Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Уравнения математической ф вини 170 Для этого подставляем функцию о(т, е) = К(т)Х(2) в уравнение (6) и разделяем переменные. Получаем Д ДВ ~27 л г — = Л = сопок Поэтому функции Я(т) и Ф(ее) являются решениями связанных задач: а) Вн+ — В'-~-ЛВ= О, 0 < т < то, 1В(0)) < оо, К(то) = О. т б) Ув — ЛУ = О, Я(ео) = О. 2. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения В + — В + ЛВ = 0 имеет вид в т Я(т) = АЛо( ГЛт) + ВУо( ГЛт), где ло и Уо — функции Бесселя и Неймана. Поскольку /В(0)! < со, а Уо(т) — ~ со при т — в О, полагаем В = О. Используя граничное условие В(то) = О, получаем Л„= — ", Я„= А„1о — "т ., и = 1,2,.
где ди — нули функции Бесселя,7о(т), т.е.,Уо(ри) = О, п = 1,2, 3. Решаем задачу (б). При Л„= (1е„(то) имеем 2 7н — — 7=0. Общее решение этого уравнения, удовлетворяющее условию Я(зо) = О, есть г„( ) = В„я1 Р" ( „—.). то 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (6) имеют вид и (т,е) = АиВн1о ( — т) ~яЬ вЂ” (ео — 2) = Ан,1о ( — т/ вЬ вЂ” (ео — 2), /р. Л д. /и Л д ~" ) то то где А„= А„В„постоянные, которые предстоит найти.
вс.б. уравнение Лапласа в цилиндре 171 5. Решение и(т, г) задачи Дирихле (1) — (4) ищем в виде и(т, 2) = ~~~ ' и„(т, 2) = ~~~ ' Ап3о ~ †' т ) вЬ вЂ " (го — 2). (7) 'нто / то и=я и=-1 Н,,о) = 2 А.,о ( — "'.,) о, ("— ",) =,,' то то п=г Следовательно, по формулам Эйлера — Фурье имеем со 2 (то — т )до — т тс1т / 2 2 (Дп (, то / тогдг (Дп) Д~ Ю, (Рп) и = 1, 2..... (см.
задачу 3.7). Поэтому 4тог 72(дп) в=1,2,... ,г тг(„) в1,(в. Подставляя эти коэффициенты в формулу (7), получаем ц(т,г) = ~~', до (х т ) вп — (го 2). 4то 12(цп) егп еоп , Дг го(12 )вь (е го) (хто е) то ~, со Замечания. 1. Задача Дирихле Ьц = О., О < т < то, .О < г < го, ~.=~ = У( ) О<с<то~ и „=О, и/~,, =О, О < г < г„, при произвольной непрерывной функции т(т), для которой 1 (то) = О, решается аналогично.
О « " то Эта функция является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным условиям (3), (4) при любых Ап, при которых ряд (7) сходится и его можно дважды дифференцировать почлснно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых и(т, г) удовлетворяет граничному условию (2): Гл.5. Уравнения матпематинееквй физики 172 2. Смысл формулы (7) можно пояснить следующим образом. При каждом фиксированном е функцию и(т, (р) можно разложить в ряд Фурье по системе функций /од„т(то) (и = 1,2,...) (см. задачу 3.7): (,*(=е..' (т то/ и=1 Коэффициенты а1, аю .., зависят от ж Поэтому (,*(=Ем(*(7 (т --).
" т'о / и= 1 (8) Подставляя эту функцию в уравнение (6), убеждаемся, что уравнение (6) обращается в тождество, только если а„(е) являются решениями задачи (б) при ( = (/(„(то)з (и = 1,2,...). Следовательно, а„(е) = А„вЬ (;", (ео — е). При таких коэффициентах формула (8) совпадает с (7).
Примкр. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в цилиндре Ли=О, 0<т<1, 0<я<1, (9) и~, =1 — тз, (10) (11) (12) Рншинин. Уравнение, Лапласа (9) в цилиндрических координатах (т, (р, е) имеет вид (5). Так как граничные значения и~„( функции и не зависят от ез и коэффициенты уравнения (5) не зависят от (рт решение задачи Дирихле (5), (10) — (12) также не зависит от (р и его можно искать в виде и(т,(р, е) = и(7', з)т где функция и(т, е) удовлетворяет уравнению (6). 1.
Находим вспомогательные решения и(т, з) уравнения (6) в виде .(...) = Л(т)г(.), и(, 1 — — О, и(„1=0, причем ~В(0) ~ < со, Ге(1) = 0 и л(1) = О. 0<7<1, 0<т<1, О < я < 1. б.б. Уравнение Лапласа в цилиндре Для этого подставляем функцию и(т, г) = Л(т)Х(г) в уравнение (6) и разделяем переменные. Получаем с1т «1т л г Л г Поэтому функции Л(т) и Ф(сг) являются решениями связанных задач: а)Лн+ — Л ->ЛЛ=О, 0<т<1, ~Л(0) <со, Л(1)=0. б) Ин — ЛИ = О, л(1) = О. 2.
Решаем задачу (а). и Общее решение уравнения Л' + -Л + ЛЛ = 0 имеет вид т Л(т) = Аде( ГЛт) + ВУо(ъ Лт), где,уо и Уо функции Бесселя и Неймана. Поскольку (Л(0)! < оо, а Уо(т) — э оо при г — ~ О, полагаем В = О. Используя граничное условие Л(то) = О, получаем Л =рг, Л =А Зо(р т'), в=1,2,... где р„— нули функции Бесселя до(х), т.е. до(р„) = О, п = 1, 2, 3. Решаем задачу (б). При Л„= рг имеем гн — р'„г = О. Общее решение этого уравнения, удовлетворяющее условию л(1) = О, есть л„= В„яЬ р„(1 — ). 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (6) имеют вид ин(т,г) = А Видо(р„,т) яЬрн(1 — г) = А„.1о(р„т) яЬр„(1 — е), где А„= А„Вп настоянные, которые предстоит найти.
5. Решение и(т, г) задачи Дирихле (9) — (12) ищем в виде и(т,г) = ~и (т,г) = ~ ~А,1о(р т) яЬр (1 — лЬ (13) п=1 п=1 Гл. 5. Уравнения математической физики 174 Эта функция является решением уравнения (5)и удовлетворяет граничным условиям (11), (12) при любых Ап, при которых ряд (13) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых и(г, 2) удовлетворяет граничному условию (10): и(г, 0) = ~~ Ап Яо(рпт) вЬ рп = 1 — гз.
п=1 Следовательно, по формулам Эйлера — Фурье имеем 11 2 / (1 — г') до (рпг) гдт о п = 1,2, (см. задачу 3.7). Поэтому 2,У2(рп) р з (ув )вЬр Подставляя эти коэффициенты в формулу (13), получаем и(г,х) = 71 2 2 "„до(рпг) вЬрп(1 — 2). 4з2(йп) п=1 уз д12(рп) вЬ р,„ Ответ. и(г,х) = ~~, до(р е) вЬрп(1 — 2) 4дз(рп) рз,112(рп) вЬ рп УС11ОННН Зддян. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в ци индре.. 1.
Ага=О, 0<с<2, 0<2<1, и~, =4 — г2,0<т<2, и„=О, 0<2<1, и), 1=0, 0<с<2. 2. 21и=О, 0<с<5, 0<2<2, и~, =25 — тз, 0<с<5, и(, в = О, 0 < 2 < 2, и) = О, 0 < г < 5. 3. с1и = О, О < г < 5, О < 2 < 5, и), о — — 25 — т , 0 < г < 5, и(, в = О, 0 < е < 5, и), в = О, 0 < г < 5. 4. 2яи = О, О < г ( 4, О < х < 3, и~, о —— 16 — гз, О < г < 4, и, = О, 0 < 2 < 3, и(, з — — О, О < г < 4.
5. 2яи = О, О < г < 3, О < 2 < 4, и~, о = 9 — т , О ( г < 3, и(, з - О, О « ° 4, и~, , = О, О ( ° < 3. 5.6. Уравнение Лапласа в цилиндре 175 О, 0<т<1, 0 =О, 0<с<3, 0<т<1, и(„ О, 0<с<2, 0 =О., 0«. 6, 0<с<2, 0<т<4, 0<с<3, 0<с<1, Ответы. 1. и(т, е) 16дг(И ) /И 1 М /ег,/гг(1гп)вЬ(2рп/5) ~ 5 / 5 7 /е'" ~ Ь"'"(3 ) 36дгОлн) /И ') 1 р* <4 рг,7~~(1е„)вЬ(4р„/3) ~ 3 ) 3 — — — до (/лпт) вЬ рп(3 — г). 4дг(р,п) 6 г(Нп) л. /Н. '1 1 Рп ~ ~- р„д,'-(р„)вЬзр„' ~ 2 "7' 64дг(7е„) //е„~ р„ тт г г — —,70 ) — -т) вЬ --(9 — г).
~ Рг,7ег(Р„)вЬ(9Рн/4) ) 4 ) 4 36,1г(Рп) 7 /Рп 1 Ь|'и(1 — ) ~-' 7сг дег(7л„)вЬ/р,„/3) 1, 3 l 3 2, и(т, е) 3. и(т, г) 4. и(т, е) 5. и(т,г) 6. и(т, е) 7. и(т, е) 8. и(т, г) 9, и/т, е) 10, и(т, е) 8. е5и=О, 0<т<4, 0 и(, е=О, 0<с<9, 9. г1и=О, 0<с<3, 0 и~„г=О, О< <1, 10. ели=О, 0<г <1, 0 и), =О, 0<с<8, <с<3, и~,, =1 — тг, и~, в — — О, 0<т<1.
<с<6 'и~.=-о=4 тг и), =О, 0<с<2. <с<9, и~, о — — 16 — тг, и), =О, 0<т<4. <в<1, и~ =9 — тг и),, =О, 0<т<3. <г<8 Ц =о=1 тг и, =О, 0<т<1. Рл. 5. Уравнения матпематичееквй физики 176 5.7. Уравнение Лапласа в шаре Постановка злдлчи. Реизишь краевую задачу Дириаяе дяя уравнения Лапласа в 1иаре: Ли=О, 0<т<те, и)„„= а+ Ьсовд+ ссов д.
(2) План нншнния. Уравнение Лапласа (1) в сферических координатах (т, ~р, д) имеет вид 1 д /здий 1 д~и 1 д /, диЛ вЂ” — т — +, -., + —,— — вшд — — О. (3) тэ дт (, дт) тэв;пад д,з тэтйпд дд (, дд) Так как граничные значения и~„„функции и не зависят от р и коэффициенты уравнения (3) не зависят от р, решение задачи Дирихле (1) — (2) также не зависит от уз и его можно искать в виде и(т, ~р,д) = и(т,д), где функция и(т, д) удовлетворяет уравнению (3) с д и/дуз~ = 0: 1.
Находим вспомогательные решения и(т, д) уравнения (4) в виде и(т,д) = В(т)0(д), причем ~й(0) < оо, ~0(0)~ < оо, ~О(л)~ < оо. Для этого подставляем функцию г(т, д) в уравнение (4) и разделяем переменные. Получаем тэЛв+ 2т~Я Оа -~- сФнд 0' л е - — Л вЂ” сопвС. Поэтому функции Е(т) и 0(д) являются решениями связанных задач: а) 0" +с$3д 0'+ ЛЕ = О, (0(0)) < оо, )0(к)! < оо: б) т Ла+ 2тЛ' — Л1е = О, !Л(0)/ < оо. 2. Решаем задачу (а). Уравнение 0" + сен д 0'+ ЛО = 0 заменой переменной саад = е преобразуется в уравнение Лежандра (1 — ез)Оа — 2лн02+ р(р+ 1)Е = 0 и(и+ 1) = Л.
6.7. Уравнение Лапласа в 1иаре 177 Его общее решение имеет вид 0(е) = СР,(е) + ВЯ„(е), тзРьп ф 2тК' — п(п ф 1)Я = О. Общее решение этого уравнения есть В (т) = А„т" + Впт Поскольку ~Ре„(0)~ < сс, полагаем Вп = О. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (4) имеют вид ип(т д) = СпАптпРп(соед) = АптпРп(совд), и = 0,1,2,..., где Ап = СпАп — постоянные, которые предстоит найти. 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
