Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 26
Текст из файла (страница 26)
2. дз = 8т сов за, 1 < т < 2, и~,— з = совр, и,~„— г = 12совзз. 3. Ь = 24тз яп Зг, 2 < т < 3, и~„г = 32 яп Зг, и„~„з = 135 яп Зг. 4. Рл = (бягзЗгсовгЗг — 2вшзЗг)/т, 1 < т < 2, и~т г = япзЗз, з и„~„г = яп 5. Рл = (бяпг Заговор — 2совзЗо)/т, 2 < г < 3, и~т г = 2совзЗг, и,.~„-з = сов Зг. з 6. г.'з = (япр)(т~, 2 < т < 5, и~,. г = 2 сов Зг — яп р, и„„з = сов Зг. 7.
гз = (совр)(та + 8твшЗг, 1 < т < 2, и~„— з —— яагер — сов~р, и„~„г = 12вшзз. 8. Ь=8(в1пЗз)(тв, 2 < т < 3, и~„— г=(япЗг)/8, и,~„— з= — (взпЗо)/27. 9. аз =9т+8, 1< т < 2, и~„-г —— О, иг~,=г =20 10. ез = 9г + 8 — 3~те, 1 < т < 3, и), г = О, и , з = 116!3. Ответы. 1.
и(т,р) = тзяпр. 2. и(т,Зо) = тзсовЗо. 3. и(т,Зг) = = гзвшЗз. 4. и(т,~р) = твзпз~р. 5. и(т,|р) = гсовзЗг. 6. и(т,Зз) = = тсов1о -- яп.р. 7. и(т,чз) = гевшЗг — совЗо. 8. и(т,чг) = (яп р)(тз. 9. и(т, р) = гз+ 2тг — 3. 10, и(т, р) = ге+ 2т~ — 3/т. 5.12. Уравнение Пуассона в прямоугольнике Постлновкя задачи. Решитпь краевую задачу для уравнения Пуиссона в 'пря.ноугольнике Ьи = 1(х, у), х Е (О, о), у Е (0,,3), (1) и(0, у) = дг(у), и(о, у) = дг(у), у е (О,))), (2) и,(х,О) = дз(х), и„(х„9) = дл(х), х е (О,о). (3) План ркшкния. Искомая функция и(х, у) может быть представлена в виде (4) и(х, у) = и(х, у) + ю(х, у), 5.12.
Уравнение Пуассона в прямоугольнике 207 где и(х,у) решение краевой задачи для уравнения Пуассона с однородными граничными условиями: Ьи = Д(х,у), х Е (0,11), д Е (0,73), (5) и(О,д) = и(а,д) = О, у Е (0,73), (6) оу(х, 0) = о„(х,,З) = О, х Е (О, а), (7) я(х, у) решение краевой задачи для уравнения Лапласа: 717и7 = О, х Е (О, а), у Е (О, )3), го(0, д) = дг(у), ш(а, у) = дз(д), у Е (0„3), (8) (О) 7Г 77 и(х,у) = ~~ ~ ~А пяп — тх сов — пу. а п7=1 п=о (11) Эта функция удовлетворяет граничным условиям (6) — (7) при любых А „, при которых ряд (11) сходигся и его можно дифференцировать почленно по д. Найдем коэффициенты А „, при которых функггия (1Ц является решением уравнения (5). Подставляя функцию (11) в уравнение (5), имеем 7Г ~А„н, ( / + ( — ) яп — тх сов — Гьу = Г(х,д).
) [,П)~ т=17 =О Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что 1 1 1 Р 7' гг Ашо =— — — 7(х, д) яп — тх 71д Г1х, (ктгга)э 2а 17,/,/ ' а о о 1 — 7(х, д) яп тх сов ну ~д ~~. о о Подставляя эти коэффициенты в (11), находим и(х, у). 2. Решение задачи (8) — (10) ищем в виде (х д) = ( д) + юх( д) (12) иг,(х,О) = дэ(х), я„(х,73) = дл(х), х Е (О,а). (10) 1. Решение задачи (5)-(7) ищем в виде ряда по собственным функциям оператора Лапласа с граничными условиями (6) — (7) (задача 5.10): Гл.5.
Уравнения математической физики 208 где ю(х, у) является решением краевой задачи ею = О, т, Е (О, а), у Е (О, 13), (13) ю(0, у) = О, й1(а, у) = О, у Е (0,13), (14) ш„(х,О) = дз(х), юи(х,(3) = дя(х), х б (О,а). (15) и ю(х,у) является решением краевой задачи 21ю = О, х Е (О,ее), у Е (0,13), (10) ю(0, д) = д1(у), ю(а, у) = дг(у), у Е (О, В), (17) й1и(х, 0) = О, юи(х, Д) = О, х Е (О,а). (18) 3. Решение задачи (13) — (15) ищем в виде ю(х,у) = ~~ В (у)яп — тх. т=1 (19) Поэтому ,г В." (у) — ( — т) Вт(у) = О, т = 1,2, 1а Общее решение этого уравнения имеет вид В (у) = а сЬ вЂ” тд+ Ь,вЬ вЂ” ту.
Следовательно, ю(х,у) = ~ (а сЬ вЂ” ту+ Ь яЬ вЂ” ту) яп — тх. (20) хи=1 Эта функция удовлетворяет граничным условиям (14) и является решением уравнения (13) при любьгх а,„и Ь, при которых ряд (20) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. Найдем Эта функция удовлетворяет граничным условиям (14) при любых коэффициентах В (у), при которых ряд (19) сходится. Найдем коэффициенты В,(у), при которых функция (19) является решением уравнения (13) . Подставляя функцию (19) в уравнение (13), получаем 209 ЬП2. Уравнение Пуассона в прямоугольнике коэффициенты ая и д, при которых функция (20) удовлетворяет граничным условиям (16). Имеем Е- ™ тг тг — тбявш — тх = дз(х), о сг ( — т а вЬ вЂ” тптт ф — т Ьм сЬ вЂ” тп(21 яп — тпх = дв(х).
пь=г Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что Ь = — — 1 дз(х) яп — тхагх, 2лт,г' о о тг тг 1 /, тг а вЬ вЂ” п4+ б сЬ вЂ” тд = / дв(х) яп — тххх, о гг 2кт,/ о о Подставляя найденные по этим формулам а, и Ь в (20), получаем ю(х., у). 4. Решение задачи (16) — (18) ищем в виде ях(х,у) = ~~ Аа(х) сов — пу. ,3 (21) п=о Эта функция удовлетворяет граничным условиям (18) при любых коэффициентах А„(х), при которых ряд (21) сходится и его можно дифференцировать почленно по у. Найдем коэффициенты А„(х), при которых функция (21) является решением уравнения (16).
Подставляя функцию (21) в уравнение (16), получаем сс 2 ~А,",(х) — ~ — и) А„(х) сов — тгу = О. Поэтому 1 2 А'„'(х) — — и ) А„(х) = О, и = 0,1,2,. Общее решение этого уравнения имеет вид .4о(х) = ао + Ьох, А„(х) = а„сЬ вЂ” их+ б„вЬ вЂ” пх, и = 1,2,. д 14 В.И. Афанасьев а др. Гл.5. Уравнения математической ф вини 210 Следовательно, Й(,у)= уу у~( „у — ..уу„у — ) .
— у. (уу) ао+ р оп сов — пу = д11у), п=1 )3 „УУ, У~(,„..У УУ. У- ). у=уг(У). п=1 Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что )) 1 ! оо = / дг(у) (гу ) l 1 7Г ап = — / д)1У) сов — пУ(1У, и = 1,2,..., 2,3,/ )3 о Д 1 оо Ч- Ьаа = — „)7 дгг(у) сЬ, о д 7Г )г 1 я оп с11 — псу+ Ь„в11 — по = — 1 дв(у) сов — )гу(ГУ, 2)3,/ о и =1,2, Подставляя найденные по этим формулам ап и Ьп в (22), получаем й)1х, У). 5. Записываем ответ согласно формулам 14) и (12).
Замечания. 1. Изложенный план пригоден для решения краевых задач для уравнения Пуассона в разнообразных ограниченных областях плоскости или пространства. Необходимо только, чтобы для этих областей были известны собственные функции оператора Лапласа и решения краевых задач для уравнения Лапласа. Эта функция удовлетворяет граничным условиям 118) и является решением уравнения 1У1б) при любых ап и Ьп, при которых ряд ГУ22) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. Найдем коэффициенты ап и Ьп, при которых функция (22) удовлетворяет граничным условиям 117). Имеем 5.12.
Уравнение Пуассона в прямоугольнике 211 Пример. Решить краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике Ьи = ху(1 — х), х Е (О., Ц., у Е (0,2), (23) и(О,у) = у — у~/3+ 1, и(1,у) = Зу — уз+ 2, у Е (0,2), (24) и (х,О) = х(1 — х), и„(х,2) = т(1 — х)~, х Е (О, Ц, (25) ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомая функция и(х, у) может быть представлена в виде и(х, у) = т(х, у) + ю(т, у), (26) где т(х,у) решение краевой задачи для уравнения Пуассона с однородными граничными условиями: г5т = ту(1 — х), х Е (О, Ц, у Н (0,2), (27) т(О,у) = т(1,у) = О, у Е (0,2), ту(х, 0) = ту(х,2) = О, х Е (О, Ц, (28) (29) ю(х,у) решение краевой задачи для уравнения Лапласа: г.'ью = О, х ~ (О, Ц, у б (О, 2), (30) ю(О,у) = у — у~/3 + 1, ю(1,у) = Зу~ — уз + 2, у Е (0,2), (ЗЦ юу(х,О) = х(1 — х), юу(х,2) = х(1 — х), х е (О, Ц. (32) 1.
Решение задачи (27)-(29) ищем в виде ряда по собственным функциям оператора Лапласа с граничными условиями (28)-(29) (задача 5.10): я т(х,у) = ~ ~~~ А„„нвшптнх сов — пу. 2 пь=1 п=в (33) 14' 2. Иной план решения задачи (Ц вЂ” (3) состоит в следующем. Сначала находим любое решение т уравнения Пуассона (Ц. Затем находим решение задачи сью = О, ю(О,д) = д4(у) — т(О,у), ю(сь, у) = уз(у) — и(сь,у), у е (0,11), юо(х, 0) = дз(х) — ту(х, 0), ю, (х, Д) = дл(х) — ту(х, Д, х Е (О, о), Решение задачи (Ц вЂ” (3) определяется формулой (4). 3. Чтобы найти решение т уравнения Пуассона (Ц, можно перейти в (Ц к полярным координатам и применить метод, изложенный в задаче 5.11. Гл.б. Уравнения математической ф зина гхп1г) гг -ККя-() )'+~ — ) ) '" * ° — г= га — *) т=1 а=в Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что 1 г 1 Ато = — ) / ху(1 — х) сйпнтх Иу)1х, 4()гт)г у о о г 1 г А,ан = — — — — — / / ху(1 — х) вгпхтхсов — пудуагх.
8[(хт)г + (хп '2)г] / / 2 о о Вычисляя интегралы, получаем (-') — 1 (1 — (-1)"Ц1 — (-1)а] (хггг)в рвтзпг Г()гт)г + (пп))2)г] Подставляя эти коэффициенты в (33), находим р(х, у): ]1 — ( — 1) ™]]1 — ( — 1)" ] + ~~г ~~~ 1 э г ( . (, вшлгпх сов — пУ. (34) т=1 н=1 2. Решение задачи (30) — (32) ищем в виде ю(х, у) = й(х, у) -Ь ю(х, у), где ю(х, у) является решением краевой задачи (35) Ью = О, х б (О, 1), у Е (О, 2), (36) ю(О,у) = О, ю(1,у) = О, у Е (0,2), (37) юр(х, 0) = х(1 — х), юр(х, 2) = х(1 — х)г, х С (О, 1).
(38) Эта функция удовлетворяет граничным условиям (28) — (29) при любых А „, при которых ряд (33) сходится и его можно дифференцировать почленно по у. Найдем коэффициенты А „, при которых функция (33) является решением уравнения (27). Подставляя функцию (33) в уравнение (27), имеем 213 ю(х, у) = ~~г В (у) гйп "гтх. (42) ьо=! Эта функция удовлетворяет граничным условиям (37) при любых коэффициентах В„,(у), при которых ряд (42) сходится. Найдем коэффициенты В, (у), при которых функция (42) является решением уравнения (36) . Подставляя функцию (42) в уравнение (36), получаем В (у) = а сЬ лгау+ Ь„,еЬ логу.
Следовательно, ю(х,у) = ~~~ (а,„сЬпту+Ь„,яЬягпу)в1пкгпх. (43) ю=г Эта функция удовлетворяет граничным условиям (37) и является решением уравнения (36) при любых а и Ь„„при которых ряд (43) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. Найдем коэффициенты а и Ь, при которых функция (43) удовлетворяет граничным условиям (38). Име 5.12. Уравнение Пуассона в прямоугольнике и ю(х,у) является решением краевой задачи Ью = О, х б (О, 1), у б (О, 2), ю(О,у) = у~ — уз,ГЗ+ 1, ю(1,у) = Зуа — уз+ 2, у Е (0,2), юи(х,О) = О, юи(х,2) = О, х Е (0,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
