Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Рншинин. Уравнение Гельмгольца в сферических координатах (т,гр,д) имеет вид (3). Так как граничные значения и( функции и не зависят от гр и коэффициенты уравнения (3) не зависят от 9в, решение задачи Дирихле (6) — (7) также не зависит от гр и его можно искать в виде и(т, ев,д) тн и(т,д), где функция и(т, д) удовлетворяет уравнению (4). 1. Находим вспомогательные решения п(т, д) уравнения (4) в виде и(т,д) = В(т)0(д), причем В(0)( < оо, ~0(0)~ < со, ~0(х)~ < со. Для этой цели подставляем функцию и(т, д) в уравнение (4) и разделяем переменные. Получаем тайн + 2тВ'+ 2тзВ Он + с13д 0' = Л вЂ” сопяС. В 0 Поэтому функции 3(т) и 0(д) являются решениями связанных задач: а) 69в -'т с13дО'+ ЛО = О, 0(0)) < со, ,'0(х)( < оо; б) т~йв+ 2тй'+ (2тз — Л)Л = О, /91(0) < гю.
2. Решаем задачу (а). Получаем Л = п(п+ Ц, Ов(д) = СнРн(совд), гг = 0,1,2,... где Рн(х) многочлены Лежандра. 3. Решаем задачу (б). При Л = п(п+ 1) имеем т Вен+ 2тй'+ (2т~ — п(п+ 1))В = О. Общее решение этого уравнения есть В„(т) = А„+ В„ Лн тг9з(;Г2т) — У„тг9з (тг 2т) Гл. 5. Уравнения математической физики 192 1'Де дпВ.Цг и Уп-~1~э фУнкЦии БесселЯ и Неймана. ПосколькУ ~Лп(О) ~ < ао, а Уп,17г(т) — 1 со при т — з О, полагаем Вп = О, 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (4) имеют вид ип(т,д) = СпАп и Рп(совд) = Ап ' Рп(совд), д„т17г(у 2т) дпн-г~г(н 2т) Огт где Ап = СпАп — постоянные, которые предстоит найти. 5.
Решение задачи Дирихле (6) — (7) ишем в виде и(т,д) = ~ ип(т,д) = 2 Ап Рп(совд), (8) д~а11г (Ъ' 2т) п=в п=в Эта функция является решением уравнения (6) при любых Ап, при которых ряд (8) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых и(т, д) удовлетворяет граничному условию (7): и(1,д) = ~~ Ап,7п.н17г(ъ'2)Рп(совд) = Зсовгд. п=в Поскольку 3 совг д = РО(сов д) + 2Рг(сов д) (см, задачу 3.7), имеем и(1, д) = ~ Ап Лп1.17г(ъГ2)Рп(сов д) = РО(сов д) + 2Рг(сов д).
п=в Следовательно, АО = 1/11д(ъ'2), Ад = О, Аг = 2/двд(ъ'2), Ап = О прин) 3. Подставляя эти коэффициенты и выражения для Рп(сов д) 3 г 1 РО(совд) = 1, Рг(совд) = — сов д —— 2 2 в (8), гюлучаем и(т, д)— Лцг('Г2т) 7О1г(Н2т) + ' . (Зсов д — 1). Лц г (>~ 2) тут,7в ~ г (;Г2) ОО1. дг~г(й2т) дв~г( Г2т) Ответ. и(т, д)— + (3 совг д — 1). л17Я2) ~т,Увы(тГ2)./г 5.9. Уравнение Гельмгольца в шаре 3-~- 2 соя д+ 6 сонг д. 6 — 3 соя д — 3 сонг д. — 3 + 5 соя д — 3 сонг д. 12 соя д + 6 сонг д. — 9 + 9 сонг д. — 2+ 8сояд+ Зсовгд.
3 + 12 соя д — 9 сонг д. — 6 соя д+ 9 сонг д. 6+ 5сояд — 6соягд. — 3 — 2сояд+ Зсоягд. ~~ — — 2 Ч,=- и), и)„ и), и), '4,— 5 и), Ответы. 1, и(г, д) 7 2,7172(н2г) Г2 Лзуг(н2г) +25 соя д+ г Лгуг(2у 2) 5 2 Лвуг(2г) + — ' (6 сонг д — 2). ,Уз, 2(2У'2) 3 Лгуг(зг2г) /3 Лзуг(42г) в г Лгуг(Зъ'2) в' г Лзуг(3572) З,У уг(572г) г Л5У2(3572) 1 Л172(5УЗг) /1 ЛзУг(зУЗг) в Лгуг(ъ'3) г Лзуг(573) 1,Узуг(ъ'Зг) д г Лзуг(3) 8 Лгуг(2г) 24 Лзуг(2г) +— соя д+ 5Уг Лгуг(8) 5Уг,Узуг(8) 2 Льуг(2г) + — (6 сояг д — 2).
5 Л1Уг(575г) /5 Л5У2(45г) " Л1У2(5575) г Л572(55У5) 16 7272(576г) 2 Л572(У6г) санд+†(3 сояг д — 1). 5Уг Л1Уг(4576) 5Уг Л572(45У6) 2. и(г,д) 3. и(г, д) 4. и(г,д) 5. 11(г,д) 6. и(г, д) 1З В.И. Афанасьев и др. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Решить краевую Гельмзольца в шаре. 1. Ьи+2и=О, 0<г<2, 2. Ьи+2и=О, 0<г<3, 3. 1зи+Зи=О, 0<г<1, 4. Ьи+4и=О, 0<г<4, 5. Ьи+5и=О, 0<г<5, 6. Ьи+би=О, 0<г<4, 7. Ьи+7и=О, 0<г<3, 8. Ьи+Зи=О, 0<г<2, 9.
Ли+Он=О, 0<г<5, 10. Ьи+ 9и = О, 0 < г < 1, задачу Дирихле для уравнения Гл.5. Уравнения математической физики ГЗ д!(2(ъ'7т) Г3,72! (ъ'7т) 7. и(т, д) = — 31!в + 12~/— соз д— т 11!2(Зъ'7) т,Уз!2(3517) 3 Лз!2(527т) 3 15!2(ЗН 7) 2 2 11!2(5'8т) /2,Уз!2(ъ'8т) 8. и(т, д) = 6 — — — 6 в — соз д+ т .72!2(2518) " т дз72(2518) + )/ — — — (9 созг д — 3) . Г2 35!2( Йт) т 7572(2ъ'8) 9. а(г,д) = 2~/— Г5 д1!2(Зт) Г5 дз!2(Зт) — 5)/ — соз д— (! т 21!2(15) !!' т,72!2(15) (6 созг д — 2). Г5 75!2(Зт) ~/т дз!2(15) 1 ,7!72(Зт) 1 7272(Зт) 57т '71/2(3) Атт '73/2(3) + (Зсоз д — 1).
1 75!2(Ьт) ъ'т 1512(З) 5ЛО. Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа Постлновкл злдлчи. Найти все Л и и нгакие, нтао Ьи = Ли в области П, ди ои + Д вЂ” = 0 на границе области Й. ат (2) ПЛА11 Р1'П!ЕНИЯ, 1. Выбираем систему координат, такую, что граница области П разделяется на участки, на каждом из которых одна из координат не меняется. 2. Переходим к выбранной системе координат, делая замену переменных в уравнении (1) и граничном условии (2). 3. Функции и итцем в виде произведения вспомогательных функций, каждая из которых зависит только от одной координаты.
4. Используя метод разделения переменных, получаем из (1) — (2) краевые задачи (задачи Штурма — Лиувилля) для обыкновенных дифференциальных уравнений, определяюшие вспомогательные функции. 5.10. Собственные функции и собственные значен л 195 5. Решаем краевые задачи для вспомогательных функций и записываем ответ. Замечание. Функции и определены с точностью до числового множителя и могут содержать произвольные постоянные. Пгимвг. Найти все Л и и такие, что Ли=Ли вобластий=(т~ <х Ч-у <тз), ди он+ д — = О на границе области й, (4) ди гдео=1,д=Оприх +у =т~ио=О,Д=1прих~+у =тз.
(б) и(т, ~р) = Л(т)Ф(р). (8) 4. Вспомогательные функции Л(т) и Ф(р) определяются краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений, которые получаются из (5)-(7) методом разделения переменных. Подставляя (8) в (5) — (7) и разделяя переменные, получаем — (тЛ) 1 Фо -+ —,— =Л, Л таФ Л(те) = О, Л (тз) = О.
13" Рг.шг.нии. 1. Выбираем систему координат, такую, что граница области й разделяется на участки, на каждом из которых одна из координат не меняется. В данном случае й — кольцо с центром в начале координат. Гра- ница й состоит из двУх Участков хз + Уз = т~~ и х~ + Уз = та~. На каждом из них не изменяется координата т пояярной системы коор- динат. Поэтому используем полярные координаты. 2. Переходим к полярной системе координат, делая замену пере- менных в уравнении (3) и граничном условии (4). Получаем 1 д т диЛ 1 дзи — — '( т — )+ —,— =Ли, те <т<тз, (5) д 1 дт) тз доз и( =О, — =О, ди (7) дт т=тг 3.
Функции и(т, р) ищем в виде произведения вспомогательных функций, калсдая из которых зависит только от одной координатьс Гл.5. Уравнения матпематинееквй физики Следовательно, имеем две связанные краевые задачи: (а) Фн — рФ = О, Ф(0) = Ф(2к); (б) т(т~к)'+ (р — Лт~)К = О, Л(тз) = О, В'(тз) = О. 5. Решаем краевые задачи (а) и (б).
Общее решение дифференциального уравнения Фн — иФ = 0 имеет вид Ф(р) = С1е' '" + Сзе " "'. Условие Ф(0) = Ф(2я) выполняется только если р = — пз, где те = О, т1, -Ь2,... Поэтому задача (а) имеет бесконечное множество решений Фи(ез) = С,с'"т + Сзе '"" = А„сов тиР -, 'В„ъ1п тцР, 3 пп— где п = О, 1,2,..., а Аи и В„произвольные постоянныс (при и, = — 1, — 2,... получаются решения, отличающиеся от Ф„только знаком В„). Задача (б) при Л = 0 имеет только решение В(т) = О. При Л ф 0 общее решение дифференциального уравнения задачи (б) т(тВ')'+ (р — Лтз)Я = 0 с р = — пз имеет вид Л(т) =СУ.(Г:Л )+РУ„,(,т-Лт), где зн и 1еи функции Бесселя и Неймана, а С и Р произвольные постоянные. Из граничных условий Л(т~) = 0 и и'(тз) = 0 получаем систему уравнений для определения С и Рс < СЯ ( Г:Л тз) + РУ (4:Л тт) = О, (О) С~ЛЛ„,( Г:Лте) + Р,l:ЛУ„'(,I:Лте) = О.
Эта система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю,т.е. ,7„(~' — Л те) У„(~/ — Л тз) = О. ъ~ — Л У,',(~/ — Л тз) ъ' — Л Ун(~ — Л тз) Поэтому Л определяется уравнением ЛЯ4 — Л тд) У„'(~l — Лт,) — У1 (ъ' — Лт,) Ун(~Лт,) = О. бЛО. Собственные функции и собственные значен л 197 г Ль„= — дят где и = 0,1,2,..., й = 0,1,2,...г а Сь„г Ры, — нетривиальное решение системы (9), А„и В„произвольные постоянные, не равные нулю одновременно. Условия задач. Найти собственные функции значения оператора Лапласа. 1. Ли=Ли при 0<х<1иО<у<2, и( е —— и) г= и) в — — и) г»» О.
2. Ли=Ли при О<х<1иО<у<2, 3. Ьи = Ли при 0 < х < 1, 0 < у < 2 и 0 < г < 3, 4. Ли=Ли пРи 0<хг+Уг<1г и~ =О. ,.г рг 5. Ли=Ли при 0<хг+уг < 1, = О. ди дп 6. »ли=Ли при 1<х +у <4, ди — =О, и,, =О. и »г рг 1 7. »1ги = Ли при 0 < хг+ уг < 1 и 0 < г < 2, 8. дги = Ли при 0 < хг+ уг < 1 и 0 < г < 2, и =и ~ =и,=О.
'-;-р'=г ' =о 9. Ьи = Ли при 0 < хг+ у + гг < 1, и =О. » г т р г -~- » г = г 10. Ьи = Ли цри 0 < хг + у + гг < 1, = О. ди дп и собственные О. Оно имеет бесконечное множество решений Л = р~~„(й = 1, 2,...). Ответ. Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа в кольце е; < г < гг с граничными условиями (6) — (7) имеют вид иьгг(г, ег) = (Сь„3 (рь г) + Ря„К,,(рь„г)) (Агг сов тр+ В„яш игр), Гл.у. Уравнения математинееной физини 198 Ответы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
