п*,7п пь/п п„* Нь = — — - = — — — =5.54 —, 1=1,...,21. 2Ь 0.1805 п ' Результаты пп. 4 и 5 последовательно помещаем в таблицу. 7.5. Гистограмма относительных частот 345 В итоге таблица принимает вид п*„(п хь 0.1805 хь 0.09025 0.27143 1.50372 0.0000 0.27075 0.45120 0.63165 О. 18214 0.13929 0.12857 0.1805 0.3610 1.00906 0.5414 0.7219 О. 3610 О.
5414 О. 77167 0.71228 0.81215 0.07500 О. 7219 О. 9024 0.41550 0.99265 0.06429 1.17310 0.03214 0.9024 1.0829 1.0829 1.2633 О. 35617 0.17806 1.4438 1.35355 0.02500 1. 2633 0.13850 9 10 1.53405 0.02143 1.71455 0.02143 1.4438 1.6243 1.6243 1.8048 0.11872 0.11872 0.07917 1.89500 0.01429 1.8048 1.9852 0.00714 0 0.00357 2.1657 2. 346'2 2.5267 2.07545 2. 25595 2.43645 12 13 14 1.9852 2.1657 2.3462 0.03956 0 0.01978 2.5267 2.7071 2.8876 2.7071 2. 8876 3.0681 15 16 17 2.61690 0 0 0.01978 0.01978 2.79735 2.97785 0.00357 0.0035 ~ 18 19 20 3.15835 3.33880 3.
51925 3.0681 3. 2486 3.4290 3.2486 3.4290 3.6095 0 0 0 3.69975 0.00714 3.6095 3.7900 0.03956 6. Проверяем, что сумма всех высот Нь в 6-м столбце, умноженная на 6 = 2сь, равна 1. В нашем расчете эта величина равна 5.54003 0.1805 = 0.99998, что с приемлемой для математической статистики точностью равно 1.
Должна получиться сумма относительных частот, равная в заданном группированном рядо 1. Погрешность суммы высот происходит от ошибок округления. Кс можно устранить выравниванием. 7. На оси абсцисс выбираем начальную точку 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (хм хза) = (0.09025, 3.69975) и отчетливо различались точки х„*, т.е. 4: 10.
8. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы отчетливо различались точки Нь, т.е. 1.6: 10. 9. Для построения гистограммы относительных частот на ось абсцисс наносим интервалы (хь м хь) и, используя каждый из них как основание, стронга прямоугольник с соответствующей высотой Ны Получаем гистограмму, изображенную на рис. 7.3. Гл. 7. Математлическая статистика УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Поспьроить гистограммы относительных частот по группированным статистическим рядам относительных частот, найденным в задачах раздела 7.2 (стр.
337). 7.6. Эмпирическая функция распределения ПОСтАИОВКА ЗАДАЧИ. Дан группированный сгпап1исгпический ряд оганосительных часгаога Х1~ ~ Хг~ ) ' ' ' ~ Хы~ Составить таблицу значений и построить график эмпирической функции распределения данного ряда. ПЛАИ рГШГПИЯ. Эмпирической функцией распределения называется функция, определенная для всех х Е ( — оо, со) формулой *1 Х < Х1 О, и, пг пь 1, Ь « ХЬЕ1 хт ~< х. П В литературе встречается иное онредвление, согласно которому Г *1и) = = уй <*) Из теоремы Бернулли следует, что если объем выборки и стремится к бесконечности, а длина интервала группировки — к нулло, то эмпирическая функция распределения г'*(х) стремится к функции распределения Е(х) в каждой точке х е ( — со, со).
По теореме Гливенко это стремление равномерно на всей оси. При построении графика Р*(х) следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы график распределения был максимально наглядным. Пример графика и '(х) приведен на рис. 7.4. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: 7.6. Эмпирическая функиия распределения 347 ~"(х) 1,0 0.9 Осб 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 О 5 1 О 1 5 2 О 2 5 3 О 3 5 1'ис. 7.4. Эмпирическая функция распределения 2.
В четвертую колонку записываем накопленные относительные частоты р'*(х~) = — ': и' г'*(х,*) = 1 + з = г'*(х*) + и п п пг пз , , лз К'(хз) = + + = Г*( з) + и .д. п и п и 3. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки т1 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (х1, х* ) и отчетливо различались точки х*„. 4. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (О, 1) и отчетливо различались точки пь/и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
