Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Решаем задачу (а). Уравнение Хи — ЛХ = 0 имеет общее решение Х(х) =Се" ~" +Ре ' Я Из граничных условий Х(0) = Х(с) = 0 следует, что скп' -' хп Л„= — ( — ), Х„= С„в1п — х, и = 1,2, 4. Решаем задачу (б). При Л = Л„= — (кпД) имеем Ти+ ( — ) а~Т„= О. Общее решение этого уравнения есть кп 7гп Т„(1) = А„соя — а'с+ В„я1п — а1. 5.14.
Однородное волновое уравнение на отрезке 221 5. Итак, вспомогательные решения уравнения (1) имеют вид кгг — кп а кгг и„'1х,г) = Сп (А„соз а1+ ВпЯп а1) зш х = ) =(п кп кп ;, кп Ап соя — а1+ Вп яп — а1) яп — х, ) где Ап = СпАп, Вп = СпВп — постоянные, которые предстоит найти. 6. Решение задачи (1) — (3) ищем в виде кп кп 1, кп и1х,1) = ~~~ и„(х,1) = ~ ~(Ап сов — а1+Впяп — а1) еш — — х. 14) ) п=г в=Г Эта функция является решением уравнения 11) и удовлетворяет граничным условиям (3) при любых Ап и Вп, при которых ряд (4) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 7.
Находим коэффициенты Ап и Вп, при которых и(х,1) удовлетворяет начальным условиям (2). Полагая в 14) 1 = О, гюлучаем и10, г) = ~ Ап е1п — х = 71х). п=г Отсюда 2 Р , нп Ап = — ) 7'(х) Яп — хг1х. 1/ о Дифференцируя равенство (4), имеем ди к- Г нпа, нпа кпа гиаа , кп — — Ап еш 1+ Вп сов 1) яп — х. д1 — 2),1-11-1) Полагая здесь 1 = 0 и используя начальное условие 12), получаем кпа , кп Вп вш — х = дух). 1 " 1 п=г Отсюда 2 /', яп Вп = — — — / д(х) яп — хдх.. кпа 1,/ 1 о Подставляя эти коэффициенты в формулу 14), получаем искомое решение и записываем ответ. Гл.5. Уравнения математическое фнзннн 222 Замечание.
При каждом фиксированном 1 ряд (4) является разложением и(х,1) по системе собственных функций оператора Лапласа на отрезке (0,1): < и, =Ли, хЕ(ОД), и(0) = с(1) = О. Задача (а) состоит в отыскании этих собственных функций и соответствующих им собственных значений Л. Коэффициенты при 1 в (4) являются квадратными корнями из собственных значений Л.
Примир, Решить первую смешанную задачу для однородного волнового уравнения на отрезке (5) ин — 4и, =О, х Е (0,1), 1Е (О,со), и(х, 0) = О, ие(х, 0) = х(1 — х), (б) (7) и(О,г) = и(1,1) = О. Ришение. 1. Находим вспомогательные решения и(х,1) уравнения (5) в виде и(х, г) = Х(х)Т(г), при гем и(О,Е) = и(1,1) = О, т.е. Х(0) = Х(1) = О. Для этого подставляем функцию и(х,1) = Х(х)ТЯ в уравнение (5) и разделяем переменные. Получаем Х» Т» Х 4Т Поэтому функции Х(х) и Т(г) являются решениями связанных задач: а) Х»(х) — ЛХ(х) = О, Х(0) = Х(Ц = 0; б) Т» — 4ЛТ = О.
3. Решаем задачу (а). Уравнение Х» — ЛХ = 0 имеет общее решение Х(х) = Се' х' + Ре Из граничных условий Х(0) = Х(1) = 0 следует, что Л„= — (хп), Хн = Сняшхпх, и =1,2, 4. Решаем задачу (б). При Л = Л„= — (хп) имеем Т» + 4(хп)~Т„= О. 5.14. Однородное волновое уравнение на отрезке 223 Общее решение этого уравнения есть Т„= Ап сов 2кп1+ В„вш211п1.
5. Итак, вспомогательные решения уравнения (5) имеют вид и„(х,1) = С„(Апсоз2кп~+ В„яп2кп1) япкпх = = (Ап сов 2кп1 + Вп яп 2нп1) яп кпх, где Ап = СпАп, Вп = СпВп найти. 6. Решение задачи (5) — (7) ищем в виде постоянные, которые предстоит и(х,~) = ~ ~ип(х,1) = ~~1 (Ап сое2кп1 т Вп е1п2кпК) япкпх. (8) Ап яп нпх = О. п=1 Отсюда А„= О. Дифференцируя равенство (8), имеем ди — ( — 2нп Ап Яп 2н пр + 2кп Вп соз 2кп~) Яп кпх. д1 Полагая здесь ~ = О и используя начальное условие (6), получаем 2епВп яп1тпх = х(1 — х). п=1 Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что 4 Взел.1 = в..л| В2ь = О.
нв(2й + 1)л ' Эта функция яютяется решением уравнения (5) и удовлетворяет граничным условиям (7) при любых Ап и Вп, при которых ряд (8) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 7. Находим коэффициенты Ап и В„, при которых и(х,у) удовлетворяет начальным условиям (6). Полагая в (8) 1 = О, получаем Гл. 5. уравнения математической физики 224 Подставлнв найденные коэффициенты в формулу (8), получаем 4 и(х,1) = ~~ вш2к(2й+ 1)1вш(2й+ 1)сгх.
г =о н'(2й -С- 1)л 4 Ответ. и(х,1) = ~~с вш2к(2й+ 1)1вш(2й+ 1)кх. кл(2й+ 1)л Условия задач. Решить первую смешанную задачу для однородного волнового уравнения на отрезке 1. исс = иее, х Е (0,2), 1 Е (О,оо), и(х, 0) = О, ис(т., 0) = х(2 — х), и(0, С) = и(2, С) = О. 1 6. исс = — и** 4 и(х,О) = О, х С (О, 4), й Е (О, оо), 1 7. исс = — и. * 9 и(х,О) = О, х Е (0,3), 1Е (О,оо), 2. исс = 2и,, и(х,О) = О, 3. исс = Зи,, и(х,О) = О, 4. исс = 4и„, и(х,О) = О, 5.
исс = и„, и(х,О) = О, 8. исс = 9и,, и(х,О) = О, 9. ии = 16и. „ и(х,О) = О, 10. им=и,, и(х,О) = О, а Е (О, 1), Х Е (О, оо), и,(х, О) = х(1 — х), и(0, г) = и(1, Х) = О. х Е (О, 3), 1 Е (О, оо), ис(х, 0) = х(3 — х), и(0, с) = и(3,1) = О. х Е (0,2), Х Е (О, оо), ис(х, 0) = х(2 — х), и(0,1) = и(2г1) = О. хЕ(0,1), 1Е(О,оо), ис(х,О) = х(1 — х), и(0, с) = и(1,1) = О. и,(х, 0) = х(4 — х), и(0,1) = и(4,1) = О. и,(х, 0) = х(3 — х), и(0, с) = и(3, с) = О. х С (0,2), Х Е (О, оо), и,(х, 0) = х(2 — х), и(0,1) = и(2,1) = О. х Е(0,2), 1Е (О,сю), ис(х, 0) = х(2 — х), и(0, 1) = и(2,1) = О. х Е (О, 3), 1 Е (О, со), и,(х, 0) = х(3 — х), и(О,с) = и(3,1) = О. 5.15. Неоднородное волновое уравнение на отрезке 225 Ответы. 1.
и(х, г) 16 ~-' кв(2й + Цл к" (2й+ Цв 36 кл(2й + Цл 16 кв(2й+ Ц" 4 Е. (,й,Ц 54 кл(2й+ Цл 36 Е. („.,Ц. 16 й=г кв(2й+ Цл 16 Е. (,Ц й=г 36 "-~ кл(2й+ Ц» 2й+ 1, 2й+ 1 яп — — к1вш — — - гх. 2 2 вш(2й+ Цъ'2к5вш(2й+ Цкх. 2. и(х,1) 2й+1,, 2й+1 яп ъЪгй вш —, ггх. 3 ' 3 3. и(х, г) 2й+ 1 яп(2й + Цк1 вш .гх.
2 4. и(х, 5) вш(2й+ Цк5яп(2й+ Цкх. 5, и(х, 5) 2й+ 1 2й+ 1 яп к1 яп гх. 8 4 6. и(х, 1) 2й+ 1 2й+ 1 яп 9 к5 яп кх. 3 7. и(х, 1) бй+ 3 2й+ 1 вш 2 к1 яп 2 кх. 8. и(х, 5) 2й+ 1 яп(4й+ 2)к5яп кх. 2 9, и(х, 1) 2й+ 1, 2й+ 1 вш к5 вш 3 3 кх. 10. и(х, г) 5.15. Неоднородное волновое уравнение на отрезке 3. 3 к ° 5 '" ии — а и, = егяп — х+ 4г3вш — х+ 16увгп — х, (Ц хн (О,Г), 1Е (О,сю), и(хО) = О, и(хО) = О, х е (Ог), и(О,г) = и(7,5) = О, г и (О,сю).
(2) (3) 15 В.И. Афанасьев и др. ПОСтАИОвкА ЗАДАчи. Решить первую смешанную задачу для неоднородного волнового уравнения на отрезке: Гл. 5. Уравнения математической фнзнни 226 План рцшнннн. 1. Разлагаем правую часть уравнения (1) в ряд Фурье по системе собственных функций оператора Лапласа на отрезке (О, 1): < и . = Ли, х Е (0,1), и(0) = и(1) = О, т.е.
по системе функций зш(яхгг1), яп(2яхгг1), яп(Зях,Л),... Имеем я зя я ояп — х+;351п — х+ уяп' — х = я Зя, 5я = (о+ 3~3+ 10у) яп — х — (~3+ 5у) яп — х+ увш — х. 2. Решение задачи (Ц вЂ” (3) ищем в виде я Зя 5я и(х,г) = иг(1) зш — х+ из(1) яп — х+ из(1) яп — х. (4) 1 з иг'(1) + — а игЯ = о+ ЗГЗ+ 10у, 9 из(г) + г азиз(1) = (уз+ 5'у), 25гг и5(~) + 12 а и5( ) У (5) 4. Начальные условия (2) эквивалентны следующим начальным условиям для системы (4): иг(0) = и',(О) = О, из(0) = из(0) = О, из(0) = из(0) = О.
5. Решая последовательно задачу Коши для каждого уравнения системы (4), получаем (о+ ЗД+ 10у)г' Г яа Л из(г) = ( 1 — соз — З), 1) (5) — (Д+57)1з У' Зла Л из(1) = ~1 — соз З), 9язаз из(1) — , 1 — соз 25ггзаз ( (7) (8) 3. Подставляя выражение (4) в уравнение (1), получаем систему дифференциальных уравнений: 5.15. Неоднородное волновое уравнение на отрезке 227 (о+ 313+ 107)1~ г га Л гг и(х,1) = (1 — соз 1) зш — х я2а2 (Д+ 57)1 /' Згга Л Згг у12 гг 5яа Л . 5гг ~1 — соз 1) вш — х+ ( 1 — соз 1) яп — х.
Оз.гаг 1 ) 1 25язаз ~, 1 ) Замечание. Аналогично решается задача ии — а и„в = 1 (х), х Е (0,1), 1 Е (О, оо), и(х,О) = О, ие(х,О) = О, х е (0,1), и(0,1) = и(1,1) = О, 1 Е (О, оо) при произвольной непрерывной функции Г (х). ПЕИМЕЕ. Решить первую смешанную задачу для неоднородного волнового уравнения на отрезке ии — 'а =4яп х, хН(О,я),1е.(О,оо), (9) и(х,О) = О, иг(х,О) = О, х Н (О,я), (10) и(0, 1) = и(.г,1) = О, 1 Е (О, оо). РЕШЕНИЕ. 1. Разлагаем правую часть уравнения (1) в ряд Фурье по системе собственных функций оператора Лапласа на отрезке (О, гг); (11) < и = Ли, х Е (О,я), о(0) = и(я) = О, т.е. по системе функций зшх, яш2х, зшЗх,...
Имеем 4яп т = Зяпт — япЗх. 3 2. Решение задачи (9) — (11) ищем в виде и(х,1) = иг(1) япх.+ из(1) ешЗх. (12) 3. Подставляя выражение (12) в уравнение (9), получаем систему дифференциальных уравнений: < и ~ ( 1 ) + и 1 ( ) 3 из(1) -> 9из(1) = — 1 (13) 15* 6. Подставляя (6) — (8) в формулу (4), получим искомое решение задачи (Ц-(3): Рл. 5. Уравнения математической физики 228 4.
Начальные условия (10) эквивалентны следующим начальным условиям для системы (13): ид(0) = исг(0) = О, из(0) = изс(0) = О. 5. Решая последовательно задачу Коши для каждого уравнения системы (13),получаем иг(1) = 3(1 — соз1), (14) 1 из(1) = — — (1 — сов 31). 9 (15) 6. Подставляя (14) и (15) в формулу (12), получаем искомое решение задачи (9) — (1Ц: 1 и(х,1) = 3(1 — совз) зшх — — (1 — сов 31) зшЗх. 9 1 Ответ. и(х,1) =3(1 — совз)япх — — (1 — сов31)япЗх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
