Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 30
Текст из файла (страница 30)
исс — — 4сгьи, х Е (О, 2), у Е (О, 2), 1 Е (О, оо), и(х,у,О) = О, ис(х у 0) = (2 — х)(2 — д)ху, и(0, д,с) = и(х, О,с) = и(2, у,г) = и(х, 2, 1) = О. 6. исс = сзи, х Е (О, 3), у Е (О, 2). г Е (О, оо), и(х, у, О) = О, ис(х, у, 0) = (3 — х)(2 — д)ху, и(0, у, с) = и(т, О, с) = и(3, у, Е) = и(х, 2, с) = О. 7, исс = 9с5и, х Е (О, 2), у Е (О, 3), 1 Е (О,гю), и(х, у, 0) = О, ис(х, у, 0) = (2 — х)(3 — у)ху, и(0, у,Х) = и(х, О,З) = и(2, у,Х) = и(х, З,Х) = О. Гл.5. Уравнения математинееной ф знкн 236 8.
игг — — 16Ьи, х Е (О, Ц, у Е (О, 4), 1 6 (О, со), и(х, у, 0) = О, иг(х, у, 0) = (1 — х)(4 — у)ху, и(0, у, 1) = и(х, О,Х) = и(1, у, 1) = и(х, 4, 1) = О. 9. ии = Збеаи, х Е (0,3), у 6 (0,6), 1 6 (О,со), и(х, у, 0) = О, иг(х, у, 0) = (3 — х)(б — у)ху, и(О,у,1) = и(х,О,Х) = и(3,у,1) = и(х,б,Х) = О. 10. ии = 49Ьи, х Е (О, 7), у 6 (О, Ц, 1 Е (О, сс), и(х, д, 0) = О, иг(х, у, 0) = (7 — х)(1 — у)ху, и(0, д,1) = и(х,0,1) = и(7, у, С) = и(х, 1,1) = О. Ответы. 64 1. и(х,у,1) = ~~г х г т 7(2й+ цз + (21+ цз(2й+ цз(21+ цз зяп(2й+ Цнхяп(21+ Цнд.
х збпге 2. и(х„у,1) = ~~г в=гг=! 576 х (2й + Цз(21 Цз 1яп(2й+ Ц вЂ” х зш(21+ Ц гу. 3 х япЗн 3. и(х, у,1) = ~~г — 1 =1 4096 (2й+ Цз(21+ Цз тг и 1яп(2й+ Ц вЂ” х яп(21 + Ц вЂ” у. 4 2 х яп4гг 4. и(х, у,1) = ~~~ а=гг=г 40000 (2й+ Цз(21+ Цз зяп(2й+ Ц вЂ” х яп(21+ Ц вЂ” у. 5 5 1024 х (2й+ Ц'(21+ Ц' 1 яп(2й + Ц вЂ” х зш(21+ Ц вЂ” д. 2 2 х зш5н 5. и(х,у,з) = ~~г е=гг=г х яп2гг 6. и(х, д,1) = ~ а=гг=г 2304 (2й -~- Цз + (21+ Цз(2й+ Цз(21+ Цз )з + (21+ цз 1 яп(2й + ц — х яп(21 + Ц вЂ” у. 3 2 х япгг~гг(2й+ 1 5.17. Задача Коши дяя воянового уравнения на прямой 237 7.и(х,у,1) = ~~ ь=г1=г 2304 (2~, Цз(21 ~ Цз' 1яп(21г + Ц вЂ” х яп~21 + Ц вЂ” у. 2 3 х вш3я 1024 8.
и(х, у,1) = 5 х ггг (21г+ Цз+ (21+ Цз(2Й ~- Цз(21+ Цз х ь4п4нф2й+ Ц -~ (21+ Ц 1яп(2в'+ Цнхвгп(21 + Ц вЂ” у. 4 9. и(х, у,1) = ~ 20736 х (2Ь + Цз(21 Цз 1 яп(21+ Ц вЂ” х яп(21 + Ц вЂ” у. 3 6 х яп 6я 10. и(х, у,1) = ~ ~~ в=1 1=1 ' 3136 х (21+ Цз(21+ Цз 1яп(21+ Ц вЂ” х в!п(21 + Цвгу.
7 х яп7н 5.17. Задача Коши для волнового уравнения на прямой Постлновкл злдлчи. Решить задачу Коши дяя волнового уравнения на прямой: им=а и.„, 1Е(О,оо), хЕ( — со,со), (Ц и(х, 0) = ив(х), х Е ( — оо, оо), иг(х,О) = иг(х), х Е (-оо, оо). Пллн ришнния, Общее решение уравнения (Ц имеет вид и(х,1) = 1(х д а1) + д(х — а1), (2) (3) (4) Дх) + д(х) = ив(х), ~'(х) — д'(х) = — иг(х). (5) где 1 и д произвольные дважды дифференцируемые функции (задача 5.2). Требуется найти конкретные функции 1' и д такие, что выполняются начальные условия (2) и (3). 1.
Из (2) и (3) получаем Гл.5. Уравнения математической физики 238 2. Решаем систему (5) относительно у(х) и д(х). Для этого дифференцируем первое уравнение. Получаем 1'(х) + д'(х) = ио(х), у'(х) — д'(х) = — иг(х) а Отсюда 1, 1 Г(х) = — ио(х) + — и1(х) 2 о д'(х) = — ио(х) — — и~(х) 2 " 2а Интегрируя эти равенства, получаем 1 1 Г ф(х) = — ио(х) + / иг(у) йу + См 2 2а / 1 1 д(х) = — ио(х) — — ! иг(у) 4у + Сг, 2 2а! о где Сг и Сг произвольные постоянные. 3. Используя (4), получаем хтав 1 1 и(х, е) = — ио(х л- а1) + — / и,(у) вву+ С1 + 2 2а / о х — ай 1 1 + — ио(х — а1) — — / и1(у) ад + Сг = 2 2а о хеае 1 1 1 2 = — ио(х+аг)+ — ио(х — а1)+ — / иг(у) е~у+С1+Сг.
2 2а г' х — ав 4. Из условия (2) следует, что ио(х) +С1+Сг = ио(х). Поэтому С1 + Сг = О. Записываем ответ х-~-ав 1 1 1 Г и(х, в) = — ио(х+ ав) + — ио(х — ав) + — / и1(у) Йд. (6) 2 2 2а,/ х — ав 5.17, Задача Коши длл волнового уравнения нв прямой 239 Замечание. Равенство (6) называется формулой Даламбера.
Примгр. Решить задачу Коши для волнового уравнения на прямой; ии = 4и*в, 1 Е (О, со), х Е ( — со, оо), и(х,0) = е ~, х Е (-сс,со), 1 ис(х,0) =, х. Е ( — оо,оо). 1+ хз' ПЛКН ПНШ8НИя. Общее решение уравнения (7) имеет вид (7) (8) (9) и (х, 1) = 7" (х + 21) + д(х — 21) (10) где 7 и д произвольные дважды диффсрснпируемые функции. Требуется найти конкретные функции 1 и д такие, что выполняются начальные условия (8) и (9).
1. Из (8) и (9) получаем 1(х) + д(х) = е 1 1 7'(х) — д'(х) =— 2 1-> хз (11) 2. Решаем систему (11) относительно 1(х) и д(х). Для этого дифференцируем первое уравнение. Получаем ~'(х) + д'(х) = — 2хе 1 1 ~'(х) — д'1х) =— Отсюда 1 1 7'(х) = — хе' * +— 4 1+хе 2 1 1 хе — в 4 1+хг Интегрируя эти равенства, получаем 1 в 1 7(х) = — е л + — агсв8х+ Сы 2 4 1 ~ 1 д1х) = — е — — агс18 х + Сз, 2 4 где С1 и Сз произвольные постоянные Гл. 5.
Уравнения математинееной 42изиии 240 3. Используя (10),получаем и(х, «) = — е ~хт~О + — агс«8(х + 2«) + Сд + 2 4 + — е «~ Π— — агс«8(х — 2«) + Сг. 2 4 4. Из условия (8) следует., что 2 2 е * +Сг+Сг=е Поэтому Сг -~ Сг = О. Ответ. и(х,«) = — е ~х 2 + — е 22 2 + — агс«8(х+ 2«) — — агс«8(х — 2«). 1ххг22122221 1 2 2 4 4 Ответы 1 1. и(х., «) =— 2 1 2. и(х, «) =— 2 1 3.
и(х,«) =— 2 1 1 1 1+ ( + «)г 2 1+ ( «)г' /зе)2 1 ~ з2~2 2 1 агс«ц(х + ъ'2 «) — — агс«ц(х -ь 1+ ъ'2 «)+ 2 1 1 + — агс«8(х — тг 2 «) — — агс«8(х + 1 — и'2 «). 2 2 1 агс«ц(х + «) + — агс«ц(х — «). 2 1 4. и(х, «) =— 2 Условия задач. Решить задачу Коши для волновоео уравнения на прямой. 1. ин — — и, , и(х, О) = 1«(1 + х ), и,(х, О) = О. х2 2. и22 = Зих„и(х,О) =е *, ие(х,О) = О.
3. ии хх 2и,, и(х,О) = агс«8х — агс«8(х+ 1), и,(х, 0) = О. 4. и22 — — и„, и(х, О) = О, ие(х., О) = 1«(1 + хг). 5. а,е = Зи„, и(х,О) = О, ие(х,О) = 1«'сЬх. 6. ии = 2ихх, и(х, 0) = О, и,(х, 0) = хе 2 2 ~г 7. ии хх их, и(х,О) = е, ие(х,О) = хе 8. ии = 2и,х, и(Х,О) = 1«(1+ Хг), ие(Х,О) = Х~22(1+ ХВ).
9. иее — — Зи,, и(х О) = 1«сЬх, и (х,О) = 1«(1+ хг). 10. ии = 5и „и(х,О) = е, и,(х, 0) = 1«сЬх. 5.18. Уравнение теплопроводности на отрезке 241 1 1 агсг8 сх-~-г 3 г агсв8 ех — ~ 3 г ъг3 ъг 3 — (х-ьгг2 гг~,г2 г~ — гх — гГ221~/2 4 4 1 г 1 г 1 г 1 г — — — — (хе О г2 — (х — 21 !2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1+ (х+ ъг21)2 2 1+ (х — ъг2 1)2 ъ2 3 ъг2 + — агсь8(х + ъ'21) — — — агс18(х — ъ'21)3.
12 12 5. и(х, 1) = 6. и(х,1) = 7. и(х, Г) = 8, и(х,1)— 1 1 1 1 +— + 2 сЬ(х — ъг31) ъ'3 агс$8(х + ъ'3 1) — — агсс8(х — ъ' 3 1). 6 1 г — е — гх — ггв г) 2 + 9. и(х, 1) = 2 сЬ(х+ ъг31) ъ' 3 +— 6 1 ~ ъсв гуз 2 10. и(х,1) = + — агсь и ехл — — агсг8 ех 5 5 5.18. Уравнение теплопроводности на отрезке ив=а и,, хс(0,1), 1с(О,сс), и(х, 0) = 7(х), х Е (0,1), (1) (2) и(Ог1) = и(1,1) = О, й 6 (О,сс). (3) ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Находим вспомогательные решения уравнения (1) в виде и(х,1) = Х(х)Т(1), причем и(О,г) = и(1,1) = О, т.е. Х(0) = Х(1) = О. Для этого подставляем функцию и(х,1) = Х(х)Т(1) в уравнение (1) и разделяем переменные. Получаем Хв Т' = Л = сопвь. Х азТ гб В.И. Афанасьев в др. ПостАВОВНА ВАЛАчи. Решить первую смешанную задачу для уравнения гггеплопроводности на отрезка Гл.б. Уравнения математической ф вини Поэтому функции Х(х) и Т(1) являются решениями связанных задач: а) Хн(х) — ЛХ(х) = О, Х(0) = Х(1) = 0; б) Т' — азЛТ = О.
3. Решаем задачу (а). Уравнение Хн — ЛХ = 0 имеет общее решение Х(х) = Сев Л' + 7Ле Из граничных условий Х(0) = Х(1) = 0 следует, что Гхп12 яи Л„= — ( — ), Х„= С„вгп — х, п = 1,2,... 1 2 4. Решаем задачу (б). При Л = Лн = — ( — ) имеем Т'+( ) а Т=О. Общее решение этого уравнения есть Т„=А„е (')'1, и=1,2,... 5. Итак, вспомогательные решения уравнения (5) имеют вид и„(х,г) = С„А„е ( ' ) в 'вгп — х = А„е ( ' ) " 'сйп ™х, 1 где А„ = С„А„ — постоянньш,которые предстоит найти. 6. Решение задачи (1) — (3) ищем в виде и(х, 1) = ~~ и„(х, 1) = ~~~ А„е ( ' ) ' ' вш — х.
н=1 и=1 (4) и(х,О) = ~~~ А„вгп — х = ге(х). Следовательно, 2 Г , хп А„= — ( 7'(х)згп — хсзр. о Эта функция является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным условиям (3) при любых А„, при которых ряд (4) сходится. Его можно дважды дифференцировать почленно. 7. 11аходим коэффициенты Ан такие, что и(х,г) удовлетворяет начальному условию (2). Полагая в (4) 1 = О, получаем 8.18. Уравнение теплопроводноети на отрезке 243 Замечание. При каждом фиксированном 1 ряд (4) является разложением и(л,1) по системе собственных функций оператора Лапласа на отрезке (0,.1): < и„= Ли, и е (ОД), и(0) = и(1) = О. Задача (а) состоит в отыскании этих собственных функций и соот- ветствующих им собственных значений Л.
Коэффициенты при 1 в (4) являются собственными значениями Л. Пример. Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности на отрезке: и,=и„, хЕ(0,1), 1Е(О,со), и(х, 0) = ейп 2пт, л Е (О, 1), и(0.,1) = и(1,1) = О, 1 Е (О, со). (5) (6) (7) РЕШЕНИЕ. 1. Находим вспомогательные решения уравнения (5) в виде и(х,1) = Х(т)Т(1), причем и(0,1) = с(1,1) = О, т.е. Х(0) = Х(1) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
