Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 16
Текст из файла (страница 16)
по формулам Эйлера— Фурье (5). Интегралы 1 (агссое т + 1) 7'„(х) --- — — дх г -! вычисляем, делая замену переменной х = сов д, затем используем фор- 3.7. Рлд Фурье груннаии 7Я на Га,б) по ортогональной системе 125 мулу (3) и интегрируем по частям. Получаем 1 е 1 2 (агссоях+ 1)То(х) с~х = / (д+ 1) г1д = — +н, 7)- . 2 — 1 о 1 ( — 1)" — 1 (агссовх+ 1)Ти(х) — — — г1х = 1 (д+ 1) совпдг1д =— ,т:з по — 1 о п=1,2,...
Вычисляем интегралы 1 л Т„(х) г1х = ~сов пдй9. игà — хз — 1 о При п = О 1 Тг(х) гЕх = -г. уТ вЂ” хо — 1 При и = 1, 2, 1 Т„(х) 11х = —. иг1 г 2 Подставляя вычисленные интегралы в (5), получаем н+2 2 ( — 1)н — 1 ао= о. =— п=1,2, 2 ' гг из 3. Подставлнем найденные значениЯ коэффициентов ао, аг, аз,... в (4). Получаем атосов х+ 1 = Š— ~ Т 'гх). и+2 2 ( — 1)" — 1 2 гг п2 и=-1 Ответ. агссовх+ 1 = + — ~~ Т„(х), х Е ( — 1,1).
гг+ 2 2 ( — 1)" — 1 2 н и н=1 1'л. 3. Ряды Фурье 126 П1'ИМЕР 2. Разложить функцию у = хз в ряд Фурье на интервале ( — 1, 1) по системе многочленов Лежандра. Решение. Многочлены Лежандра определяются формулой Р ( ) ( 2 1)п 1 д" (6) Они образуют ортогональный базис в пространстве функций, задан- ных в интервале ( — 1, 1), со скалярным произведением 1 (и,е) = / и(х) г(х) дх. — 1 Искомое разложение функции у = хз в ряд Фурье на интервале ( — 1, 1) по системе Рд(х), Р,(х), Рз(х),... имеет вид (7) х = ~ апРп(х), х с ( — 1,1), п=о где коэффициенты ае, а1, аз,...
определяются по формулам Эйлера— Фурье: (8) а (Р„( ),Р„( )) / Рп(х) — 1 1. Проверяем, что 1 х дх(со. — 1 Неравенство справедливо, поскольку функция у = хз ограничена на ( — 1, 1). 2. Вычисляем коэффициенты ае, а1, аз,... по формулам Эйлера— Фурье (8). Вычисляем интегралы 1 х Рп(х) еЬ, — 1 3.7. Рлд Фурье с)Суннпии 1'(х) на (а,Ь) ио ортогональной системе 127 пользуясь формулой (б) и интегрируя по частям. Получаем 1 1 хзРо(х)дх= /'хздх=О, 1 1 1 з з ас 3/', 2 х Р1(х) дх = — / х — (х — Ц с1х = — — / х (х — 1) с1х = —,, 2/ дх 2,/ 5' 1 1 1 х Рг(х) с1х = — / х — (х — 1) асх = / х(х — 1) с1х = О, з 1 за г г 321 г 212! / 11хг 212!,/ 1 1 1 х Рз(х) дх = / х (х — 1) асх = — — / (х — 1) асх = —, з 1 1' зсс г з 1 'с г з 4 2з3! / дхз 2з,/ 35 Интегралы (9) при и ) 3 равны нулю. Интегралы 1 Р ( )гс1 1 Р„(х) дх = 2п+ 1 — 1 (10) Подставляя вычисленные интегралы в (8), получаем 2 аз=0 о ае = О, аг = О, аз=О,.
а1 = — , 3. ПоДставлЯем найДенные значениЯ коэффиЦиентов ао,ас,аг,. в (7). Получаем 3 2 хз = — Р, (х) -~- — Рз(х). 5 5 Делаем проверку, пользуясь тем, что по формуле (6) Р1(т) = х и Рз(х) = бхзсс2 — Зхсс2. з Ответ. хз = — Р1(х) + — Рз(х), х Е ( — 1,1). 5 5 тоже можно вычислить, пользуясь формулой (6) и интегрируя по час- тям. Так было установлено, что 1'л.З.
Рлдн Фурье 128 Примкр 3. Разложить функцию у = о+ Д соя д+г сояв д в ряд Фурье на интервале (О, х) по системе Ро(сояд), Рг(соя д), Рз(соя д),..., где Є— многочлены Лежандра. Ркгнгьнин. Функции Ро(соя д), Р1 (соя д), Рз(соя д),... образуют ортогональный базис в пространстве функций, заданных в интервале (О, л), со скалярным произведением л (и, и) = / и(д) гг(д) яшдггд. о Искомое разложение функции у = о+ Д соя д + у сояо д в ряд Фурье на интервале (О, я) по системе Ро (соя д), Рг (соя д), Ро (соя д),... имеет вид о+ д соя д+ усово д = ~ ~авР„(соя д), О < д < л, (11) где коэффициенты ао, аг, ам...
определяются по формулам Эйлера— Фурье: (ег+,Зсояд+ усово д, Р„(соя д)) а (Р„(соь д), Р„(соя д) ) л (о+ Дсояд+ у сеягод) Рв(соя д) я1пдг1д о (12) л Р„(соя д) з яш д г1д о 1. Проверяем, что (о+,Зсояд+ усов д) я1пдг1д < гю. о о + Д соя д + у соя~ дР„(соя д) я1п г9 г1д о (18) Неравенство справедливо, поскольку функция у = о+ Д соя д+ч сояэ д ограничена на (О, я). 2.
Вычисляем коэффициенты ао,аг,аз,... по формулам Эйлера— Фурье (12). Интегралы 3.7. Рлд Фурье угунняии 1 (х) ни (и,'о) но ортогональной системе 129 вычисляем, делая замену переменной соя д = х, затем используем фор- мулу (6) и интегрируем по частям (см. пример 2). Получаем (а+43 соя д+ у соя~ д) Ро (соя д) я1п д Нд = / (а+Дх+ ух~) 41х = 2а+ — у, 3 ' (а+Д соя д+у сояя д)Р1(соя д) ейп ддд = ~(а+Ох+ ухз)Р, (х)41х = — Д, 3 (а+уд соя д+ у соя~ д)Рз усов д) ели де1д = ~(а+Дхд-~х )Рзух)йх= у. 15 Интегралы (13) при п > 2 равны нулю.
Интегралы 1 1 Р„(соя д) яепдйх = / Ра(х) Йх определянзтся формулой (10). Подставляя вычисленные интегралы в (12), получаем 1 2 ао = а+ — у, а1 = р, аз = — у, ая = О, а4 = О, 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, о1, аз,. в (П).
Получаем 1 2 а+ Удсояд+ усов~ д = (а+ — у) РоУсояд) + 0Р (соя д) + — Рз(соя д). 3 3 Делаем проверку, пользуясь тем, что по формуле (6) Ро(х) = 1, Р1(х) = х и РЯх) = Зх~,У2 — 1/2. Ответ. а+ 11сояд+ усоя~ д = 1 2 а+ — У Ро(свод) + ДР1(сов д) + — Рз(сов д), О < д < и, 3) 3 О В.И. Афанасьев и др. 1'л.3.
Ряды Фурье 130 Примну 4. Разложить функцию у = езе в ряд Фурье на интервале ( — со, со) по системе многочленов Эрмита. Рншннин. Многочлены Эрмита определяются формулой яв Н„(х)=( — 1)"е* е *, п=0,1,2, (14) Они образуют ортогональный базис в пространстве функций, задан- ных в интервале ( — со, оо), со скалярным произведением (и,и) = / и(х) и(х)е * дх. Искомое разложение функции у = ез* в ряд Фурье на интервале ( — со, оо) по системе Но(х), Н;(х), Нз(х),...
имеет вид е * = ~ ~а„Н„(х), х Е ( — оо,оо), п=о (15) Г ". 2 е * Н„(х)е е1х ( ', Н„(х)) (Н„(х), Н„(х)) (16) -~-ьь Н„(х)зе * дх 1. Проверяем, что -~-ее 2 е*е * е1х(со. Сходимость интеграла на бесконечности обеспечивает быстро убыл вающий множитель е 2. Вычисляем коэффициенты ао, аз,аз,... по формулам Эйлера— Фурье (16). где коэффициенты ао, ам аз,... определяются по формулам Эйлера— Фурье: 3.7. Рлд Фурье грунннии )(х) на (а,о) ио ортогональной системе 131 Вычисляем интегралы е *Но(т)е * гох / е 'е е1х = игяе, 00 ч-сь е сНп(х)е * дх = / е *( — 1)п — е * о!х = лх и = 2" ~ е~*е * с!х = и7яе2". Интегралы Н (х) е — и е!х ьгтн2 ~и! вычисляются специальными методами.
Подставляя вычисленные интегралы в (16), получаем е ао = е, ап = —, и = 1,2, и!' 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, ам аз,... в (15). Получаем е = е ~ —, Нп(х). (17) ппо Замечание. Равенство (17) частный случай общей формулы сь и е ' ' = ~~ Нп(х) —, п=о приз=1. 1 Ответ. еаи = е ~~~ — Нп(х), х Е ( — оо, оо). и! п=о Примгр 5. Разложить функцию у = (1 — хв)х (р > — 1) в ряд Фурье на интервале (О, Ц по системе функций д„(1спх), и = 1,2,..., где,У функция Бесселя и рп нуль функции,У .
1'л.3. Ряды Фурье 132 Рншинии. Функции Бесселя,1,(х) определяются равенством ( 1)ы х г и-~-ь Функции,У (еьх), Х (егх), ... образуют ортогональный базис в пространстве функций, заданных в интервале (О, 1), со скалярным произведением 1 (и,о) = и(х) и(х) хдх. о Искомое разложение функции у = (1 — хг)х' в ряд Фурье на интервале (О, 1) по системе функций,1 (я~х), д,(ггх), ... имеет вид (1 — хг)х' = ~~~ а„,У„(1г„х), х Е (О, 1), (18) где коэффициенты ам аз,... определяются по формулам Эйлера— Фурье: Г" ((1 — хг)х д ( х)) (18) (,У,(1гпх), д (1г„х)) )г о 1.
Проверяем, что 1 (1 — х ) х хе1х < со. о Неравенство справедливо, поскольку функция у = (1 — х )х ограничена на (О, 1). 2. Вычисляем коэффициенты аы аг,... по формулам Эйлера— Фурье (19). Интегралы (1 — х )х" д (1г„х) х с~х о вычисляются с использованием формулы '~'д,( ) = д. ( А„ег( )) пг 3.7. Ряд Фурье 1У1уннвии У(х) на (а,Ь) ио ортогональной системе 133 и интегрированием по частям. Имеем 21 и о Уеп д о 2 -~-2 (1Я и) Уьп Интегралы 1 ,У,(у1„х) хе1х е вычисляются с использованием формулы 2 ,У (ох) х с~х = — ~,У (ох) —,У 1(ох),У,, 1(ох)) + С. 2 Поэтому 1 Уо(рпх) х еех = У~ — 1(рп).Уог-1(рп). о 2 При р = О это равенство упрощается: 1 ,Уе(уе„х)2 хе1х = —,У1(уе„), о 2 поскольку У ЬУ2) = ( — 1)Ь,УЬ(2) (й = О,т1,х2,...).
Подставляя вычисленные интегралы в (19), получаем 4,У,.ь2 ~р,) ап — и=1,2, рн А -1(рп)Унг-1(уеп) 1'л.3. Ряды Фурье 134 3. Подставляем найденные значения коэффициентов а1, аз,... в (18). Получаем и1п и — 1опи~ ии'-1(йЕп Ответ. (1 — х )хи = — 4 ~ — — — —" — — — Л (Дпх), х С (О, 1).
2 и х ии-~2(ди) ~, р.д.— (рп)д.+ (д ) Примни 6. Разложить функцию у = х в ряд Фурье на интервале (О, 1) по системе функций Хаара. РНП1ННИИ. Функции Хаара определяются равенствами Ьо(х) = 1, 1 при 0<х<112, ~ — 1 при 1~2<х<1, Ь„(х) = п11и ап < х < (1п ПРИ 13„< Х < Уп, в остальных случаях, — и п 0 1 (и, е) = / и(х) р(х) дх. о Искомое разложение функции у = х в ряд Фурье на интервале (О, 1) по системе функций Ьо(х), Ь1(х), Ь2(х), ... имеет вид х = ~ апЬ„(х), х Е (О, 1), (20) гДе и„= 2"12, ап = п(2Ь вЂ” 1, ~п = ап + 1/2ЯЕ1, Уп = а„+ 1/2" и ь таково, что 21 < п < 2"+1, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
