Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Условии задссч. Решить первую смешанную задачу для неоднородного волнового уравнения на отрезке. 1, исс — 4и, = 4яп х+16япзх, х Е (О,к), 1Е (О,оо), и(х, 0) = О, ис(х, 0) = О, и(0, г) = и(гг, г) = О. з кх 5 кх 2. ис, — 9и, = 8яп — — 16яп —, х Е (0,2), 1 Е (О, оо), и(х,О) = О, иг(х,О) = О, и(0,1) = и(2,1) = О. з з 3. исс — и„=вш — — 4Яп' --+16вшз —, х Е (0,3), й С (О,оо), 3 ' 3 3 ' и(х, 0) = О, и,(х, 0) = О, и(0,1) = и(3, с) = О. кх зих ° 5 их 4.
ин — 4и„„= — вш — + 4вш — — 16 в|и —, х Е (0,4), Е Е (О, оо), и(х, 0) = О, ис(х, 0) = О, и(О,Х) = и(4сз) = О. 5. исс — 16и, = — 2вшкх — 8япз их+ 16яп кх, х Е (0,1), й Е (О,со), и(х, 0) = О, ис(х, 0) = О, и(0, й) = и(1, С) = О. 3 ггх , кх 6, и„— и„= вш — + 4яп — + 32яп' —, х Е (0,3), 1 Е (О, со), и(х, 0) = О, гсс(х, 0) = О, и(0,1) = и(3,1) = О.
7. ин — 9и, = 8зшх+ 16япзх, х Е (О,к), 1 Е (О,со), и(х,О) = О, ис(х,О) = О, и(О,г) = и(гг,1) = О. ях лх 8, исс — 16и „= 2 яп — + 32 яп —, х Е (О, 4), 1 Е (О, со), и(х, 0) = О, и,(х, 0) = О, и(О,Х) = и(4,1) = О. 535. Неоднородное волновое уравнение на отреэке 229 9. и,г — 4и»„= яшлх — 4яшялх+ 32яшяггх, х Е (0,1), 1 Е (О,оо), и(х,О) = О, и,(х,О) = О, и(0,5) = и(1,1) = О. лх, 5 лх 10. игг — иве = — 3яш — + 16вш —, х Е гг0,2), 2 Е ггО, со), 2 2 ' и(х,О) = О, иг(х,О) = О, и(0,5) = и(2,1) = О. Ответы.
13 1 1, и(х,1) = — (1 — сов25)сзпх — — (1 — соя61)сзпзх+ 4 6 1 + (1 — соя 105) 51п 5х. 100 16 гг Зл 'Г л л 2, и(х, д) = — 1 1 — соя — г) яш -х+ Олг ~ 2 ) 4 гг 9л 5г, Зл 4 гг 15л 5г 5л + ~1 — соя г( яш х —, ~1 — сов г) вгп х. 27гг ~, 2 ) 2 225л.г ~, 2 ) 2 72г лг гг 4 3, и(х, г) = — ~1 — соя —,г) 51п — х — — (1 — соя гг1) вгп гх-е з) з' 9 гг 5л 5г, 5л + - ~1 — сов — г( вш — х. 25лг ~, ' 3 ) ' 3 32 г гг г, л 16 гг Згг 5г , Зл 4. и(х, г) = — — ~1 — сов — 1) яш — х -Г- 1 1 — сов — 1) яш — х— ) 2 ) 4 4 Гг 5Л 5Г, 5Л 1 1 — сов — г~ вгп — х. 25ггг ~, 2 ) 4 1 1 5.
и(х, е) = (1 — соя 4л1) яш лх — (1 — соя 12лг) яш Злх+ 8л.г 48л~ 1 + —, (1 — соя 20л1) 51п5лх. 400лг 216 г л- г , л 11 б, и(х,г) = Г 1 — соя — 1) ягп — х — (1 — соял1) яшлх+ з ) з 18 гг 5л 5г, 5л + ~1 — соя — 1( вгп — х. 25ггг гг, 3 ) 3 2 5 7. и(х,1) = — (1 — сов31)яшлх — — (1 — сов121)вшзх+ 9 81 1 + (1 — сов 151) вгп 5х. 225 14 л 10 Зл 8.
и(х, 1) = (1 — соя лв) яш — х — (1 — соя Зл1) вш х+ 2 4 9лг 4 2 5л + (1 — соя 15л1) ягп — х. 25лг 4 Гл. б. Уравнения математической физики 230 9 1 9. и(х, 1) =, (1 — сов 2к1) яп кх — (1 2я 22 4кг 1 + (1 — сов 10я1) яп 5ях.
50к2 28 г к к , я 20 10. и(х,1) = — — (1 — сов —,1) яп — х — — — ~1 — 2) 4 гг 5ггЛ . 5я + ( 1 — сов — 1) яп — х. 25г2( 2 ) 2 — сов бя1) яп Зкх+ Згг 1, Зк — сов — 1) яп — х+ 2 ) 2 5.16. Однородное волновое уравнение в прямоугольнике Постановка задачи. Региить первую смешанную задачу для однородного волнового уравнения в прямоугольнике: ин = а гли, х е (О,о), у с (О,гг), ь й (О,оо), и(х, у, О) = О, иг(х, у, О) = Аху(сг — х)(Д вЂ” у), (2) и(0, у, й) = и(х,О, 1) = и(о, у, С) = и(х, ~3, й) = О. (3) ят р = — к —, У =З яп у, т=12,. Д2 ' ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Находим вспомогательные решения уравнения (1) в виде ю(х, у, 1) = Х(х)У(у)Т(1), причем о(О,у,1) = и(х,0,1) = и(о,у,г) = о(х,~З,г) = О, т.е. Х(0) = =Х(о) =О, У(0) =У(гв) =О. Для этого подставляем функцию и(х, у,1) в уравнение (1) и разделяем переменные. Получаем Х" Ун Тн — + — = Х У агТ Поэтому функции Х(х), У(у) и Т(1) являются решениями связанных задач: а) Х" — ЛХ = О, Х(0) = Х(о) = 0; б) Уо — НУ = О, У(0) = У(~3) = 0; в) Тн — а (Л + р)Т = О. 2.
Решаем задачи (а) и (б). Получаем 2П 7гп Лн = — яг —, Хн = А„яп — -х, = 1,2,..., 5.16. Однородное волновое уравнение в прллгоугольнине 231 /п2 т2 Л 3. Решаем задачу (в). При Л+ 12 = Л„+д = — я )1 — + —, ,32 у) 2 2'1 Т +на ~ — + — ~Т=О. ,о 2 2 П ти „2 112 имеем Общее решение этого уравнения есть пг и т ҄— А„соя на + 1+ Ви вш тга + — 1. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (1) имеют вид и2 т и„(х,у,г) = С„А„сеяна — + — 1+ где Ан, = Си~Агг~, В„, = Сн„„В„,„, — постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи (1) — (3) ищем в виде ов оо оо оо Г п2 тп2 нМ д 1) = ~~' Х~' сонг = ~~' ~~' ~ А~~сов "аг)~ — 2+ — 2 1+ н.=г то=1 о=1 ш=1 п2 т2 1, нп, ят +В„яп на — т — 1 яп х яп у. (5) Эта функция является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным условиям (3) при любых А„и В„,„, при которых ряд (5) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно.
6. Находим коэффициенты А„и В„„„при которых и(х,1) удовлетворяет начальным условиям (2). Полагая в (5) 1 = О,получаем .гп, .гт н(х,у,О) = ~ ~~~1 Аи яп — х яп — д = О. о 13 о=г ш=1 Отсюда А„= О (и = 1,2,..., т= 1,2,...). Гпз т2 +В„яптга —, + (112 т2 А„~совяа 2+ 2 г+В"~вгп нп, ггт яп хвш д= о Н Р тв Л тп шп яа — + — 1/ яп — х яп у, 1~)' оз 122 /,-„ Гл.5.
Уравнения математической ф зннн 232 Дифференцируя равенство (5), полагая 1 = 0 и используя начальное условие (2),получаем и т, .гп, хт В„т яа —, + — яп — х. яп д = Аху(о — х)(Д вЂ” у). , 3,3г н=г т=г Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что в д и т' 2 /2 Г яп ят Вн гга + = — / — / Аху(о — х)( — у)яп — х яп уг1уггх. ,г 33 о / 3/ о Д о о Следовательно, 4.4 4г33 — (1 — (-1)") .
— Ю- 3 (1 — ( — 1) ) = пенза~/ — "+— язтз ив рг О, и = 2й' или т = 21, 04ог 3гА и = 25+ 1 и т = 21+ 1. Подставляя найденные значения А„и В„в (5), получаем искомое решение и записываем ответ. Замечания. 1. Аналогично решается задача ии = аггли, х Е (О, о), у Е (О, ~3), 1 Е (О, оо), и(х, д, О) = 3'(х, у), иг(х, у, 0) = д(х, у), и(0, у,1) = и(х, О, Х) = и(гг, у,1) = и(х„В, й) = 0 при произвольных достаточно гладких функциях 1(х, у) и у(х, у), для которых получающиеся в ответе ряды можно дважды дифференцировать почленно. 2. При каждом фиксированном 3 ряд (5) является разложением и(х, у, 1) по системе собственных функций оператора Лапласа в прямоугольнике: < Ьо = Ло, х Е (О, о), у Е (0,,3), о(0, у) = о(о, у) = о(х, 0) = о(х, В) = О. 5.16.
Однородное волновое уравнение в нрллгоугольнине 233 Отыскание этих собственных функций и соответствующих им собственньгх значений Л сводится к решению задач (а) и (б). Коэффициенты при 1 в (5) являются квадратными корнями из собственных значений Л. Примгр. Решить первую смешанную задачу для однородного волнового уравнения в прямоугольнике им = 4гЛи, х Е (О, 2), у Е (О, 1), 1 Е (О, оо), (6) и(х, у, О) = О, иг(х, у, О) = (2 — х)(1 — у)ху, (7) и(0, у, 1) = и(х, О, 1) = и(2, у, 1) = и(х, 1, 1) = О. (8) Ришгдгигв. 1. Находим вспомогательные решения уравнения (6) в виде и(х, у, г) = Х(х)У(у)Т(г), причем и(О,у,1) = о(х,0,1) = и(2,у,1) = и(х,1,1) = О, тс.
Х(0) = =Х(2) =О, 1 (0) =У(1) =О. Для этого подставляем функцию и(х, у,1) в уравнение (6) и разделяем переменные. Получаем Хо У" Тн — + — = — —. Х У азТ Поэтому функции Х(х), У(у) и Т(г) являются решениями связанных задач; а) Хо — ЛХ = О, Х(0) = Х(2) = 0; б) Уо — дУ =О, У(0) = У(1) = 0; в) То — 4(Л + р)Т = О. 2. Решаем задачи (а) и (б). Получаем .и' еп Л„= —.гз —, Х„= А„яп — х, п, = 1,2,. 4' " " 2 г д = — ягп, У = А„вшягпу, т=1,2,. / 2 3.
Решаем задачу (в). При Л+ д = Л„+ д„, = — я ~ + т 2 н з~ ~,4 имеем То + я~(п~ + 4тз)Т = О. Общее решение этого уравнения есть Т„= А„сов яъ/п~ + 4гпз1+ В„япяЛгпз+ 4тз1. Гл.5. уравнения математической ф вини 234 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (1) имеют вид и„(х, У,1) = Снт (Ант совитгп2+ 4ш21+ + В„ягпя п + 4т 1) яп хе)пяту = ген 2 = (А„тсовя и +4т 1+В„яп г и +4т 1~ яп — хяпяшу, 2 2 г 2 где А„= С„тА„, В„= ф„— постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи (6) — (8) ищем в виде (*р р)тЕ.ЕЪ.(*.р р)=ЕЕ ('н»н" р"Г' р 'рр .=1 т=г н=1 т=1 яп + В„япрг п2+ 4т2 1) вш — хя1пяту.
(9) Эта функция является решением уравнения (6) и удовлетворяет граничным условиям (8) при любых А„и В„, при которых ряд (9) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты А„и В„, при которых и(х,1) удовлетворяет начальным условиям (7). Полагая в (9) 1 = О, получаем еп А„яп — х яш яшу = О. 2 н=1 т=1 Следовательно, А„= О, п = 1,2,..., т = 1,2,...
Дифференцируя равенство (9), полагая 1 = О и используя начальное условие (7),получаем 2 'Г'в. ргг. Р ' '— " в рт*р)Р— *))Р— р). 2 н=1 т=1 Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что В„, яу п2+ 4т2 = 2 / / ху(2 — х)(1 — у) яп — х япяшувгудх. 2 о о 5А6. Однородное волновое уравнение в прлмоугольнике 235 Следовательно, 256 гггчс(2й+ 1)с + 4(21+ 1)г(2й+ цз(21+ 1)з ' Вгь, =О, п=1 2,..., й=1 2,..., В„гс=О, т=1,2г..., 1=1,2,... Подставляя найденные значения А„и В„в (9), получаем Ответ. 256 и(х,у,с) = ~~с ь=г с=с (2й + 1) з(21 у 1)з х зсп ксс'(2й + 1) + 4(21+ 1) с зсп ' х зсп к(21 + 1)у. я(2й 6 1) 2 Условии задач. Решить первую смешанную задачу для однородного волнового уравнения в прямоугольнике.
1. исс = ссги, х Е (0,1), у Е (Ог1), с Е (О,оо), и(х, у,О) = О, ис(х, у, 0) = (1 — х)(1 — у)ху, и(О,у,1) = и(х,О, с) = и(1,у, с) = и(х,1,1) = О. 2. исс = 9сьи, х Е (О, 3), у Е (О, 1), с Е- (О, оо), и(х, д, 0) = О, ис(х, у, 0) = (3 — х)(1 — у)ху, и(0, у, 1) = и(х, 0,8) = и(3, у, 1) = и(х, 1, 1) = О. 3. иц —— 16Ьи, х Е (О, 4), у Е (О, 2), 1 Е (О,гю), и(х, у, 0) = О, ис(х, у, 0) = (4 — х)(2 — у)хуг и(О,у,З) = и(х,О,й) = и(4,у, З) = и(х,2,1) = О. 4. ис, — — 25сьи, х Е (О, 5), у Е (О, 5), 1 Е (О, оо), и(х, у, 0) = О, ис(х, у, 0) = (5 — х)(5 — у)ху, и(0, у, г) = и(х, О, с) = и(5, у, Х) = и(х, 5, г) = О, 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
