Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 41
Текст из файла (страница 41)
6. Теория вероятностей 310 Получасм ковариационнуго матрицу (2) случайного вектора (ф,гг) 1 16 1 16 4 9кэ 2к 9кэ 1 16 1 16 2к 9кэ 4 9кэ Ответ. Центр рассеяния (4г(Зк),4Г(Зк)) и ковариационная матрица 1 16 1 16 4 9ггг 2к 9яа 1 16 1 16 2к 9кэ 4 9яа э'словия задач. Точка наудачу выбирается в области е1. Пусть (с, ц) — декартовы координаты эгпой точки. Найгпи центр рассеяния и ковариационную яьатрицу случайного вектора (С, 0).
6.18. Числовые характеристики непрерывного случайного вектора 311 Ответы г' 1г18 -1гг36 1 — ~36 1гг18 ) ' / 1ГГ18 1Гг36 1 (213,1г'3) и ) !36 118 ). 3. (1гг3, 0) и гг 1Г18 0 ( 1гг6 0 4. (О, 1г'3) и ) 0 1г1 гг 1гг18 1гг36 5. (1гг3, — 1г'3) и 1 г36 1 г18 ) .
г' 1/4 0 6. (О, 4г (3п)) и О 1 г4 16 г(дпг) ( 1гг4 — 16/(дк ) О 0 1гг4,/ ( 1/4 — 16,г(дп~) — 1гг(2к) + 16Ддп ) г — 1гг(2к) + 16гг(дп~) 1гг4 — 16гг(дп~) гг 1/12 0 Гл. 6. Теория вероятностей 312 6. 1Я. Характеристическая функция ПЛАН РКШНННЯ. Характеристической функцией случайной величины ~ называется комплекснозначная функция ф1) действительного переменного 1, задаваемая равенством у(1) = М ехр(Ис), где 1 мнимом единица. а) Пусть й .
— дискретная случайная величина с рядом распределе- ния Тогда характеристическая функция вычисляется по формуле ~Р1с) = ~~~ е' '"Ри, где суммирование ведется по всем возможным и. б) Пусть с — — непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей р(х). Тогда характеристическая функция вычисляется по формуле ' 00 р(1) / еахр(х)йх (2) По производным ув(1) в точке 1 = 0 можно находить начальные моменты случайной величины (, т.с. Мс, Мй~, Мс~ и т.д., а именно: есчи я-й (я = 1, 2,...) начальный момент М(ь конечен, то Мй." = — „р<'~ (О).
В частности, Мс = — гр 1О)., Мс = — р 1О). ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти характеристическую функцию случайной величины ~ (по ряду распределения — в дискретном случае, по плотности вероятностей — в непрерывном случае). Но характеристической функции найти математическое ожидание Мс и дисперсию 0сл 6.19. Характеристическая функция 313 Отсюда следует, что 06 = Мра — (МР)' = -рн(О) + (р'(О))'. (4) 1. Находим характеристическую функцию р(1) дискретной случайной величины ~ по формуле (1) или непрерывной случайной величины с по формуле (2). 2.
Находим Мс и 0с по формулам (3) и (4). Примгир. Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины С, имеющей геометрическое распределение (это означает, что С принимает значения п = 1, 2,... и Р(~ = и) = р9 где р ) О, 9 ) О, р + д = 1). По характеристической функции найти математическое ожидание Мс и дисперсию 0с. Рншкнии.
Положим аи = п, тогда р„= Р(~ = а„) = ру" п=1,2,... 1. Находим характеристическую функцию р(1) дискретной случайной величины с по формуле (1). Получаем (здесь мы воспользовались формулой для суммы членов геометричес- кой прогрессии). Итак, Ф1) = е ге ре — и 2ре — ап ра(1) = (е- е 9)а (е — е 9)з ' получаем р 2р 2 1 М~ = — -+ (1 — 9)' (1 — 9)з р' М~ = (1 — 9) р ~р(е) = р е' а"р„= ~ е' врун а=а и,=а = ре' ~~ (де' )" 2. Находим МС и 0С по формулам (3) и (4). Вычисляя производные д(е), ре" р 1 — 9е*' е " — 9 Гл.
6. Теория вероятностей 1 1 1 — р у 04 = М4~ — (Мй) р' р 1 . г Ответ. св(1) =,, М4 = —, р (е " — у) р .г г' Ой = —. у ,г' 4.рв(х) = е ~" 'в Нг, хЕ( — со,+ос), 0<о<+со, ч'2 ко. а Е ( — со, +со) (нормальное распределение Х(а, о.г)). ) Ле ~, хЕ [О,+со), 0 < Л < +со (показательное распределение). / 1ДЬ вЂ” а), хй[а,Ь], — оо < а < Ь < +ос (равномерное распределение С' [а, Ь]).
—:( —:), [х[., х О, [х[>а, 0 < а < +со (треугольное распределение). / г<Ох' е, х Е (О,+ос), О, х ф (О, +ос), 0 < 1 < +со (гамма-распределение). 1 9. рй(х) = — Ле ~~*~, х С ( — оо, +со), 0 < Л < -'со (распределение 2 Лапласа) . 1 10. рй(х) =, х Е (-со, +оо) (распределение Коши).
, (1+ .г)' Условия 3АДАч. Найти характеристическую функцию случайной величины с (по ряду распределения — в дискретном случае, по плотности вероятностей — в непрерывном случае). Но характеристической функции найти математическое ожидание МЬ' и дисперсию Ос. 1. Р(с = Ь) = С~~рву" '", Ь = О 1,...,п, р > О, о > О, р+ о = 1 (биномивльное распределение). а" 2. Р(с = и) = —,е ', и = О, 1,2,..., 0 < а < +со (распределение п1 Пуассона).
3. Р(с =и)=Ст,р д", п=012,..., р>0 у>Ор+9=1, т натуральное число (отрицательное биномивльное распределение). 6.20. Распределение функции случайной величины 315 Ответы. 6.20. Распределение функции случайной величины ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Задано распределение случайной величины С и 1(х) числовая (неслучайная) функция, П = 1(С). Найти вероягпность случайного события (у Е В), где  — ингпервал числовой прямой (интервал можслп быть открытым ~ ли замкнутым, конечным или бесконечным).
ПДАН РВшкпия. Рассмотрим множество С на числовой прямой: С = .(х: ф(х) е В). Ясно,что '1тобы найти Р(ц Е С), используем распределение случайной вели- чины С. Примкр. Пусть С вЂ” — непрерывная случайнал величина с плотностью вероятностей ГЛе ~, х>0, р(х) = 1 О, х < О, где Л вЂ” положительная постоянная (показательное распределение). Пусть у = сов ц. Найти Р(0 < 0). 1 Р(1) = 2. р(1) = 5. ~о(1) = 4. х(1) = 5. р(1) = 6. со(1) = 7. р(1) = 8.
уо(1) = 9. ьо(1) = 10. р(1) = (реп+ у)", Мц = пр, Оц = пру. ехр(а(ен — 1)], Мс = а, Об = а. (р7(1 — дехр(П))], Мс = тд7р, 0с = ту7р . ао — о~с~/2 М~ 0~ 2 Л/(Л вЂ” И), Мс = 1/Л, 0с = 1/Л . (ень — е™)/(11(Ь вЂ” а),', Мс = (а+ Б)/2, 0с = (Б — а)~/12. 2(1 — сов а1)7(а~с~), М~ = О, 0ц = а~/6. 1Д1 — 11), М~ = о, 0~ = о.
ЛгДЛз + 1г) МЯ 0 0Я 2/Лг е ~Ц, М~ и 04 не существуют. Р(0 е В) = Р(ф(с) е В) = Р(с е С). Гл. 6. Теория вероятностей 316 Ришннии. В данном случае Т(х) = сов х. Найдем множество С = 1х: )'(х) < О) . о=Ц '-2в, -';и ). г,2 ' 2 йех Очевидно, что Р(г1 < 0) = Р(сов~ < 0) = Р(~ ~ С) = =Р 1) сŠ— +2Ьг, — +2Ьг Поскольку случайные события (Š— +2йл, +2йл, ЙЕК попарно несовместны, то вероятность объединения этих событий рав- на сумме их вероятностей. Следовательно, Рл ° ) = ~Р (г (' -~2в,, ' -~ 2в,)) . йех Найдем вероятности — члены ряда.
При й = — 1, — 2,... они равны О, т.к. случайная величина С принимает только неотрицательные зна- чения. При й = О, 1, 2,... Р (Š— +2йл, +2йн Зл/2-Ггйл З Гг,-гй ЛŠ— Ллиà — Лл -ЛГлГ2-йгйлг -ЛГЗлггйгйлг л/гйгйл лг'2-~-гйл Итак, р( < 0) ~ ~~ ( — Лгл/ЗВ-гйлг — Лггл/2 гйлг) й=о — Лл12 — ЗЛл,г2 е — 2Лл =Е 22 Š— Е Л Е -ЛлГЗ Ъ вЂ” 2Ллй — ЗЛл гг % — 2Ллй й=о й=о Известно, что решением неравенства сов х < 0 является объединение интервалов вида (я,г2+2Ьг, Згг/2+2йя), й Е К = (О,т1,т2,...).
Итак, 6.21. Числовые характеристики фунниии случайной величины 317 (использована формула для суммы членов геометрической прогрес- сии). -Лсуз -ЗЛсуа Ответ. Р(у < О) = Условия задач. Задано распределение случайной величины с 1по поводу названий см. стр. 314). Для указанной случайной величины у = ~® найти вероятность случайного события А. 1.
Равномерное распределение Ц вЂ” 1,1); и = (з; А = 1су < 0.64). 2. Равномерное распределение Ц вЂ” 1, 1); у = Сз; А = (ту < 0.125). 3. Распределение, Лапласа; Л = сз — 5~+ 7; А = 16 < 1). 4. Показательное распределение; су = 2С~ + 3( — 7; А = (Ч > — 2). 5. Показательное распределение; 7у = ес; А = 12 < у < 4). 6.
Распределение Пуассона; 7у = 2с; А = 17у > 8). 7. Равномерное распределение сУу0,4к„'; и = еуп(; А = ~Ч < 0.5). 8. Распределение Коши; и = вшф); А = 101 > О). 9. Геометрическое распределение; и = сйп (кС,У2); А = 1су > 0.2). 10. Геометрическое распределение; и = сов (ке); А = (ту < О). Ответы. 1. 0.8. 2. З,У4. 3, Уе г" — е з~)у'2. 4, е ~ 5. 2 "— 4 6. 1 — е ь(1 ч- а + азу2 + аз/6).
7. 2,у3. 8. 1у2. 9. ру'11 — су~). 10. 1у'(1-с 6). 6.21. Числовые характеристики функции случайной величины Постановка задачи. Задано распределение случайной величины (, дх) — числовая унеслучайная) ууункаия. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 0 = 7(~). План ргшнния, Если ( — непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей р(х), то математическое ожидание и дисперсию можно вычислить по формулам Мсу = / 7'(х)р(х)дх, Гл. 6. Теория вероятностей 318 011 = / Ях) — т)~р(х)сХх = / Ях)р!х)!ах — тз, где т = Мгь Если ( — — дискретная случайная величина, принимающая значения а1, а2,..., а„,... с вероятностями р1, рз,..., р„... соответственно, то Мр = ~~! Даг,)Рп, п Оц = ~®а„) — 'т) р„= ~1~(а„)р„— тп, где суммирование ведется по всем возможным значениям и и т = Мгь Пгимгг. Пусть случайная величина ( имеет нормальное распределение 11!(О, 1), т.е. с является непрерывной случайной величиной с плотностью вероятностей 1 ггз р(х) = е, х й (-оо,+оо).
пг2я Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 0 = 10~. Ришинии. В данном случае ~(х) = 10'. Сначала найдем Мпд М11 = / 10' р(х)Ых = 1 10*с * гаях. ч'2 ля,/ Заметим,что 1-х.-х~/2 х1п 10 -х'/2 х!и!О-х'/2 -(х-!п 10Р/2+!п' 1О/2 Ое =е е =е' =е Сделаем замену переменных: х — 1п 10 = Е Тогда 10хе ~г2,1х = / е ! 12-ып 10,12,11 !п'10!2 / — гг,гз ~й г2 м'1012 12) 6.2.. Числовые характеристики функции случайной величины 319 (мы воспользовались тем,что поскольку слева стоит интеграл от плотности вероятностей).
Из фор- мул (1) и (2) следует, что М 1и 101'2 Аналогично находится М(т1~): М( 2) М1004 1тт~ 100~2 21тт~ 10 Дисперсия тт может быть найдена по формуле ОЧ = М(02) — (МЧ)'. Получаем 21тд 10 1и 10 ОО = е О'1 ве'1 . Мт1 = 01п 10т 2 РО 021п 10 01п 10 1. Равномерное распределение От~0, к); тт = яш С. 2. Равномерное распредоление 0'~0, Ц; 0 = 1Я+ 1). 3. Показательное распределение с параметром Л = 5; и = 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
