Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Решение задачи Дирихле (1) — (2) ищем в виде и(т;д) = ~~' ип(т,д) = ~~~ АптпРп(совд). п.=в п=о (5) Эта функция является решением уравнения (1) при любых Ап, при которых ряд (5) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых и(т, д) удовлетворяет граничному условию (2): и(то,д) = ~ ~Апт,",Рп(совд) = а+Ьсоед+ссов'д. п=о Разложим функцию и + Ьх + схз в ряд по многочленам Лежандра: 2сЛ 2 а+ Ьх+ сх = ( а т — ) Ро(х) + ЬР1(х) + — сРз(х) 3 ) 3 (см. задачу 3.7). 12 В.И. Афанасьев и др.
где Р,(з) и (1 (е) — функции Лежандра первого и второго рода нулевого порядка (Р,(е) се Р (з) и Ц,(е) : =Я (е)). Оно ограничено <о> [о> на [ — 1,Ц только при р = и (и = 0,1,...), т.е. при Л = п(п+ 1) и Р = О. 3. Решаем задачу (б). При Л = п(п+ Ц имеем Гл. 5.
Уравнения математической физики 178 Следовательно, 2 1 2 А„то Р„(сов д) = 1 а+ — с) Ро(сов д) + ЬРг(сов д) + — еРг(сов д). 3) 3 п=о Отсюда 2 Ь 2с Ао = а+ -с, Аг = —, Аг = —, А„= 0 при и > 3. 3 ' то' Зт,", Подставляя эти коэффициенты и выражения для Р„(сов д) 3 1 Ро(совд) = 1, Р1(совд) = сояд, Рг(соя д) = — совд —— 2 2 в (5), получаем 2 т ст и(т,д) = а ч- — с+ Ь вЂ” саад+ — — (3совг д — 1). 3 3 тог Замечания.
1. Задача Дирихле гли = О, О < т < то, и(,, = 7(~р,д) (8) при произвольной непрерывной функции 1(уг, д), периодичной по р с периодом 2я, решается аналогично, но вместо многочленов Лежандра используются сферические гармоники (шаровые функции Лапласа): уттн(р,д) = РО 0(совд)е' " (та = О,ш1,т2,..., п = 0,1,2,...). Здесь Р„(сов д) — присоединенная функция Лежандра порядка т.
(т) Решение задачи (7) — (8) ищем в виде ряда; и(т, р,д) = ~~' ~~'~С т У (ве,д), — н=о где коэффициенты Сн„, определяются по формулам Эйлера-Фурье: С,„= — з, / / г(р,д)Ут„(р,д)*в1пддддр. 1 (2п -~- 1)(п — (т()! Р Р тог 2я(п+ 'тп~)~,/,/ о о вс.7. Уравнение Лапласа в шаре 179 гн 4т У У (тог 2тотсов 7+ тг)з12 о о где сов 7 = сов д сов д' + яп д яп д' сов(у — р'). 3.
Смысл формулы (6) можно пояснить следующим образом. При каждом фиксированном т функцию и(г, д) можно разложить в ряд Фурье по системе функций Р„(сов д) (и = 0,1,2,...) (см. задачу 3.7): и(т,д) = ~~~ а„Р„(совд). КоэффиЦиенты ао, а1, аг,... зависЯт от т. ПоэтомУ и(т,д) = ~~ а„(т)Рп(говд). п=о (10) Подставляя эту функцию в уравнение (4), убеждаемся, что уравнение (4) обращается в тождество, только если а,(т) являются решениями задачи (б) при Л = и(п+ 1) (и = 0,1,2,...). Следовательно, а„(т) = А„т . При таких коэффициентах формула (10) совпадает с (6). Примкр.
Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в шаре: Ли=0, 0<т(1, (11) и,„= 3совг д. (12) Рншнцин. Уравнение Лапласа в сферических координатах (т, у, д) имеет внд (3). Так как граничные значения и~, „функции и не зависят от сг и коэффициенты уравнения (3) не зависят от у, решение задачи Дирихлс (11) — (12) также не зависит от сг и его можно искать в виде и(т,7г,д) ти и(т,д), где функция и(т, д) удовлетворяет уравнению (4).
12" 2. Подставив эти выражения для С „в (9), изменяем порядок суммирования и интегрирования. Вычисляя сумму ряда, получаем формулу Пуассона для решения задачи (7) — (8); Гл. 5. Уравнения математической физики 180 1. Находим вспомогательные решения и(т, д) уравнения (4) в виде и(т,д) = Л(т)0(д), причем ~Л(0) < сс, ,'9(0)~ < сс, )0(к)~ < со. Для этой цели подставляем функцию и(т, д) в уравнение (4) и разделяем переменные. Получаем тзЛн+2тЛ' Он+с$яд 0' — Л вЂ” сопвс. Л 0 Поэтому функции Л(т) и 0(д) являются решениями связанных задач: а) 0" +с1ядО'+ ЛО = О, /0(0)! < оо, !0(к)/ < со; б) т Лн + 2тЛ' — ЛЛ = О, !Л(0)/ < со. 2.
Решаем задачу (а). Получаем Л = п(п+ 1), О„(д) = фЄ(сов д), и = О, 1, 2,..., где Р„(х) — - многочлены Лежандра. 3. Решаем задачу (б). При Л = п(п -~- 1) имеем тзЛн + 2тЛЯ вЂ” п(п+ 1)Л = О. Общее решение этого уравнения есть Л„(т) = Ант" +Лиг " '. Поскольку ~Л„(0) ~ < сс, полагаем Вн = О. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (4) имеют вид и„(т,д) = С„А„тнР„(совд) = А„т"Р„(совд), где А„= С„А„постоянные, которые предстоит найти.
5. Решение задачи Дирихле (11) — (12) ищем в виде и(т,д) = ~~~ и„(т,д) = ~~г А„тнР„(совд). (13) и=в Эта функция является решением уравнения (11) при любых Ан, при которых ряд (13) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты А„, при которых и(т, д) удовлетворяет граничному условию (12); и(1,д) = ~ А„Рн(совд) = Зсов д. н=о 6.7. Уравнение Лапласа е 1ааре 181 Поскольку 3 сов~ д = Ро(сов д)+2Рв(сов д) (см. задачу 3.7), имеем и(1,д) = ~~~ АнРн(сояд) = Рв(совд) + 2Р2(сояд).
н=е Следовательно, Ае = 1, Аь = О, Ав = 2, Ан = 0 при и > 3. Подставляя эти коэффициенты и выражения для Р„(сов д) 3, 1 Ре(сояд) = 1, Рв(совд) = — соввд — —, 2 2' в (13), получаем и(т,д) = 1+ т~(Зсов~ д — 1). Ответ. а(т,д) = 1+т~(Зсов~д — 1). Решитпь нраееую задачу Дирихле длл уравнения УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Лапласа е пьере. 1. Ли=О, 0<т 2. Ли=О, 0<т 3.
55и=О, 0<т 4. Ли=О, 0<т 5. Ли=О, 0<т 6. Ли=О, 0<т 7. Ли=О, 0<т 8. Ли=О, 0<т 9. Ли=О, 0<т 10. Ли=О, 0<т и~, а~„ и~„д 7+ т сов д + (б сов~ д — 2)тв/4. 4 — т сов д — (3 сова д — 1)т~/9. — 5+ 5т соя д — (3 сов~ д — 1)т~. 4+ Зтсовд+ (бсов д — 2)т~/16.
— 3+ (9сояв д — 3)т~~25. 2т соя д+ (3 савв д 1)тв/16. — 3 + 4т сов д — (9 сов~ д — 3)т~/9. 6 — Зтсовд+ (9сов~ д — 3)т ~4. 2 — т сов д — (6 сов~ д — 2)т~ /25. — 1 — 2т сов д + (3 сов д — 1)т . Ответы. 1. и(т, д) 2. и(т, д) 3, и(т, д) 4. и(т, д) 5. и(т, д) 6. и(т, д) 7. а(т, д) 8. и(т, д) 9. и(т, д) 10. и(т, д) <2, < 3, <1, <4, <5, <4, < 3, <2, <5, <1, ~т в-В и(„в и~, и(„ иы=в и(„,, и(„ 3+ 2 сов д+ бсовв д. 6 — 3 сов д — 3 савв д.
— 3+ 5совд — Зсовз д. 12 сов д + 6 сова д. — 9+ 9соввд. — 2+ 8сояд+ Зсовз д. 3+ 12совд — 9совв д. — 6 сов д+ 9 савв д. 6 + 5 сов д — 6 соя в д. — 3 — 2 сов д+ 3сояв д. Гллй Уравнения матаематаинеекой физики 182 5.8. Уравнение Гельмгольца в круге Постановка задачи. Реиштиь краевую заданр Дирихле для уравнения Гельмгольца в круге: Ьи+ й~и = О, 0 < т < то, Я„(йто) ~ О, п = О, 1,..., (1) и~,-„в = асов оз + Ьзш' оз+ рсоа оз+ ваш оз+ с. (2) 1 д / диЛ 1 даи — — г — + — +йзи=О. тдт дт т доз (3) 1. Находим вспомогательные решения и уравнения (3) в виде (т о') =В(т)Ф( ) причем ~В(0) < со и Ф(оз) периодична с периодом 2я. Для этого подставляем функцию и(т, ов) в уравнение (3) и разделяем переменные. Получаем — т — +йгВ В Ф вЂ” — — Л вЂ” сопвО.
Поэтому функции В(т) и Ф(оз) являются решениями связанных задач: а) Фн т ЛФ = О, Ф(оз+ 2к) = Ф(оз); б) тзВи + тВ'+ (йгтг — Л)В = О, ~В(0)~ < со. 2. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения Ф" + ЛФ = 0 имеет вид Ф(,р) = Ае '-лт + Ве- т< ллт Оно периодично при Л > 0 и имеет период 2я при Л= из (и=О, 1,...). Получаем: Фо(оз) = Ао при Л = Ло = О, Ф„(~р) = А„соепез+ В„зш тир при Л = Л„= иг (и = 1,2,...). 3. Решаем задачу (б) при Л = Л„= иг (и = О, 1,2,...).
Имеем та В." + гВ'+ (й'г' — пг) В = О. План ркшкния. Задача решается аналогично задаче Дирихле для уравнения Лапласа в круге (задача 5.5). Уравнение Гельмгольца (Ц в полярных координатах (т, ф имеет вид 183 5.8. Уравнение Гель нгольиа в круге Общее решение этого уравнения есть Я(т) = СвЛ„Ят) + Р„У„Ят) (и = О, 1, 2,...), где Л„и ӄ— функции Бесселя и Неймана. Поскольку ~Лн(0) ~ < со, а У„(т) -4 оо при т -4 О, полагаем Р„= О.
4. Итак, вспомогательные решения уравнения (3) имеют вид ин(т, ьв) = СвЛ„Ят) (А„соя пу 4 Вв яш пуе) = = Лв(Ь-)(А„соя и:р + В„яшп;в), где А„= СнАн, постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи Дирихле (1) — (2) ищем в виде и(т,ьв) = ~~ о„(т,ье) = ~Лн(йт)(Ансоятер+В„я1ппд). (4) Эта функция является решением уравнения (1) при любых А„и В„, при которых ряд (4) сходится и ого можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты А„и В„, при которых и(т, ее) удовлетворяет граничному условию (2). Представим условие (2) в виде и(то,ое) = асояз уг+Ьяшз ев+рсояог+осояев+с = За+р ЗЬ+о, а а = с+ соя р+ яш р+ — соя Зев — — тйп З~в.
4 4 4 4 Имеем и(то1ье) = АоЛо(Ыо) 4 ~ 1 ЯтоНАн соя пр + Вн тйп и р) = н=1 За+ р а 36+4, а, = с4. соя ее + — соя Зев + яш ее — — я1п 3 р. 4 4 4 4 Следовательно, с 1 (За а Ао = А,= — +р, Аз=О, Аз= Ло(Ь'о) Л1(1то) 1, 4 / ' 4Лз(Кто) А„=О прип>4, 1 /36 В, = — — +д, В,=О, Вз= Л1(кто) [, 4 4Лз(1то) В„=О прип>4. Гл. 5. Уравнения иатезватичеекой физики 184 Подставляя эти коэффициенты в формулу (4), получаем Уз(йт) l а Ь + — — сов Зр — — яп Звз Яз(1сто) ( 4 4 Замечания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
