Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Р(р) = е Р П~~~ Ьь/2 Пример 2. Найти комплексное преобразование Фурье функции у(х) = используя формулу 1 ь ~/ — е 1"'. хз+1 ~(2 Решение. Представив функцию 1(х) в виде 1 1(х) = х. х + используем свойство 6 при в = 1. Получаем х 1 И л 1 ь — ь — — )/ — е ~р~ = — — ~/ — в!Еп(р) е х2+1 г ь1р)/2 1 ~~2 Ответ. Р(р) = 1 — в13п(р) е 'у 2 Пример 3. Найти комплексное преобразование Фурье функции 1 хз+ 2х + 2' используя формулу 1 Ял ь — Ь ~/ — е хз+1 у' 2 Решение.
Представив функцию ~(х) в виде 1 з(*) (,+1)2 используем свойство 4 при с = 1. Получаем 1 ГЬ е '".Ге 'р~. хз+ 2х+2 1 2 Ответ. х'(р) = ° — е ~Р~ "' 'у 2 4.4. Комплексное преобразование функции 2 аьх"'"ть(Ььх+ сь) 145 ь — 1 Примну 4. Найти комплексное преобразование Фурье функции У(х) = .",",',, используя формулу 1 е — ь ~/ — е хг+1 1/2 РВШВНИВ. По формуле Эйлера 1 в1пх = — (е™ вЂ” е "). 21 Представив функцию 1(х) в виде вх 1 1 — их ф(х) = — е'х — —,е 21 хг + 1 21 хг + 1' используем свойство 5.
Получаем в1пх 1 „1 1, 1 = — Ез' Š— зх. хг+ 1 22 хг+ 1 22 хг+ 1 21 '11 2 24 '11 2 Ответ. с'(р) = —, ~/ — (е ~р' ц — е ~р ~~). 1 к à — -1 22 '1' 2 Усзговия задач. Найти комплексное преобразование Фурье ) функции ф(х), используя формулу хг+1 у 2 „~ е-. х — 1 4хг — 8х + 5 хг + 1 хг + 2х + 2 2х 2хг 7. ф(х) = . 8. 1(х) = (хг+1)' ' ' ' ("+1Н" +4)' 2хф 1 (хг+ 2х+ 2)(хг + 1) 2 10. 1(х)— (хг + 4х + 5) (4хг — 8т -~- 5) 1О В.И. Афанасьев и др.
Гл.4. Преобразование Фурье 2. Е(р) = — ° — е ~РП~+'Р. 2т'2 4. Е(р) = — ° — е18п(р) е ~Р~~~+'Р 4у'2 4.5. Восстановление функции по ее преобразованию Фурье ПОСтАЫОВКА ЗАДАЧИ. Найпьи Функпик 7(х), преобразование Фурье (синус-, косинус-, колпилексное) которой есть т'(р). ПЛАН РЕШЕНИЯ. Если Г(р) — синус-преобразование Фурье функции 7'(х) и выполняется условие ~е'(р) ~'йр ( о то (2) Если Г(р) косинус-преобразование Фурье функции ((х) и выполняется условие (1), то (3) Ответы. 1 Г(р) = 3.
Г(р) = 5. Г(р) = б. Г(р) = 7. Г(р) = О. Г(р) = 10. Г(р) = — ° ~ — е з~Ф 21'2 1 ° — е18п(р) е '1' 2 — — (е ~р~ ~+е ~р ~). 21'2 1 к — — [е ~Р' ~ ИР'ь ~ — е ~Р ~ ЦР 21 2 $. Ере-~р~. 8. Г(р) = — ° — (2е еР~ — е ~Р~). 'у' 2 3'у' 2 — (е ~р~ — е ~р~ 'р) . 2 1 к [2 — (Р) — 2ьР— ~Р,'/2-ьюР] 6 2 Г2 7(х) = ь/ — / Р(р) соерх ир (х ) О). о 4.5. Восстановление функции по ее преобразованию Фурье 147 Если Р(р) комплексное преобразование Фурье функции 1'(х) и выполняется условие ИЕ( )~г ~ < (4) то 1 Р 1(х) = . К(р)е гор ( — оо < х < со).
(5) ъ'2к о 1. Проверяем, что выполняется условие (1) или (4). 2. Вычисляем интеграл в правой части (2), (3) или (5) и записываем ответ. Замечания. 1. Используя свойства преобразования Фурье, можно упростить вычисление интегралов (2), (3) и (5) или даже свести их к табличным. 2. Если интегралы (2), (3) и (5) вычислить не удается, то можно использовать таблицу преобразований Фурье и их свойства. Примни 1. Найти функцию 1(х), синус-преобразование Фурье которой есть РЕШЕНИЕ. 1.
Проверяем, что выполняется условие (Ц: ьь 1 ~Г(р) ~г гор = ~ г1р = 1 < оо. о о 2. Вычисляя интеграл в правой части (2), получаем: ьь 1 Г2 Р Г2 Р 12 1 — совх 7(х) = 1( — / Е(р) япрх г1р = 1/ — / яп рх Йр = ~/— .г х Ж 1 — сов х Ответ. ф(х) = )/— Пример 2. Найти функцию Д(х), косинус-преобразование Фурье которой есть Гл.4. Преобразование Фурье 148 РЕШЕНИЕ.
1. Проверяем, что выполняется условие (Ц: СЮ 1 о о 2. Вычисляя интеграл в правой части (3), получаем: Г2 Г2 Г Г2 вйпх у(х) = ь/ — / Р(р) сов рх др = 1/ — / сов рх Йр = 1(— Г2 выл х Ответ. у(х) = ь(— ПРИМЕР 3. Найти функцию Д(х), комплексное преобразование Фурье которой есть О<р<1, О, 1« РЕШР.НИЕ. 1. Проверяем, что выполняется условие (4): -~-ьо 1 ~Р(р) ~2 др = / 11р = 1 < оо. 2. Вычисляя интеграл в правой части (5), получаем: 1(х) = / г(р)е "'*е1р = - / е "' 11р =— у'2 я у'2я ,/2,г гх 1 е — ьь г'(р) = — гр 1п 1+ г рг 1 Ответ.
1(х) = Л ПРимеР 4. Найти Фурье которой есть функцию у(х), комплексное преобразование 4.5. Восстановление функции по ее преобразованию Фурье 149 РЕШЕНИЕ. 1. Проверяем, что выполняется условие (4): 2 с 2 1 сь = 2 ~ р 1п — — а1р+ 2 1 Р 1п — — 11р. 2 2Р +1 2 2Р +1 Р2 / „12 г гр+1 г р 1п =р 1п (1+ — ) Рг р'~ р' 2. По формуле (5) имеем ф(х) = 1' Р(р)е "' 11Р = 1' ( — гр) 1п1 е "'а 11р. ъ'2н у ;/2а у Р' с1тобы упростить вычисления, заметим, что можно сначала опустить множитель 1Р, найти .1 ж 21(х) = 1п — е '"~ сгр 2- l (6) и затем получить 7(х) по формуле с1 Р(х) = — 71(х). (7) Интеграл в (6) вычисляется интегрированием по частям с последующим применением теоремы Коши о вычетах. Получаем 1 — е г"1(х) = ъ'2я (х) По формуле (7) получаем Дх) = ъс2к ' 21яп(х).
е 'з~(/х!+1) — 1 е ~а~(!х/+ 1) — 1 Ответ. 7" (х) = у'2~г в1яп(х). о 1 Здесь первый интеграл сходится, так как подынтегральная функция ограничена (!ппр. ар 1п[(р +1)/рг) = 0). Второй интеграл сходится, так как Глава 5 'УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИ'ЧЕСКОЙ ФИЗИКИ При изучении темы УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ вы научитесь решать основные задачи для уравнений электростатики, электродинамики,теплопроводности и механики сплошных сред. Эти уравнения называются уравнениями Лапласа, Пуассона, волновым уравнением, или уравнением колебаний, и уравнением теплопроводности.
Все эти уравнения являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Вы научитесь находить общие решения и других дифференциальных уравнений в частных производных, пока не нашедших практических применений. Отбор задач для этой главы и выбор методов их решения осуществлен таким образом, чтобы любая типовая задача для уравнений математической физике либо легко сводилась к вошедшим в данную главу, либо могла быть решена одним из представленных методов. Исключение составляют задачи Коши для волнового уравнения и уравнения геплопроводности на плоскости и в пространстве.
Их целесообразно решать с помощью интегральных преобразований Фурье или Лапласа, При решении задач, содержащих дифференциальные уравнения в частных производных, обычно приходится делать сложные замены переменных, вычислять интегралы, находить суммы рядов и строить графики этих сумм. Эти действия отвлекают внимание от сути изучаемого метода и тем самым сильно затрудняют его понимание. Пакет РЕШЕБНИК.ВМ поможет вам легко и быстро выполнить все необходимые действия и сосредоточить внимание на главном, таким образом существенно облегчив изучение методов решения задач. Когда вы изучите уравнения математической физики, пакет РЕШЕБНИК.ВМ даст вам возможность решать их простым нажатием нескольких кнопок на клавиатуре компьютера, используя возможности модуля ЯТЕМ Р1пя, входящего в пакет РЕШЕБНИК.ВМ.
Гя. 5. Уравнения математической физики 152 5.1. Тии и канонический вид уравнения ПоотАИОвкА ЗАдлчи. Определить тип уравнения а1ц(х, у)и,, + 2а,з(х, у)и„ц + азз(х, у)ицц + + а(х, у)и + 6(х, у)иц + с(х, у)и = ф(х, у) (Ц и привести его к каноническому виду. ПЛАН РЕШЕНИЯ. Тип уравнения (Ц определяется знаком выражения а,з — аыазэ. 2 если азы — а|1азз ) 0 в некотоРой точке, то УРавнение (Ц называется уравнением гиперболического типа в этой точке; если аы — ам а з < 0 в некоторой точке, то уравнение (Ц называ- 2 ется уравнением эллиптического типа в этой точке: если ащ — амаза = 0 в некоторой точке, то уравнение (Ц называз ется уравнением параболического типа в этой точке.
Замечание. Уравнение (Ц может менять свой тип при переходе из одной точки в другую. Например, уравнение уи, + ицц = 0 является уравнением эллиптического типа в точках (х,у), у > О, параболического типа в точках (х,О) и гиперболического типа в точках (х., у), у < О. Действительно, аы — амазэ = у и азз — аыазз ) 0 при 2 3 у > О, ащ — аыааз = 0 при у = 0 и ащ — аыаза < 0 при у < О. 2 2 Чтобы привести уравнение (Ц к каноническому виду, нужно сделать в нем замену переменных: (2) х,у ц ~ = 6з(х,у), и = 62(х.,у), где ° в случае уравнения гиперболического типа 6ц(х,у)и 6з(х,у)— независимые общие интегралы уравнения характеристик аы(х, у)(с1у)~ — 2аы(х,у) дус1х+ азц(х, у)(дх)~ = 0:, (3) ° в случае уравнения параболического типа 61(х, у) — общий интеграл уравнения характеристик (3) и 62(х, у) — произвольная дважды дифференпируемая функция, не выражающаяся через у): ° в случае уравнения эллиптического типа 61(х,у) и 6ц(х, у)— вещественная и мнимая части любого из двух общих интегралов уравнения характеристик (3).
5.1. Тин и канонический вид уравнения 153 1. ОпРеДелЯем коэффиЦиенты УРавнениЯ аы, адг и агг. 2. Вычисляем выражение г а,г — аыагг и определяем области его знакоопределенности. 3. Делаем вывод о типе уравнения (1). 4. Находим общие интегралы уравнения характеристик (3). 5. В уравнении (1) делаем замену переменных (2). При этом по правилу дифференцирования сложной функции и, ~ — Ч ийся + и 21„ир в — Р иййр + ичг1р, 2 2 ихв "— Р и441~ + 2ийч6% + ирвЧ, + и41„+ ичг1„, ияр "— р иЯ4Ыр + иео(чр чу 4 чу%) + иву%ар + ийчер + ич%р ир, ~ — р иеййр + 2ийв~рг1р + иввг1„+ иейрр, ичЧрр. 2 2 + В результате замены переменных уравнение (1) примет один из трех канонических видов: ° в случае уравнения гиперболического типа ийв — — гг (С, П, и, ий, ич); ° в случае уравнения параболического типа ивв = Рг(й;21.,и,ий.,ив); ° в случае уравнения эллиптического типа ийй+ и„„= Гз(бп,и,ий, и.„).
Записываем ответ. Пгимег 1. Определить тип уравнения и .— 4и р — 21и,р+2и„— 3и, +5и=х 2 (4) и привести его к каноническому виду. РЕН1ЕНИЕ. 1. ОпРеДелЯем коэффициенты УРавнениЯ аы, агг и агг. Имеем аы = 1, агг = — 2, агг = — 21.
2. Вычисляем выражение а~22 — аыагг = 4 + 21 = 25 ) О. Гл. 5. Уравнения матаематичеекой физики 154 3. ПосколькУ аз — ам азз > 0 пРи всех х, У, УРавнение (4) ЯвлЯетсЯ уравнением гиперболического типа во всей плоскости ХОР. 4. Находим общие интегралы уравнения характеристик: (4„)г+ 4<Ц94т — 21(4х)' = 0 (5) Решая это уравнение относительно в1у,получаем в1у = Здх и 4у = — 7дх. Следовательно, уравнение характеристик (5) имеет два интеграла: 51(х, у) = у — Зх и йз(х,у) = у+ 7х. 5.
В уравнении (4) делаем замену псремснныьо х., у е — ~ с = 61(х, у) = у — Зх, и = Пз(х, у) = д -~ 7х. При этом по правилу дифференцирования сложной функции ия е — ~ — Зил+7ив, ии е — ) истин, и я е — + 9и44 — 54и4в + 49и „, и„„ь — в — Зим — 54и4я + 49и„, иив ~ — -~ и44+ 2и4ч+ и В результате замены переменных уравнение (4) принимает вид 9иеб — 54и + 49и + 12и~4 — 16и4в — 28ивв — 21ие4— — 42и4 — 21и --бил+14и — Зи4 — Зи +5и, = ~ — — ) Гц — 5'1' ч чв (, 10,) ' т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
