Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1. ив„(х, у) = яп Ых яп ипу/2, Лг,„= — и~(йг+пгг'4) 1=12 ... и=12 2. ив„(х,у) = вш.тИхсовипу(2, Лин = — иг(йг + пг/4), й = 1,2,..., п = О, 1,2, 3. ив н(х, У, г) = Япггйхсов кгпУ(2 сов(2гг+ 1)иг,Г6, Л, г(ггг + г ~4+ (2п+ 1)гг86) т=0,1,2,..., п=0,1,2, 4. ив„(т,гг) = Лн(ув т)(А„совпр+ В„яппвг), Лг,„= - угн. й = 1, 2,..., п = О, 1, 2,..., Л„(ув„) = О. 5. ив (т,,'р) = Л (увит)(А сов п р+ Вняппр), Лап= — угв, 1=1,2,..., п=0,1,2,..., Лг(увн) =О. 6. гия(т, р) = (Сц„Л„(уц т) + ГгвнУн(ув т))(А„совпр+В„яппр), Лг,„= — у(„, Й = 1,2,..., и = 0,1,2,..., Л„(ув„) К„(2у,„) — Л„(2уу„) К„'(ув„) = О.
7. ии„(т, р,г) = Лн(уинт)(Ансовпр+ В„яипр) япгггпг, Лв(ув„) = О. 8. ив„(т,р,г) = Л„(уи„г)(А„согну+ В„яппр) сов(2т+ 1)иг/4, Лв„= — уг„— (2гп+ 1)гггггг16, й = 1,2,..., п = 0,1,2,..., гп = 0,1,2,..., Л„(уа„) = О. 9. ив„(т,д, р)=Л вЂ” — (ук т)Р~"~(совд)(А„совпр+В„япп~р), г Лв„,н= — у, 1=1,2,..., т=0,1,2,..., п=0,1,2,..., Лтт — 0(ув ) =О. 10. ивн (т,д, р)=Л -- — —.-(уи т)Р,„," (совд)(А„санитар+В„яппр), Л'Л г 4,(У, ) =О. 5.11. Уравнение Пуассона в кольце 5.11. Уравнение Пуассона в кольце Постановка задачи.
Решить краевуя задачу Дирихле длл уравнения Пуассона в кольца: ььи = )(т,~о), т1 ( т ( тз, и~„-„= д1(у1), (2) ди дт п=п2 (3) План ркшкния. Решение краевой задачи (1)-(3) ншем в виде тригонометрического ряда Фурье: и(т, р) = ао(т) + ~~~ ап(т) сов пр + Ьп(т) яп пр, (4) п=1 где ао(т), ап(т), дп(т) функции, которые предстоит найти. 1. Подставляем (4) в уравнение (1). Получаем п=з (1 д / д '1 пз + ~ — — ( т — уп(т)) — —,уп(т) ян тир = З" (т, ув).
~т дт (, дт " ) тз 1Н/ д 1 1 — — ( т — ао(т)) = — ) 7(т, р) др = ао(т) (5) ° д.(,д ) о 1 д 1т д '1 пз 1 1" — — '( т — а„(т)) — — ап(т) = — ) 7:(т, ув) совпаду = ап(т), (6) тде(, Йт ) тз о 1д/д'1п21 — — ( т — уп(т))) ~— — уп(т) = — / 1(т, У1) Вшп~Рд1Р = бп(т).
(7) т дт (, йт ) тз о 3. Решаем дифференциальные уравнения (5) — (7) н находим коэффициенты ао(т),ап(т), уп(т) с точностью до произвольных постоянных. 2. Используя формулы Эйлера-Фурье, находим коэффициенты при 1, совпд1, япп1р; 5.11. Уравнение Пуассона в кольце 201 где А„(т) известная функция, а Еи и Ги пока произвольные постоянные. в) Аналогично п. (б), и 1' т — п б„(т) = — / 1 "б„( ) с1 — / "би(т) с1и 2и 2п Вычисляя интегралы, получаем Ь„(т) = В„(т)+ Би1.и+ Нит ", (10) Ао(т1 ) + Ео + Го 1п т1 + ~ [(Аи(т,) + Еит", + Г т, ") соя п1р~ п=1 +(Вп(т1) + Си11 + Нпт1 ) я1ппр] = д1(р).
По формулам Эйлера — Фурье получаем 2п 1 Р -4о(т1) + Ео + Го 1п т1 — — — / д1 (р) 11р 2я,/ о (11) Аи(т1) -т Еи1," -~- Гит, " = — / д1(уь) соа п1р11 р, о 2и 1 Ви(т1) + Сит,"+ Нит, "= — 1 д1(о2) я1пп1ра1р. о (12) (13) Граничное условие (3) с учетом (4), (8) — (10) можно представить в виде Ао(тз) + Рого + ~ ~[(Ап(тз) + пЕит2 — иГ„топ ) соя иуо+ п=1 +(В„'(тя) + пСит, — иНит, ) яппр] = д2(р). где Ви(т) известная функция, а Си и Ни пока произвольные постоянные. 4. Используем граничные условия (2) и (3), чтобы найти постоянные Ео:Го Еп,Ги С Нп. Граничное условие (2) с учетом (4), (8) — (10) можно представить в виде Гл.5.
Уравнения матпематаичееква физики 202 По формулам Эйлера — Фурье получаем гп Г АО(~ г) + Го~ г / зг(р) е~Р~ 2я ./ о (14) 1 Г Ап(тг)+пЕпт," ' — Гпт " ' = — / дг(фсовпигеЬр, (15) о гп 1 Г Вп(тг) + теСптг — тгНптг = яг(ф) я!пп'репр. (16) о Постоянные Ео, Го находим, решая систему линейных уравнений (11), (14): Замечания. 1.
Краевая задача для уравнения Лапласа в кольце решается аналогично, но проще, так как 7"(т, ~р) = О. Поэтому в формулах (8) — (10) Ао(т) = О, Ап(т) т— н О, Вп(т) = О. 2. Краевая задача для уравнения Пуассона в круге решается аналогично, но проще, так как в формулах (8) — (10) Го = О, Г„= О, Нп = 0 в силу условий /ао(0)( < оо, ~а„(0)( < оо, (Ьп(0)! < оо. 3. Краевая задача для уравнения Пуассона вне круга решается аналогично, но проще, так как в формулах (8) — (10) Го = О, Гп = О, Нп = 0 в силу условий (ао(со)( < со, (а„(оо)) < сю, )Ь„(оо) < оо. Прнмир. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в кольце: еяв = тз соя вз, 1 < т < 2, (17) и~,— 1 —— соо 2ег, (18) ди = сйп 31з.
дт, г (10) тгп Ео + Го 1п т1 = — Ао(тг) + — / рг(гг) еЬр, 2 ргп Готг = — Ао(тг) + — / 9г(Ф) ечз 2 /о Постоянные Еп, Гп находим из системы уравнений (12), (15), а постоянные Сп, Нп из системы уравнений (13), (16). 5. Подставляем значения постоянных Ещ Го1 Еп~ Гп1 Сп~ Нп в Формулы (8) — (10), подставляем ао(т), ап(т), Ьп(т) из формул (8) — (10) в (4) и записываем ответ. 5.11.
Уравнение Пуассона в кольце 203 и(т, р) = ао(т) + ~~~ а„(т) сезар + Ьп(т) впар, (20) п=1 где ао(т), ап(т), Ьп(т) — функции, которые предстоит найти. 1. Подставляем (20) в уравнение (17). Получаем (1 Н 2' 0 '1 и' + ~ — — ( т — Ьп(т)) ~— —.Ьп(т) яппсо = тзяпр. ° (, °" ) 2. Используя формулы Эйлера — Фурье, находим коэффициенты при 1, сов пу2, яп пун 2п 1 а 2 а 1 1 1 з — — ( т — ао(т)) = — -/ т~совуьеЬр = О, тс1т~, дт ) 2я/ о (21) '1 и' 1 — — ( т — ап(т)) 1— — а„(т) = — / тЗСОВ~ОСОВП:р1Ьр = ап(т), (22) т Нт ~, Й. ) тз к,/ о 2п 1 е1 2 11 1 п2 1 р — — '( т — Ьп(т)) — — Ь„(т) = — / тв соя 72 в1пп~р сЬр = О. (23) ,1,2 и / о 3. Решаем дифференциальные уравнения (21) — (23) и находим коэффициенты ао(т), ап(т), Ьп(т) с точностью до произвольных постоянных. а) Общее решение уравнения (21) имеет вид ао (т) = Ео + Го 1п т, (24) где Ео и Го — пока произвольные постоянные.
б) Уравнение (22) решается методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. Общее решение однородного уравнения 1 И Г е1 '1 и' — ( т а„(т)) —, Ьп(т) = 0 Рншкнин. Решение краевой задачи (17) — (19) ищем в виде тригонометрического ряда Фурье Гл. б. Уравнения яатиеяатиинеенвя физики 204 имеет вид аи(г) = С„ги + Р„г ". ПоэтомУ общее Решение неодно- родного уравнения (22) имеет вид (,) С (,),и+Р ( ) — п Функции Си(г) и Ри(г) определяются системой дифференциальных уравнений: 1 гг"С"„(и) + Р„'(и) = О, ггиС„'(и) + Р' (т) = и" 1~и„(г) и. Следовательно, — п- иСи(г) = — и "ап(т)гйг и Ри(г) = — — / гиаи(г)ге1г.
2п.,/ 2п,/ Поэтому Г ,— и аи(г) = — / и "аи(т)гете — — /и" а (г)гт1г. 2а,/ 2п / Вычисляя интегралы, получаем гв ат(г) = — + Е,г + Г,г 24 (25) аи(г) = Еиги+ Гиг ", и > 2, где Еи и г'„— пока произвольные постоянные. в) Аналогично п. (б), (26) Ьи(г) = Сиги+ Нпг где Си и Ни пока произвольные постоянные. 4. Используем граничные условия (18) и (19), чтобы найти постоянные Ео, Го, Еи, Ги, Си, Ни. Граничное условие (18) с учетом (20), (24) — (26) можно представить в виде 1 Ео+ — совр+ ~~~ (Еи+ Ги) соятт.р+ (Си+ Н„) тйппр = сов2р.
24 п=т По формулам Эйлера — Фурье получаем Е =О, (27) 1 24 — + Ет -~ Гт = О, Ег + Гг = 1, Еп + Г„= О при тт > 2, (28) Си + Нп = О. (29) 5.11. Уравнение Пуассона в кольце 205 Граничное условие (19) с учетом (20), (24) — (26) можно представить в виде — + — сов уь+ ~ ~((пЕ„2" — пЕа2 " ) сов п~р+ Ео 10 2 3 +(пС„2" — пН„2 " )яппуо~ = япЗуо.
По формулам Эйлера — Фурье получаем — =О, (30) — +Е1 — — — — О, Е„2" — Е„.2" =О, 10 Е 3 4 (31) ЗСз 2 — ЗН„2 = 1. (32) С„2" 1 — Н„2" =0 ирину.-З, Постоянные Ев, Ео находим, решая систему линейных уравнений (27), (30). Очевидно, что (ЗЗ) Ее=О и Ее=О Постоянные Е„, Еа находим из системы уравнений (28), (31): 1 10 Е, — +Е1+Е~=О, — +Е1 — — — — 0; 24 3 4 Ее+Ее=1, Еь.2 — Ез.2 з=О; Е„2" 1 — Еа 2 " 1 = 0 при и > 3. Е„+ Р„= О, Получаем 107 79 1 16 Ез —— — —, Ес = — —, Ег = — —, Ез = — 1 Ен = 01 Ен = 0 при и ~ )3. 40 ' 30' 17' 17' Постоянные С„,Н находим из системы уравнений (29),(32); С„+Н„=О, С„2" У вЂ” Н„2 " 1=0 прин ~ 3, ЗСз 2 — ЗНз.2 в =1.
Получаем 16 16 С„=О, Н„=О прип>З, Сз=, Не=в 195' 195 5. Подставляем значения постоянных Ео, Ео, Еа, Е„, С„, Н„в формулы (24) — (26), подставляем ао(г), а„(т), Ьа(г) из формул (24) — (26) в (20) и записываем ответ. Гл.5. Уравнения матпематической физики 206 / т' 107 79 Ответ. и(т, зс) = ( — — т + — т ~ сов р+ (ч24 40 30 /1 16 / 16 16 + ( т+ г ') сов2Зг+ 1 т — т ~') япЗЗз. (17 17 ) (, 195 195 Условия задач. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в кольце. 1. ез = 8твшза, 1 < т < 2, и~„з = яп р, и,~е = 12взпзо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
