Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Серия из двух последовательных успехов наступит раньше серии из успеха и последующей неудачи. 5. До момента наступления п-го успеха будет ровно т неудач. 6. До момента наступления и;го успеха будет не менее т неудач. 7. Первый и второй успехи произойдут подряд. 8. Первый успех произойдет раньше 11-го испытания, а второй после него. 9. Второй успех произойдет на п-ом испытании. 10.
Между первым и вторым успехами будет п испытаний. Ответы. 1. рц" '. 2. у". 3. рз(1+9])!(1 — ро). 3, р, 5. С„,, р'у '. тп — 1 ~ Сй а й 7 8 с Ц п — 1 д ( 1) 2 и — '2 19 и. й=в 6.9. Большое число испытаний Бернулли: формулы Муавра — Лапласа и Пуассона Пллн рнрйнния, Пусть п — число испытаний Бернулли и р — вероятность успеха в одном испытании, у = 1 — р.
Бели и велико, то использование формулы Бернулли Сер~у" й для вероятности й успехов потребует громоздких вычислений, причем результат этих вычислений, наверное, окажется ошибочным нз-за ошибок округления. Поэтому следует использовать приближенные формулы для Сйрйу" ". К ним относятся формулы Муавра — Лапласа С„"р"у" "= 1 1 ь Й вЂ” пр е — х72 х ,Ярд 1Г2~г ' 1Гпру 1 Г*' Г ьГ2 йГ2п ~ 'Сйрйу" " й=й~ (2) 18* Постлновкл злдлчи. Проводится больиюе число испытаний Бернулли. Найти вералтнотпь некоторого событ л, связанного с общим числом успехов.
Гл. 6. Теория вероятностей где хг = (Йз — пр)), (пру и хз = (аз — пр)7 /пру, и Пуассона а" Сьрьеггг — ь е а 'и й! (3) Ьг лг С„р д" — ~~ —,е д=яг в=яг (4) Относительная погрешность формул (1) и (2) примерно равна 2(й — пр) 1+ рд +. пру 10прг1 Поэтому формулы (1) и (2) применимы, когда (5) прг1»1, й=пр. Относительная погрешность формул (3) и (4) равна шах Йр, Поэтому формулы (3) и (4) применимы, когда п»лэг пр «1, йр«1. (6) — л~,гз уг(х)= — — е '' и Ф(х)= — — / е ' ди. а 2л зУ2тг ./ Тогда рлг / е гзе1и= Ф(хг) — Ф(хг). ,2.l., (7) Используя единые обозначения и названия функпий:р(х) и йг(х), авторы разных книг определяют их разными формулами.
Очевидно, что формулы (3) и (4) относятся к маловероятным событиям (р н й малы). 1. Выбираем приближенную формулу для вычисления Сьр"д" Для этого выясняем, выполняются условия (5) или условия (6). Коли р и 1 малы, то проверку начинаем с условий (6), в ином случае с условий (5). 2. Находим приближенное значение Сер" г1" ". Для этого в случае, когда применимы формулы (1) и (2), используем таблицы значений функций 'г 6.9.
Формулы Муавра — Лапласа а Луассвна 277 В случае, когда применимы формулы (3) и (4), используем таблицы значений функций ь 1'П р (Й)= —,е и Ра(т)=~ —,с у=о (8) Тогда ув —, с ' = Р„(Йа) — Р (Й~). /с=у! 3. Вычисляем погрешность использованной приближенной формулы. 4.
Округляем полученное значение вероятности с учетом найденной погрешности. Примну. Молодежное радио для привлечения внимания слушателей разыгрывает среди них призы и суперпризы. Призы разыгрываются в течение шестнадцати часов (по одному призу в час), а суперпризы разыгрываются в четыре вечерних часа (также по одному супсрпризу в час). Вероятность того, что слушатели выиграют приз, равна 0.3, а суперприз — 0.02.
Найти вероятность того,что за 30 дней а) слушатели выиграют три суперприза; б) слушатели выиграют от 130 до 160 призов. Ркшкник. Розыгрыши суперпризов представляют собой независимые испытания с двумя исходами: если слушатели выиграли суперприз это успех, если же суперприз никому не достался это неудача. Вероятность успеха во всех испытаниях одна и та жс. Аналогичная ситуация с розыгрышем призов. Итак, в обоих случаях (а) и (б) применима формула Бернулли: Р(р„ = Й) = С„"р'уп-', где да число успехов в п испытаниях.
В случае (а) и = 30 4 = 120, р = 0.02, и нас интересует вероятность Р(д„= Й) при Й = 3; Р(д = 3) = С~~за ' 0 02з ' 0 98м7. В случае (б) п = 30 16 = 480, р = 0.3.,и нас интересует вероятность шо Р(130 ~ (Рн ~ (160) = ~ С~~во '0.3 '0 7 во ь=1зо Гл. 6. Теория вероятностей 278 Случай (а). 1. Выбираем приближенную формулу для вычисления величины С1зэо . 0.02з 0.98ы". Для этого выясняем, выполняются условия (5) нли условия (6).
Поскольку в случае (а) р = 0.02 и й = 3 малы, проверяем условия (6): и=120»9=й~, пр =0048<<1, йр=006<<1. Следовательно, применимы формулы (3) и (4). 2. Находим приближенное значение Сз 0.02з 0.98ы7 по формуле (3). Имеем а = пр = 2.4 и с помощью калькулятора получаем: 2 4з 3! е э = 0.209. 3. Вычисляем относительную погрешность формулы (3): йэ при ) (, 9 0.048 ) шах йр, + ) = шах10.06, + ) = 0.126. 'и — й д ) 1 '117 0.98) 4. Округляем число 0.209 с учетом найденной погрешности формулы (3).
Получаем приближенное значение искомой вероятности; Р(д„= 3) — 0.2. Случай (6). 1. Выбираем приближенную формулу для вычисления величины Се~во 0.3" 0.7~~~ ~ при 130 < й < 160. Для этого выясняем, выполняются условия (5) или условия (6). Поскольку в случае (б) значения й не малы, проверяем условия (5): пру = 480 0.3.0.7 = 100.8 » 1, пр = 144- й Е (130,160). Следовательно, применимы формулы (1) и (2). 2. Находим приближенное значение Р(130 < р„< 160), используя формулу (2): 279 6.9. Формулы Муавра-Лапласа п Луассона 3. Вычисляем относительную погрешность формулы (2): — + — — = — — — + — — = 0.32.
2(й — гср) 1 с рд 2 16 1.21 пру 10прд 100.8 1008 4. Округляем число 0.8644 с учетом найденной погрешности формулы (2). Получаем приближенное значение искомой вероятности: Р(130 < р„( 160) — 0.9. Ответ. а) 0.2; б) 0.9. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. 1. В лотерее разыгрываются крупные и мелкие выигрыши. Вероятность того, что на лотерейный билет выпадет крупный выигрыш равна 0.001, а мелкий — 0.01. Куплено 1000 билетов. Найти вероятность того, что а) крупных выигрьппей будет 2; б) мелких выигрышей будет от 5 до 15.
2. Студенты выполняют за два года 15 типовых расчетов по математике, содержащих по 20 задач. Вероятность неверно решить отдельную задачу с помощью компьютерного пакета РЕШЕБНИК.ВМ равна 0.01, без помощи пакета 0.2. Найти вероятность того, что за 2 года а) студент, постоянно пользующийся пакетом РЕШЕБНИК.ВМ, реппьт неверно не более 5 задач; б) студент, не пользующийся пакетом РЕШЕБНИК.ВМ, решил неверно от 50 до 70 задач. 3. Известно, что левши составляют в среднем 1%в, а люди, одинаково владеющие левой и правой рукой, — — 10% (остальные — - правши). Найти вероятность того, что среди двухсот людей а) окажется по меньшей мере четверо левшей; б) окажется от 18 до 23 людей, одинаково владеющими обеими руками.
4. Предполагая рождение ребенка в любой день года равновозможным, найти вероятность того, что в группе из 200 человек а) ровно трое родились 1 января; б) от 48 до 53 человек родились весной. 5. В ралли принимают участие 500 экипажей. Каждый экипаж может сойти с дистанции из-за технических неполадок с вероятностью 0.05, а из-за болезни водителя — - с вероятностью 0.01. Найти вероятность того,что 280 Гл. 6. Теория еероятпноегпей а) больше 5 экипажей сойдут с дистанции из-за болезни водителя; б) от 22 до 28 экипажей сойдут с дистанции из-за технических неполадок.
6. Магазин закупил 1000 телевизоров и 1000 магнитол. Вероятность того,что отдельный телевизор окажется бракованным, равна 0.005, а вероятность того, что магнитола окажется бракованной,— 0.04. Найти вероятность того, что в этой закупке а) не менее четырех телевизоров окажутся бракованными; б) от 35 до 45 магнитол окажутся бракованными. 7. Радиомастерская за день ремонтирует 2 магнитолы.
Вероятность неисправности в механической части отдельной магнитолы равна 0.2, в электронной части — 0.005. Найти вероятность того, что среди магнитол, отремонтированных за год а) имели неисправности в механической части от 140 до 150 магнитол; б) имели неисправности в электронной части не более пяти магнитол; 8. Вероятность появления хотя бы одной опечатки на отдельной странице книги равна 0.01, а погрешности верстки — 0.3. Найти вероятность того,что в книге из 500 страниц а) хотя бы на четырех страницах будут опечатки; б) от 140 до 170 страниц будут иметь погрешности верстки. 9. Стрелок попадает в цель из пистолета с вероятностью 0.8, а из снайперской винтовки — с вероятностью 0.98.
Найти вероятность того, что сделав по 100 выстрелов по цели из каждого оружия, стрелок а) промахнется из снайперской винтовки не более двух раз; б) промахнется из пистолета от 18 до 23 раз. 10. Вероятность выиграть отдельному игроку 1000 рублей в игре „Кто хочет стать миллионером" равна 0.3, а 32000 руб. — 0.01. За сезон в этой игре принимает участие 300 человек. Найти вероятность того,что за сезон а) 1000 рублей получат от 80 до 100 игроков; б) 32000 рублей получат не более четырех игроков; Ответы. *1 1. а) 0.1839; б) 0.8880. 2.
а) 0.9161; б) 0.8511. 3. а) 0.1429; б) 0.4416. 4. а) 0.0159: б) 0.3159. 5. а) 0.3840; б) 0.4618. 6. а) 0.7350; б) 0.5803. 7. а) 0.6130; б) 0.8372. 8. а) 0.7350; б) 0.8100. 9, а) 0.6767; б) 0.4648. 10, а) 0.7923; б) 0.8153. 0 Ответы приведены бев округленил. 6.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
