Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 19
Текст из файла (страница 19)
уравнение (4) приводится к каноническому виду 10 И 5 1 (ц — 5)' 112 112 в 112 112 )ч 10 / Ответ. Уравнение (4) является уравнением гиперболического типа во всей плоскости Х01' и имеет канонический вид 10 И 5 1 (ч — 51 112 ~ 112 ' 112 112 )ч 10 ) где 5 = у — Зх и 9 = р + 7х. е.Е Тнп н канонический внд уравнения 155 ПРИМЕР 2. Определить тип уравнения (6) и, — 2и,„+ и„„+ и — ин -ь и = ху и привести его к каноническому виду. РЕШЕНИЕ. 1.
ОпРеДелЯем козффиЦиенты УРавнениЯ аы, аш и агг. Имеем аы — — 1, агг = --1, агг = 1. 2. Вычисляем выражение агг — а11а22 = 1 — 1 = О. 2 3. Поскольку аг — аыагг = О при всех х, у, уравнение (6) является уравнением параболического типа во всей плоскости Х01с. 4. Находим общие интегралы уравнения характеристик: (ду) + 2 с~ус~х + (дх)2 = О. (7) Решая это уравнение относительно ду, получаем дд = — дх.
Следовательно, уравнение характеристик (7) имеет единственный интеграл Ьг(х.,у) = у+ х. 5. В уравнении (6) делаем замену переменных: х, у ~ й = 62(х, д) = д+ х, и = у. (В качестве у можно было бы взять и любую другую дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через 62(х, у) = у + х.) При этом по правилу дифференцирования сложной функции: и„Š— Э ие, ин Š— 2 ие + ин, и н е — 2 ийй, и„„е — Э ияя + иян, и„„е — 2 ияя + 2ия„+ ив„г В результате замены переменных уравнение (6) принимает вид ияя — 2ияе — 2ийн + ийе + 2иян + и + ия — ие — ив+ и = (с — у)у, т.е. уравнение (6) приводится к каноническому виду и„„= и„— и+ (й — фуг Ответ. Уравнение (6) является уравнением параболического типа во всей плоскости ХО1Я и имеет канонический вид инл = ин — и + (6 — О)У, где й = у + х и у = д.
Гл.5. Уравнения математической физики ПРИМЕР 3. Определить тип уравнения и + 2а „+ 2и„„+ би + био — Зи = х — , 'у г (8) и привести его к каноническому виду. РЕШЕИИЕ, 1. Определяем коэффициенты уравнения аы, агг и агг. Имеем ам=1, 2. Вычисляем выражение агг = 1, агг = 2. агг — аыагг = 1 — 2 = — 1 < О.
г (в1у)г — 2 с~ус~х + 2(в1х)~ = О Решая это уравнение относительно ау,получаем (9) ду = (1 + г) Нх и ду = (1 — г) Ых. Следовательно, уравнение характеристик (9) имеет два комплексных интеграла: 1г(х, у) = у †.х — Зх и 1г(х у) = у — х + гх. Положим 6г (х, у) = Не гг (х, у) = у — х и 6г(х, у) = 1ш фг (х, у) = х. (В качестве 6г и 6г можно было бы взять Кс уг(х, у) и 1ш з г(х~ у) ) 5. В уравнении (8) делаем замену переменных: х,у~ — — ~~=6г(х,у)=у — х, у=х. При этом по правилу дифференцирования сложной функции и, е — ~ — и4+иш иве — ~и4, и, в — о и44 — 2и4о + и„„, ияя е — ~ и44 + и4о, и„„е — ~ и44. В результате замены переменных уравнение (8) принимает вид и44 — 2и4 +и „+2иц+2ийо+2и44+6( — и4+ио)+би4 — Зи = г1+(~+у)~, т.е.
уравнение (8) приводится к каноническому виду ид + и „= — 2ич + и+ г1+ (С + у) . 3. Поскольку а~~э — ам агг < О при всех х, у, уравнение (8) является уравнением эллиптического типа во всей плоскости ХОУ. 4. Находим общие интегралы уравнения характеристик: 5.1. Тнп н канонический внд уравнения 157 Ответ. Уравнение (8) является уравнением эллиптического типа во всей плоскости ХОУ и имеет канонический вид ией + и„„= — 2ич + и + ц + (с + и), где С = у — х и ц = х.
Условия зада и Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду. 1.ися + 2и „ - Зи„ + 2и, + 7и„ - Зи = О. 2. 4и, — 8и,„+ и, — 2и, + 2иц — Зи = О. 3. 8и„— би,„— и „вЂ” и, — Зи„— и = О. 4. 脄— 2и „+ иву Зия + 2иь — 5и = О. 5. 2и, + 8и,„+ Зия„— и, — 2ия — 5и = О. 7. и, — 4и о+4и„„+4и, — 9ио — Зи=б. 8.
2и „+6и.„+8и„„+и +5и — 2и=О. 9. Зи, — 8ия + 7в„о+За, — и, +2и.=О. 10. Зи„+ 8и,„+ би„„+ Зи, + ио — 2и = О. Ответы. 1. Уравнение гиперболического типа во всей плоскости ХОУ, ийц — — (Зи — ий — 9ио)/16, б = У вЂ” Зх, Ц = У+ х. 2. Уравнение гиперболического типа во всей плоскости ХОУ, исч —— ( — Зи + ъ'Зий — чсЗич) (12, ~ = у+ (1 — ч 3/2) х, О = у + (1+ ч'3/2)х. 3. Уравнение гиперболического типа во всей плоскости ХОУ, ис„ = ~ — 8и — (27 — ъ~17)ис — (27 + Я7)ио~)/68, ~ = у+ (3/8 — Л7/8)х, ц = у+ (3/8+ ъ~Г7/8)х. 4. Уравнение параболического типа во всей плоскости ХО1, и„ = 5и + ий — 2и„, С = у + х, О = у. 5.
Уравнение параболического типа во всей плоскости ХОУ, и„„ = (5и + 2ио)(8, й = у — 2х, и = у. 6. Уравнение параболического типа во всей плоскости ХОУ, и „ = (7и — 9ий + Зио)(9, б = у + Зх, и = у. 7. Уравнение параболического типа во всей плоскости ХОУ, и ч = (Зи + ие + 9ич)/4, ~ = у + 2х, ц = у. 8. Уравнение эллиптического типа во всей плоскости ХОУ, ийй + и„„ = (4и — 7ис — ч77и )(7, б = у — Зх/2, ц = т77х/2. Гл.5.
Уравнения лателатнчееноа физини 158 9. Уравнение эллиптического типа во всей плоскости ХО1, и44 + иоо — †( — би — 9и4 — 3чГ5и )(5, 5 = У + 4х/3, 9 = ъ'5х(3. 10. Уравнение эллиптического типа во всей плоскости ХО1е, ад+ и„„= (би+ 9и4 — Зъ'2ио)/2, 5 = у — 4х/3, 9 = ъ'2х/3. 5.2. Общее решение гиперболического уравнения Постяновкя эАЛАчи. Найти абиеее решение еинерболическоео уравнения и„я + 2Ьи„+ (Ьз — а )иш = О.
(1) ПЛАН РЕШЕНИЯ 1. Приводим уравнение (1) к каноническому виду. Получаем (2) где С = у — (Ь + а)х, 9 = у — (Ь вЂ” а)х (задача 5.1). 2. Интегрируя уравнение (2) по 21,получаем (3) и4 = Со(с). Интегрируя уравнение (3) по е, получаем и(с 'Ц) = / Со(о) ас ч С2(н) = С1(с) + С2(н) Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид (4) и(С, 9) = Се(С) + Сз(9), где С1 (С) и С2(9) — произвольные дважды дифференцируемые функции.
3. Подставляя в (4) С = у — (Ь + а)х и 9 = у — (д — а)х, получаем общее решение уравнения (1): и(х, у) = С1(у — (Ь+ а)х) + С2(у — (Ь вЂ” а)х). Делаем проверку и записываем ответ. Пример. Найти общее решение гиперболического уравнения иея+4и „вЂ” 5и„н = О. (5) 5.3. Общее решение параболического уравнения Ришвнив. 1. Приводим уравнение (5) к каноническому виду. Получаем ияп = О, (6) где с = у — 5х, ц = у х х. 2. Интегрируя уравнение (6) по и, получаем , = Со(б).
(7) и(х, у) = С1(у — 5х) + Са(у+ х). Делаем проверку, подставляя а(х, у) в уравнение (5). Ответ. Общее решение уравнения (5) имеет вид и(х, у) = С1(у — 5х) + Са(у+ х). решение гиперболического урао- Условия задач. Найти общее нения. 1.
и,+2и „вЂ” 5и„„=О. 3, и,+4и, +Зи„„=О. 5, и, -~ Ои,„+ 5и„„= О. 7. и„я + 4иеу — 21и„= О. 9. и, — 2и,.„— 24и„„= О. Ответы. 1, и = С1 (у — 5х) + Са(у + Зх). 3, и = Са(у — Зх) + Се(у — х). 5. а = Се(у -5х) + Са(д - х). 7. и = Се(д — 7х)+Се(у+Зх). 9. и = С1(у — 4х)+Са(д+6х). — 2и,„— Зи,„= О. — 4и„— 12иу„= О. — би,„+ 8и„„= О. — 4и „вЂ” 32и„„= О. +2и,у — 8и„, =О. 2. иа 4. и., 6. иее 8. и „ 10. и, 2.
и = С1 (у — х) + Са (у + Зх). 4. и = С1(у — 2х)+Се(у+6х). 6. и = С1(д б 2х) + Се(у+4х). 8. и = С1(д — 4х)+Се(у+8х). 10. и = С|(у — 4х)+Са(у+2х). 5.3. Общее решение параболического уравнения Постановка задачи. Найти общее решение параболического уравнения и„ + 2Ьи у л Ь иоу + аие — аЬиу — — О. (1) Интегрируя уравнение (7) по с, получаем и(~,0) = / Со(5) й~+ Са(0) ==' С1®+ Сг(д). (8) 3. Подставляя в (8) б = у — 5х и и = у+а, получаем общее решение уравнения (5) Рл.5. Уравнен я математической физики 160 ПЛАН РЕШЕНИЯ. 1. Приводим уравнение (Ц к каноническому виду.
Получаем Ь~и „+ аЬич — — О, (2) где С = у — Ьх, О = у (задача 5 1). 2. Чтобы найти общее решение уравнения (2), составляем соответствующее характеристическое уравнение 5~к~ + оЬЬ = О и находим его корни 13 = О и 1з = — а/Ь. Следовательно, общее решение уравнения (2) можно записать в ви е д и(с, О) = С1 (5) + Са ®е (3) где Ся ® и Сз ® — произвольные дважды дифференцируемые функции. 3. Подставляя в (3) 5 = у — Ьх и и = у, получаем общее решение уравнения (1): и(х, у) = С1(у — Ьх) + Сз(у — Ьх) е Делаем проверку и записываем ответ. Пример. Найти общее решение параболического уравнения и, — 2и,„+脄— и +ил=О. (4) РЕШЕНИЕ.
1. Приводим уравнение (4) к каноническому виду. Получаем ичо + ин: О~ (5) где С = у — х, и = у. 2. Чтобы найти общее решение уравнения (5), составляем соответствующее характеристическое уравнение яз + А' = О и находим его корни Ьа = О и 1з = — 1. Следовательно, общее решение уравнения (5) можно записать в виде и(5, и) = Са(5) + Сз(с)е (6) где С1 ® и Сз(5) — произвольные дважды дифференцируемые функции. 3.
Подставляя в (6) 5 = у — х и и = у, получаем общее решение уравнения (4): и(х, у) = С1(у — х) + Сз(у — х)е Делаем проверку, подставляя и(х, у) в уравнение (4). Ответ. Общее решение уравнения (4) имеет вид и(х, у) = С1 (у — х) + Сз(у — х)е 5.4. Общее решение эяянптнчеснего уравнения 161 УСЛОВИЯ ЗАДАЧ.
Найти общее решение параболического уравненияя. 1, и„.+4и у+4иуу+и. — 2иу = О. 2. и. — 4и.,у+4ирр+и,+2иу = О. 3. ия + бину +9иру +2ии 6ир: О. 4. и,„- 6ияр + 9иуу + 2ии — 6иу — — О. 5. и,+2и,у+иву — и,+2и = О. 6. и,ф8и,,у+16иуу+Зи,— 12иу — — О. 7, и„— 8и,у+16иуу — и,+4иу = О. 8. и„+2и у+иву+5и,— 5иу = О. 9. и,„— 2и у+и,, — Зии+Зи = О.
10. ин — 4и,„у+4иу, +2и,— 4иу = О. 5.4. Общее решение эллиптического уравнения Постяновкя ЗАЛАчи. Найти общее решение эяяиптаичесного уравнения ис, + 25и„у + (5~ + аз)и,р — — О. (1) ПЛАН РКШГНИЯ 1. Приводим уравнение (1) к каноническому виду. Полу. чаем (2) ие1 + и„„ = О,. где С = у — Ьх, » = ах (задача 5.1). 2. Уравнение (2) означает, что и(С, и) является вещественной (нлн мнимой) частью аналитической функции Д( +»>).
Поэтому и(х,у) = Ее>'(у — Ьх+ ах>). ПРИМВР. Найти общее решение эллиптического уравнения и„, + 4и,у + 5иур — — О. (3) 11 Вбк Афанасьев и др. Ответы. 1. и = С>(у 2. и = С>(у 3, и=С>(у 4. и = С>(у 5. и = С> (у 6. и = С>(у 7. и = С>(у 8. и = С>(у 9. и = С>(у 10. и = С>(у — 2х)+ Сз(У вЂ” 2х)е ", 2х) + Сэ(У вЂ” 2х)е Зх)+Сэ(У вЂ” зх)е 'У>э +Зх)+ Сз(у+ Зх)е'у '. х) + Сг(>у — х) е". — 4х) -~ Сз(у 4х)е +4х)+С,(у+4х)е уу )+С,(у —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
