Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(7) о Искомое разложение функции у = Дх) в ряд Фурье на интервале Гг, Гг, 2п+ 1 Гг (О, Гг) по системе яп — х, яп 3 — х,..., яп — х,... имеет вид 21'21''21 2п+ 1 Гг Г(х) = ~ Ьн еш — х, 2 и=о (8) где коэффициенты ао, аг,... определяются формулами Эйлера — Фурье: 1'л.д. Ряды Фурье где коэффициенты Ьо, 51,... определяются формулами Эйлера — Фурье: 2п+1я )'(х) я(п ' — х (1х 2 о с 2п+1т 7, я(п — — — х) 1) ܄— с 2п+ 1(г, 2и+ 1(г Я(П вЂ” Х, Я(П вЂ” х) Р, 22п+1л 2 1 ' 2 1 ) ~ яги2 — х(1х 2 о ( 2 Г 2п+1(г = — / Г(х)я(п — хдх, п = 0,1,... (9) 2 1.
Проверяем, что е( )2 о 2. Вычисляем коэффициенты искомого ряда по формулам Эйлера— Фурье (3) — (3')., (5), (7) или (9). 3. Подставляем найденные значения коэффициентов соответственно в (2), (4), (6) или (8) и записываем ответ. Прим(яр 1. Разложить функцию у = х+ 1 в ряд Фурье на интервале (О, 1) по системе 1, соя ях, соя 2лх,..., соя югх,... Рншннин. Искомое разложение функции у = х -(- 1 в ряд Фурье на интервале (О, 1) по системе 1, соя лх, соя 2лх,..., соя г(лх,...
имеет вид (2). 1. Проверяем, что 1 1'(х)2 (1х ( оо. о Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на (О, 1). 2. Вычисляем коэффициенты ао, а(,... по формулам Эйлера— Фурье (3) — (3'). Имеем 1 1 Г 3 ао = — / (х + 1) (1х = —, 2' о 1 2 /' соя пл — 1 2 ( — 1)" — 1 а„= — / (х + 1) соя п(гх (1х — —, l л2 ил 12 и2 о З.о, Рпд Фурье 7(х) на (0,1) по тригонометрической системе 117 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, аг,... в (2). Получаем 3 2к ( — Цп — 1 х+ 1 = — + — гэ сов них.
,22~ 2 п=1 3 2 ( — Цп — 1 Ответ. х+ 1 = — + — ~~», совппх, х Е (0,1). пг п=1 Примни 2. Разложить функцию у = х + 1 в ряд Фурье на интервале (О, Ц по системе сов(ихг12)., сов(ЗпхГ2),..., сов(п + 1/2)их,... Ркшинин. Искомое разложение функции у = х+ 1 в ряд Фурье и, 11 2п+ 1 на интервале (О, Ц по системе сов — х, совЗ вЂ” х,...,сов их,... 2 ' 2 ' ' 2 имеет вид (6). 1. Проверяем, что 1 г( )2 О Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на (О, Ц. 2. Вычисляем коэффициенты ао, аг.....
по формулам Эйлера- Фурье (7). Имеем 2 ! 2п+ 1 а„= — / (х+ Ц сов ихг1х = "-1/ 2 о 8 ~ и 1 1г(п+ Ц ~ (и+ Ц11 ~( цп и=0,1,... 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, аг,... в (6). Получаем 8 ч ( — Ц" (и+ Ци — 1 2п+ 1 х+1= 2~ 2 сов ггх 1г' ~ (и+ Цв 2 п=о 8 ч ( — Цп(п+ Ци — 1 2п+ 1 Ответ.
х+1 = —, ~ сов лх, х Е (О, Ц. ггг (и+ Ц2 2 п=о 1'л. 3. Ряды Фурье 118 1. 1(х) = х + 1 на (О, 1) по ягп нх, яп 2нх,..., ягп инх,... 7Г,, 7Г 271 + 1н 2. Г"(х) = х+ 1 на (О, 1) по яп — х, япЗ вЂ” х,...,яп — х, 2 ' 2 ' ' 2 2 3.
з'(х) = х(1 — х) на (О, 1) по соянх,сов27гх,...,соя инх,... х(1 — х) на (О, 1) по япггх,ягп2нх,...,вгнггкх,... 7Г Я" 2и+ х(1 — х) на (0,1) пасов — х,совЗ вЂ” х,...,сов 2 ' 2 ' ' 2 гг 7г 2и+ х(1 — х) на (О, 1) по яп — х, яп 3 — х,..., яп 2 ' 2 ' ' 2 е на (О,н772) по 1,сов2х,соя4х,...,соя2их,... е* на (О,н772) по яп2х,яп4х,...,яп2их,... 4.
1(х) = 5. 1(х) = 6. Г'(х) = 1 7à — х, 2 1 77 2 7. Г" (х) = 8. 1(х) = 9. 1(х) = е* на (О,.г772) по 1,соях,сояЗх,...,соя(2и+ 1)х,... 10. Д(х) = е* на (О, к(2) по яп х, яп Зх,..., яп (2и+ 1)х,... Ответы. 1. х+ 1 = — ~~ япикх, х Е (0,1). 2 1 — 2(-1)п к и п.= 1 8 ( ( — 1)п 1 1, 2и+1 2. х+1= — ~~7 ~ + ~яп пх, хЕ(0,1).
гг 1к(2и+ 1)з 2и+ 1~ 2 п=о 1+( Цп 3. х(1 — х) = — — — ~ сов инхп х. Е (О, Ц. 6 нз из 4 1 — ( — 1)п 4. х(1 — х) = ~ з Япцггх, х Е (0,1). п=1 8 т ~ 4( — 1)п 1 ~ 271+1 5. х(1 — х) = — 7 СОВ ГГХ, ',я(2и,1)з (2и, 1)з' ,2 хЕ (0,1). ггв Е ~к(2и+1)з (2и+1)'~ 2 х Е (0,1). 2 4 е Гз( 1)п 1 7.
е = — (епуз — 1) + — ~, сов2их, х Е (О,н772). гг и 4иг+ 1 п=1 УС11ОПНН аайац. Разложить функцию у = 1'(х) в ряд Фурье на интервале (О, Г) ио указанной системе. 3.6. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме 119 8 пЯ вЂ” 1)™еп~~ — 1) — — в1п2пх, а Е (О,к/2). и- 4пг м 1 п=2 к-~ ел/212п + 1Н 1)п. — — — — сов(2п.+ 1)х, х Е (О., к/2). к 2 2п' й 2п+ 1 п=в 2 е ~2( — 1)п -~- 2п+ 1 — в1п(2п , 'Цх, х й (О,к/2).
к 2пг+ 2п+ 1 п=о 10. ес 3.6. Тригонометрический ряд Фурье функции Дх) на интервале ( — 1, 1) в комплексной форме План рвшнния. Тригонометрическ м рядом Фурье на интервале (--1,1) в комплексной форме называется ряд тпяд Е- ° с.пе Функции е'и *Д (и = О, х1, х2,...) образуют ортогональный базис в пространстве комплексных функций, заданных в интервале ( — 1,1) со скалярным произведением 1и, и) = / и(х) и(х) дх. Функция 1" принадлежит этому пространству тогда и только тогда, когда (Т", 1) = / ~Дх) дх < оо. При этом искомое разложение функции у = Т (х) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( — 1,1) имеет вид Еьь 2 (х) = ~ ~с„еип (2) и =- — ьь Постановка злдлчи.
Разложить функцию у = Дх) в тригонометрический ряд Фурье. на интервале ( — 1,1) в ком лексной форме. 1'л.д. Ряды Фурье 120 где коэффициенты се, сс, с с, сг, с г,... определяются по формулам Эйлера-Фурье: С (х)е — с™ее/с сСх (С е ьех/ с) с„= ( аисяС! Ыеед) Сень *~ ~ с1х 1 21 1(х)е '" Яцс1х. (3) -с Очевидно, что се — среднее значение 1 на интервале ( — 1,1). Если 1(х) принимает вещественные значения, то с „= с„'.
1. Проверяем, что ~((, )~г,~ — с 2. Вычисляем коэффициенты с„по формулам Эйлера — Фурье (3). 3. Подставляем найденные значения коэффициентов с„в (2) и записываем ответ. Замечания. 1. Если Д(х) ограничена на ( — 1, 1), то условие (1) выполняется.
Это условие выполняется и для некоторых неограниченных функций. 2. Если с'(х) = Д вЂ” х) при х ~ ( — 1,1), то с„веществснныс числа. 3. Если г(х) = 1"( — х) при х ~ ( — 1,1), то с„— чисто мнимые числа. 4. При вычислении интегралов (3) иногда полезны методы, изложенные в разделе 1.17 (с. 60). 5. Если г" (х) многочлсн относительно есле*'с, т.е. то коэффициенты ряда Фурье Дх) определяются формулами: сь = .уь при ь = О, х1,..., хп и сь = О, Ьь = 0 при всех (1' ) сс.
Примгр, Разложить функцию у = х+ 1 в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( — 2, 2) в комплексной форме. З.б. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме 121 РЕШЕНИЕ. 1. Проверяем, что 2 ~у( )~2 — 2 сохо — /(х+1)дх=1, сппх — /(х+1)е *"* дх=- 1 1 Т,„,~2 21(-1)п l 4,/ ик 3. Подставляем найденные значения коэффициентов св., сы с ы... в (2). Получаем +1 1+ ~ ( ) епхх/2 пи ( хо) 21 (-1)п Ответ. х+ 1 = 1+ — ~ е'и х72, х Е ( — 2,2). к и но) УСЛОВИЯ ЗАДАЧ.
Разложить функцию у = 1(х) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( — 1,1) в комплексной форме. 1. 1(х) = 2х — 3 на ( — 1, 1). 2. ф(х) = х — 1 на ( — 1/2, 1/2). 3. ф(х) = х2 на ( — 1,Ц. 4. ф(х) = е' на ( — 1,1). 5. ф(х) = ~х + х на ( — 2,2). 6. ф(х) = 0 при — 2 < х < 0 и ф(х) = 1 при 0 < х < 2.
7. 1(х) = 2 при — 3 < х < 0 и 1(х) = х при 0 < х < 3. 8. 1(х) = — х при — 1 < т < 0 и ф(х) = х+1 при 0 < х < 1. 9. ф(х) = ч'3/(2+сов 2х) на ( — к/2, к/2). 10. ф(х) = — 1п(2~ сйпЗх~) на ( — к/3, к/3). Ответы. 11п Е( Епхх хй( 1 1) п 21 1. 2х — 3 = — 3+— к ( Цп ег2ппх х с ( 1!2 172) 1 2,х — 1= — 1+ 2к ( хо) Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на ( — 2,2). 2.
Вычисляем коэффициенты сп по формулам Эйлера — Фурье (3). Имеем 1'л.у. Ряды Фурье 122 3 тг~ ~ — ~ п~ вьг -~-сю 4. е =вЬ1 лт — — е ', х Е ( — 1,1). л % ~ ( 1) тьль 1 — тптг ~х +х = 1+ — ~~~,— + т( — 1)"~ е'" *т, х Е ( — 2,2). 2 (( — 1)" — 1 г ~ тгпв г льт ц(х) = + — ~~~ е'"~~т", х Е ( — 2,2). 1 т ( — 1)ь — 1; в 2 2к и г о) 3 — хтт( — х) -> (х + 1)ц(х) = 1 + ~ , + '„( — 1)" — 1)е'"", т,тггпв 2кп/ " г льт хе( — 1,1).
ь' 3 кт ( 1) таьв — — — — — сталь, х Е ( — тг/2, к,т2). 2+ сов т "- (2+ у'3)~"~ -~-ьь 10. — 1п(2~вш3х~) = — ~ — е* "', х е ( — кт'З,кт3) 2 (и! г лог 3.7. Ряд сРурье функции ~(х) на интервале (а, Ь) по заданной ортогональной системе Постлновкл злдлчи. Разложитггь функцито у = Дх) в ряд Фтурье но, интервале (а, б) по ортогональной системе функций уто(х), Фт(х),, Рв(х), 3.7. Рлд Фурье фунниии 2'(х) на (а,ь) но ортогональной системе 123 План рншннин.
Система функций ьео(х), сог(х), со2(х),... образует ортогональный базис в пространстве функций, заданных в интервале (а, Ь), со скалярным произведением ь (и, и) = ~ и(х) и(х) ах. Функция 7" принадлежит этому пространству тогда и только тогда, когда ь (7', 7") = ~ 7" (х) Йх < со. где коэффициенты ае, ад, аз,... определяются по формулам Эйлера— Фурье: гь / 2 (х) Ьо„(х) дх а Х~ Ьон) Я и / ( )зле а (2) 1.
Проверяем, что 7"(х)2 с1х < со. 2. Вычисляем коэффициенты искомого ряда по формулам Эйлера— Фурье (2). 3. Подставляем найденные значения коэффициентов в (1) и записываем ответ. Примнр 1. Разложить функцию у = агссов х + 1 в ряд Фурье на интервале ( — 1, 1) по системе многочленов Чебышева. Рншнциг.. Многочлены Чебышева определяются формулой Т„,(х) = соз(иагссовх), п = 0,1,2,... (3) При этом искомое разложение функции у = Д(х) в ряд Фурье на интервале (аь Ь) по системе Ьое(х), Ьоь(х), О22(х),...
имеет вид 1'л.д. Ряды Фурье 124 Они образуют ортогональный базис в пространстве функций, задан- ных в интервале ( — 1, Ц, со скалярным произведением ! 1 (и, и) = / и(х) и(х) — — Нх. '1 хг — ! Искомое разложение функции у = ахссоах + 1 в ряд Фурье на интервале ( — 1, 1) по системе Те(х), Тг(х), Тэ(х),...
имеет вид ахссовх+1 = ~~! а„Т„(х), х е ( — 1,1), и=О где коэффициенты ае, аг, ам... определяются по формулам Эйлера— Фурье Г 1 / (агссозх+ 1) Т„(х) Нх (ахссоа х + 1, Т„(х)) Л:. а (5) (Т„,(х), Т„(х)) Т„(х) Нх г1 х2 1. Проверяем, что (агссоах + 1) Нх ( оо. — ! Неравенство справедливо, поскольку функция у = атосов х + 1 ограничена на ( — 1,1). 2. Вычисляем коэффициенты ае,аг,аз,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
