Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 20
Текст из файла (страница 20)
)е '". + )+С (у+х)е". ф 2х) т Сз(у .1- 2х)е Гл.б. Уравнения математической ф гики 162 РЕШЕНИЕ. 1. Приводим уравнение (3) к каноническому виду. Получаем (4) иве + и „ = О, где~=у — 2х, у=х. 2. Уравнение (4) означает, что и(с, и) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции Э (с + 91). Поэтому и(х, у) = Веу"(у — 2х+ ай), Ответ. Общее решение уравнения (3) имеет вид и(х, у) = Веу(у — 2х+ х1), где Дг) — произвольная аналитическая функция. общее решение эллиптического уравне- Ответы. 2, и = Веу(у+ х+ л72х4).
4, и = Веу" (у + 2х + 2х1). 6. и = ВеДу + Зх + Зх1). 8. и = ВеДу + 2х + бх1). 10. и = Ве1(у — х+ Зхг). 5.5. Уравнение Лапласа в круге ПОСтЛНОНКЛ ЗЛдЛЧИ. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге: Ли=О, 0<с<го, и~,— „, = асов ~р+ бв1п р+ рсовео+ дв1пд+ с. (2) Условии злдлч. Найти ния.
1. и„+ 2и,у + 5иуу = О. 3. и„+ 4и,у + 5иуу = О. 5. и, + баху +13иуу — — О. 7. и. +4и,у+20и,„=О. 9. и„— 2и,у+ 26иуу = О. 1. и = Веу'(у — х -> 2х1). 3. и = Ве7'(у — 2х + х1). 5. и = Веу(у — Зх ч- 2х1). 7. и = Ве1"(у — 2х + 4х1). 9. и = Ве1"(у+ х+ 5х1). 2. и„— 4, и„— 6.
и 8. и, 10. и + 2и,у + Зиу, — — О. 4и,„+ 8иуу = О. би у + 18иуу = О. 4ияу + 40иу, = О. 2и + 10иуу = О. 5.5. Уравнение Лапласа в крузе 163 План рншннин. Уравнение Лапласа (1) в полярных координатах (т,гр) имеет вид 1 д гг дилг 1 д и — — (лт — ) + — = О. (3) тде ( дт ) тгдггг 1. Находим вспомогательные решения и уравнения (3) в виде п(т, р) = Л( )Ф( ): причем Л(0) ~ < со и Ф(уг) периодична с периодом 2гг. Для этого подставляем функцию о(т, уг) в уравнение (3) и разделяем переменные. Получаем Д агЛ г1гф — = — — ~ — = Л = сопяо. Л Ф Поэтому функции Л(т) и Ф(сг) являются решениями связанных задач: а) Фа + ЛФ = О, Ф(сг + 2х) = Ф(д): б) тгЛа + г.ЛЯ вЂ” ЛЛ = О, /Л(0)/ < со. 2. Решаем задачу (а).
Общее решение уравнения Фа + ЛФ = 0 имеет вид ф(сс) Ае,т:лт, гг —,с:лт Оно периодично при Л ) 0 и имеет период 2я при Л=п (п=О, 1,...). Получаем: Фо(сс) = Ао при Л = Ло = 0: Фа(гр) = Ан созпгр+ Вн яшпуг при Л = Л„= и (п = 1,2,...). 3. Решаем задачу (б) при Л=Ло=О и при Л=Л„=п ('и = 1,2,...). При Л = Лгг — — 0 имеем тгЛа+ тЛ' = О. Общее решение этого уравнения есть Ло(т) = Со + Ро 1п т Поскольку (Ло(0), '< сю, полагаем Ро = О.
При Л = Л„= пг имеем тала + тЛ',поЛ вЂ” 0 Общее решение этого уравнения есть Лн(т) = Оат™ + Рат " (и = 1,2,...). Поскольку ~Лн(0)~ < со, полагаем Рн = О. 11* Гл.б. Уравнения математической ф вини 164 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (3) имеют вид ио(т, р) = СоАо = Ао, и„(т, ее) = Сптп(А„сов ну + Вп Яшну) = тп(А„совпР + Вп Яшпве), где А„= СпАп, В„= ф„— постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи Дирихле (1) — (2) ищем в виде и(т, Р) = ~~~ и„(т, Р) = Ао+ ~~~ тп (А„совп~Р+В„вшпве). (4) п=.в п=1 Эта функция является решением уравнения (1) при любых Ап и Вп, при которых ряд (4) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6.
Находим коэффициенты Ап и Вп, при которых и(т, ее) удовлетворяет граничному условию (2). Представим условие (2) в виде и(то, р) = асояз О1-~5я1п 1с+р соя 1е+а соя 1с+с = За+р ЗЬ+4, а а = с+ 4 4 соя р+ — яш О1+ — соя Зев — — яш Зев. 4 4 Имеем и(то яс) = Ао+~~~ т~о(А„сояп~р+В„яшар) = п=1 За+ р а ЗЬ+4, а =с+ 4 соя р + — соя 31с + я1п О1 — — ейп Зев. 4 4 4 Следовательно, 1 /За '~ а Ао = с, А1 = — ) — -> и), Ая = О, Аз = †, А„ = О при и > 4, то 1,4 ) 4тоз 1 /ЗЬ '1 Ь В1= — ~ — +д), Во=О, Вз= — — з, Вп=О при п)4.
то ~,4 ) ' ' 4тоз' Подставляя эти коэффициенты в формулу (4), получаем и(т, ~р) = =с+ — — + р соя~р+ — + 4 я1пее + — — сояЗт — — я1пЗее 5.5. Уравнение Лапласа в нруее 165 Замечания. 1. Задача Дирихле Ли=О, О<г<го, (5) (6) при любой непрерывной функции Г(р) с периодом 2х решается аналогично, но в п. 6 плана решения коэффициенты Ап и Вп определяются по формулам Эйлера — Фурье: 2л 2л 1 Г 1 Г -4о = — / Г(р) сйр Ап = „ / Г(1р) соепрс6р, 2х,/ -г/ о о Вп = „ / Г(У2) вшп~РсЬР. 1"' о о 2.
Подставив эти выражения для Ао, Ап и Вп в (4), изменяем порядок суммирования и интегрирования. Вычисляя сумму ряда, получаем формулу Пуассона для для решения задачи (5), (6): 1 /' то — т' и(,р) = — /ГМ) 2 . 2срр'. 211 у тол 2тот соя(р — у') + тз о 3. Смысл формулы (4) можно пояснить следующим образом. При каждом фиксированном г функцию и(г, д) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье: и(т,р) =ао+ ~ а„совп1р+Ьпе1пп1р.
п=1 Коэффициенты ао, а1,... и Ь1, Ь2,... зависят от г. Поэтому и(т, у1) = ао(г) + ~~1 ап(т) совгар + Ь (г) вшп1р. (7) п=.1 Подставляя эту функцию в уравнение (3), убеждаемся, что уравнение (3) обращается в тождество, только если а„(т) и Ьп(т) являеотся решениями задачи (б) при Л = п2 (п = О, 1,2,...). Следовательно, ао(г) = Ао, ап(т) = Апта и Ьп(г) = Впгп. При таких коэффициентах формула (7) совпадает с (4). 166 Рл.5. Уравнения матпематаинеекой физики 4. Общее решение уравнения, Лапласа Ьи = 0 в круге 0 < т. < то имеет вид и(х,у) = Веу'(з), где е = х + 1у и т(з) — произвольная функция, аналитичная в круге ф < то (см.
задачу 5.4). Функцию 1(з) можно представить степенным рядом; 1(з) = ~ ~с„з", п=о сходящимся в круге ф < то. Положим я = те'т. Тогда и(х, У) = Веф(з) = йе ~~ с„т"е'"'" = ~ ~ВО~сати(совпез+1Я1пп1е)~. п=о п=о Последний ряд совпадает с (4), где Ао —— Несо, Ап = Кеса и Вп = — 1шсо. П1'ИМЕН. Решить краевую задачу Дирихле для уравненил Лапласа вк ге: ру Ли=О, 0<т<1, (8) и~„, = сйп ух (О) Решение Уравнение Лапласа (1) в полярных координатах (т,,р) имеет вид (3). 1.
Находим вспомогательные решения и уравнения (3) в виде и(т, ев) = В(т)Ф(ез), причем ~В(0) < со и Ф(ез) периодична с периодом 2и, Для этого подставляем функцию и(т, р) в уравнение (3) и разделяем переменные. Получаем Л Ф вЂ” = Л = сопва Поэтому функции Л(т) и Ф(ув) являются решениями связанных задач: а) Фа + ЛФ = О, Ф(ее+ 2я) = Ф(ее); б) тзКа+тК' — ЛВ = О, (Л(0)! < оо.
2. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения Фа + ЛФ = 0 имеет вид Ф(ез) Ае т — "р+ Ле — т — Лт Оно периодично при Л > 0 и имеет период 2к при Л =те (и =О, 1,...). Получаем: Фо(1е) = Ао при Л = Ло = 0 Ф„(ез) = Ап сов п1в .+ Вп вш тиР пРи Л = Лп = пз (п = 1, 2,...). 5.5.
Уравнение Лапласа в крузе 167 3. Решаем задачу (б) при Л = Ло = 0 и при Л = Л„= иг. При Л = Ло = 0 имеем тгВа+ тН' = О. Общее решение этого уравнения есть Поскольку (Во(0) ~ < со, полагаем Р„= О. При Л = Лп = и имеем тгда + тд' — пг 71 О Общее решение этого уравнения есть К„(т) = Сага+.Раг " (и = 1,2,...). Поскольку ~11„(0)~ < со, полагаем Р„= О. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (5) имеют вид ив(т р) = СоАв = Ао 11„(т, Р) = Спрн(А„сов п~Р+ ВавшиР) = т"(А„совпР+ В„ЯпиУл), где А„= С„А„, В„= ф„— постоянные, которые предстоит найти.
5. Решение задачи Дирихле (8) — (9) ищем в виде и(т ул) = ~ иа(т, р) = Ао + ~ тн(А„сов пр + В„яп пр). (10) и=-1 п=в Эта функция является решением уравнения (8) при любых А„и В„, при которых ряд (10) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты А„и В„, при которых и(т, р) удовлетворяет граничному условию (9). Представим условие (9) в виде 3, 1 и(1, р) = яп':р = — вшул — — япЗ:р. 4 4 Имеем 3, 1 и(1, р) = Ао + ~ А„сов и р + Вн в1п и р = — яп р — — вш З~о.
4 4 а=1 Гл.з. Уравнения иатегяатичеснвй физики 168 Следовательно, Ав = О, А„= 0 (и = 1,2,...), 3 1 Вг=-, Вг=О, Вз= — —, В„=Оприп>4. 4' ' 4' Подставляя эти коэффициенты в формулу (10), получаем з и(т, р) = — в1п р — — з4пЗр, 4 4 Зт тз Ответ. и(т, р) = — е4п р — — вшЗр. 4 4 Решить краевую задачу Дирихле длл уравнения УСЛОВИЯ ЗАДАЧ.
Лапласа в круге. 1. Ли=О, 0<т 2. ези = О, О < т 3. ели = О, О < т 4. гяи = О, О < т 5. Ли=О, 0<т 6. Ли=О, 0<<т 7. Ли=О, 0<т 8. Ли=О, 0<т 9.ели=О, 0<т 10. Ли=О, 0<т =3 ез 4 1 — ~ — совр — — я1пр) + ( — ) (ч — созЗр+ — яшЗр 2 12 4 ) 2 (ч2 4 т ттчз 2+ — (4совр — Зяшр)+ ( — ) (сояЗр-~я1пЗр). 2 2 1 т ( — соя р — — я1п р) + тз ( — сов Зр + — я1п Зр (ч4 2 ) 14 2 т ттзз 7+ — ( — 3 соя р + е4п р) + ( — ) соя Зр. 2 2 тт' з — (Зсовр+8я1пр) — ( — ) Зв1пЗр. 3 3 / 1 з т (ч — — соз р + 7 яш р) + тз ( — соя Зр — е4п Зр 2 ) 1,2 т гт1 1 — ( — саяр — — я1пр) -~- ( — ) ( — созЗр+ — вшЗр 31,4 2 ) (3 ~,4 2 7. и(т, р) Ответы.
1. и(т, р) 2. и(т,р) 3. и(т,р) 4. и(т, р) 5. и(т., р) 6. и(т,:р) <2, и~ <2, и~ <1, и( <2, и( <3, и( < 1, и) <3, .и) <4, и) <2, и( <3, и,' 2сояз р — в1п~ р+ вшр. 4сояз р+ 4 вша р+ соя р+ 2. соя р — 2яш р — совр+ вшр. з, з — 4сеяз р+ е4п р+ 7. 12в1п р+ совр — згпр. 2 сова р т 4 я|па р — 2 соя р+ 4 яш р. Зсовз р — 2е4п р — 3 соя р+2яш 4 сова р+ 4 яшз р+ 2 соя р — 3 я1п р.
сояз р+ 3е4пз р — 3 соя р + 2я1пр. 9 сояз р — 4 вшз р — 2 сов р+ 5 вш р. 5.6. Уравнение Лапласа в цилиндре т «тнз 8. и(т,ег) = — (5 сезар) + ( — ) (совзр — япз~р). 4 4 гг«1 3 9, и(г,гг) = — ~ — 2 — сов р+ 4 — япег( + ( — ) (х — сов зр+ — япзсг 21, 4 4 ( 2 (х4 4 т /«19 10. и(т, р) = — ( сов р+ 2япр ) + ( — ) ( гсояз~о+ вгпзр З (х4 ,) (,з) (хз 5.6. Уравнение Лапласа в цилиндре ПостАИОВКА ЗАДАЧИ.
Реши«не краеврю заданр Диритле длл рравнения Лапласа в цилиндре: Ьи = О, 0 < г < то, 0 < е < ео, и, о = то г, 0 < г < то, (2) и(, , = О, (з) 0 < т < то, 0 < г < го, (4) ПДАИ рИШГПИя, Уравнение Лапласа (1) в цилиндрических координатах (т, р, г) имеет вид ди 1ди 1ди ди + — — + — + =О. дгг т дг тг дрг дгг (5) и(г, р, г) = и(г, г), где функция и(т, е) удовлетворяет уравнению (5) с д и/д~рг = 0: дг, 1д, дг, дт' «дг дгг (6) 1. Находим вспомогательные решения и(г, е) уравнения (6) в виде п(т, г) = Л(т)Х(г), причем Л(0) ~ < оо, Л(то) = 0 и Я(ео) = О. Так как граничные значения и(, , функции и ве зависят от ег и коэффициенты уравнения (5) не зависят от р, .решение задачи Дирихле (1) — (4) также ве зависит от р и его можно искать в виде Гл.б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
