Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1. Определяем пространство элементарных исходов. Пронумеруем все ящики и все шары. Тогда элементарным исходом рассматриваемого случайного эксперимента является набор чисел (1ы1з,..., ее), где е1 номер ящика, в котором оказался первый шар, 1з — номер ящика, в котором оказался второй шар, и т.д. Очевидно, что каждое из чисел им1з,, ..,1, может принимать любое натуральное значение от 1 до п. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов.
Предполагается, что она гарантирована методикой проведения случайного эксперимента, т.е. размещения шаров по ящикам. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к наступлению события А (благоприятные исходы). Элементарный исход благоприятен, если в 1-ом ящике будет й шаров, а в первом, втором, ..., (1 — 1)-ом ящиках в совокупности будет 1 шаров. 4. Подсчитываем общее число элементарных исходов Х (число элементов пространства элементарных исходов). Число элементарных исходов равно п", поскольку на каждой из г позиций в наборе (1м 1з,...,1,) может быть любое из п чисел 1, 2,..., и и эти позиции заполняются независимо друг от друга.
5. Подсчитываем число элементарных исходов Дел, благоприятствующих событию А. Во-первых, существует Сь способов отобрать й шаров, которые будут в 1-ом ящике. Во-вторых, существует С, ь способов отобрать из оставшихся (г — й) шаров 1 шаров, которые будут размещены в первых (1 — 1) ящиках. Число способов разместить эти 1 шаров по (1 — Ц ящикам равно (1 — 1)'.
6.4. Геометрические вероятности (ограниченнал область) 263 В-третьих, число способов разместить оставпьиеся ('и — 'ь.— 1) шаров по оставшимся (д — 1) ящикам равно 1д — 1)' Следовательно, число благоприятных исходов равно 11'л = С, С, ь11 — 1) 1п — 1)г 6. Согласно классическому определению вероягности дг Сй Се г. 1)е ~ )г — й — 8 Р1А) = —— Ответ.
Р1А) = СьС~ „11 — 1)'1гь — 1)" " '/д". Условия злдлч. Имеется д ящиков и г шаров. Шары наудачу размещаются по ящикам. Найти вероятность указанного случайного события. 1. Все шары окажутся в разных ящиках (г ( и). 2. Хотя бы два шара окажутся в одном ящике 1~ ( и). 3. Все шары попадут в один фиксированный ящик. 4. В один фиксированный ящик попадет ровно й шаров, а в другой фиксированный ящик 1 шаров 11+1 ( г).
5. В 1-ый ящик попадет г; шаров,1 = 1,2,...,и; г,+ге+...+г„= г. 6. Все шары попадут в один ящик. 7. В фиксированный ящик попадет ровно ь. шаров (й ( г). 8. Все шары попадут в два ящика. 9. Все шары попадут в два фиксированных ящика. 10. Лишь один ящик будет пустым. Ответы. 1, пЦ(п — г)) д"). 2. 1 — д.',1)(п — г)! п'~'. 3. Цп'. 6 1~дг — 1 7 СЬ(п — 1)"' Ь|п' 8 С22г7пг 9 2" (дг 10 (и 1)г/пг — 1 6.4.
Геометрические вероятности (ограниченная область) Постлновкл злдлчи. Точка наудачу выбираегпся в некоторой плоской ограниченной обласгпи Р. Слово ьнаудачу" здесь означает, что ни один из учасгпков области Р не яв яегпся 1по каким-либо соображени м) более предпочтительным, чем любой другой равный ему по площади участок области Р.
Найти вероятность того, что выбранная точка окажется в некоторой области С С Р. 264 Гл. 6. Теория вероятностей ПЛАН РЕШЕНИЯ. При бесконечном числе равновозможных (в указанном выше смысле) элементарных исходов, представленных точками области на плоскости, вероятность события равна отношению площади множества элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к площади всего множества элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. В данном случае оно совпадает с областью В.
2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае она гарантирована методикой проведения случайного эксперимента, поскольку,как сказано в условии задачи, ни один из участков области О не является (по каким-либо соображениям) более предпочтительным, чем любой другой равный ему по плошади участок области Р. 3.
Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к наступлению события А (благоприятные исходы). В данном случае множество благоприятных исходов совпадает с областью С. 4. Находим площадь В(11) области П. Для этого удобно изобразить область 1> графически. 5. Находим площадь Н(С) области С.
Для этого удобно изобразить область С графически. 6. Согласно геометрическому определению вероятности Р А Р(А) = Замечание. Аналогично вычисляется соответствующая вероятность в случае, когда выбор точки наудачу происходит в ограниченной области на прямой или в пространстве. При этом площадь заменяется на длину или объем. ПРимеР. Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке [0,1). Найти вероятность того, что произведение координат точек будет больше 0.4.
РГШЕНИГ.. При бесконечном числе равновозможных элементарных исходов, представленных точками области на плоскости, вероятность события равна отношению площади множества элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к площади всего множества элементарных исходов.
1. Определяем пространство элементарных исходов. Пусть ~ и и — координаты первой и второй точек, выбранных на (О, Ц. Тогда каждый элементарный исход представляется упоря- 6.4. Геометрические вероятности (оераниченная область) 265 доченной парой [~,ц) вещественных чисел.
Каждой такой паре соответствует точка квадрата Р = 1[х,у): х Е [О,Ц., у Е [О,Ц) на плоскости ХОУ. Наоборот, каждой точке [х,у) квадрата Р соответствуют две точки на отрезки [О, Ц, имеющие координаты х и у, т.е. некоторый исход случайного эксперимента. Итак, пространство элементарных исходов совпадает с квадратом Р. Выбрать две точки отрезка [О, Ц вЂ” это то же самое, что выбирать одну точку квадрата Р. 2.
Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае она гарантирована методикой проведения случайного эксперимента, поскольку,как сказано в условии задачи, обе точки выбираются на отрезке наудачу. Соответственно,ни один из участков квадрата Р не является более предпочтительным,чем любой другой равный ему по площади участок квадрата Р. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к наступлению интересующего нас события [благоприятные исходы). Нас интересует вероятность события А = 14 ц ) 0.4). Ему соответствует область С = 1[х,у): ху ) 0.4) П Р [см. рис.
6.1). О. Рис. 6.1 4. Находим площадь Я[Р) области Р. Очевидно, что Я[Р) = 1. 5. Находим площадь Я[С) области С. Имеем 1 (( 04ь и Я[С) = 1 — — ) е1х = [х — 0.41пх)[ = 0.6+0.41п0.4. [о в ол Гл. 6. Теория вероятностей 266 6. Согласно геометрическому определению вероятности Р(А) = = 0.6+ 0.41п0.4 - 0.2335. з(С) Б(Р) Ответ. Р(А) = 0.6+ 0.4!п0.4- 0.2335.
Условия злдяч. Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке !О, Ц. Найти верояпгность указанного события. 1. Координата первой точки меньше координаты второй точки. 2. Координата второй точки более чем в два раза превосходит координату первой точки. 3. Разность координат первой и второй точек больше 0.5. 4. Сумма координат точек меньше 1.5. 5.
Частное от деления координаты первой точки на координату второй точки больше 0.5. 6. Сумма квадратов координат больше 1. 7. Разность квадратов координат первой и второй точек больше 0.25. 8. Сумма координат больше удвоенного произведения координат. 9. Утроенное произведение координат меньше суммы квадратов координат. 10. Модуль разности координат точек меньше 1/6. Ответы. 1. 1/2.
2. 1,14. 3. 1/8. 4. 7/8. 5. 3/4. 6. 1 — к/4. 7 ъ'3/4 — !п(2+ ч73)/8. 8 1 9 (3 — ъ'5)!2 10 25/36 6.5. Геометрические вероятности (неограниченная область) Постановка задачи. Точка наудачу выбираегпся на всей плоскости. Найти вероятность того, что она окажется в некоторой неограниченной области С. При этом предполагается, что плоскость может быть разбита прямыми на равные прямоугольные ячейки так, что если закрасить область С одним цветом, а ее дополнение до всей плоскости — друеим, то все ячейки будут плеть одинаковый вид.
(Структура плоскости подобна двухцветному паркету, в котором одним цветом окрашена область С, а другим— остальная область.) 6.5. Геометрические вероятности (неограниченная область) 267 ПЛАН НЕШЕНИН. Искомая вероятность равна отношению площади области благоприятных исходов в одной ячейке к площади всей ячейки. 1. Определяем пространство элементарных исходов. В данном случае им является любая из равных прямоугольных ячеек, на которые разбивается плоскость и которые содержат равные части области С и равные части ее дополнения.
Обозначим такую ячейку символом Р. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае она гарантирована методикой проведения случайного эксперимента, поскольку, как сказано в условии задачи, точка выбирается наудачу. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к наступлению интересующего нас события (благоприятные исходы). Ясно, что множество благоприятных исходов совпадает с С О Р. 4. Находим площадь Я(Р) ячейки Р.
Для этого удобно изобразить ячейку Р графически. 5. Находим площадь о(СПР) той части области С, которая лежит в Р. Для этого удобно изобразить область С 0 Р графически. 6. Искомая вероятность равна Я(С гЮ) ~Я) Замечание. Аналогично вычисляется соответствующая вероятность в случае, когда выбор точки наудачу происходит в неограниченной области на прямой или в пространстве. При этом площадь заменяется на длину или объем. ПЕИМЕЕ. Плоскость разбита прямыми на квадратные клетки со стороной а. Клетки пронумерованы при помощи пар целых чисел (пь, н) (при этом у соседней справа клетки будет номер (т+ 1, н), а у соседней сверху клетки будет номер (т, и -, '1)). Найти вероятность того, что брошенная наудачу на плоскость монета радиуса г ( а/2 целиком попадет в какую-нибудь клетку, для которой т + и кратно трем.
Решение. Бросание монеты наудачу равносильно выбору наудачу точки, в которой будет расположен центр монеты. Искомая вероятность равна отношению площади области благоприятных исходов в одной ячейке к площади всей ячейки. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Гл. 6. Теория вероятностей 268 В данном случае им является любая из равных прямоугольных ячеек, на которые разбивается плоскость и которые содержат равные части множества благоприятных исходов С и равные части его дополнения до всей плоскости. Обозначим такую ячейку символом Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
