Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 32
Текст из файла (страница 32)
ис —— 16Ьи, О < г < 5, » Е (О, со), и(т, О) = 25 — тз, 6. и, = 9Ьи, О < т < 6, » Е (О сс),и(г,О) = 36 — тз, 7. ис — — Ьи, О < т < 7, Х Е (О, сс), и(т, О) = 49 — т~, 8. ис = ЗЬи, 0 < т < 2, » Е (О, сс), и(т, 0) = 4 — тз, 9. и~ = бали, О < г < 3, » Е (О, со), и(г, О) = 9 — тз, 10. ие — — 7Ьи, О < г < 8, » Е (О, сс), и(т, О) = 64 — тз, и(3,») = О. и(4, ») = О. и(2,1) = О. и(1, ») = О. а(5,») = О.
и(6,») = О. и(7, Х) = О. и(2, ») = О. и(3,») = О. и(8,») = О. 5.20. Задача Коши для уравнения таепяопроводноетпи на прямой 251 „,, рп. Фрп) 10032(Стп) 5, и(т,С) = т — — — — е а' Уо~ — г). ;~; р'.Фр-) ) 5 ) С- 14412(Се„) '.,о (С~„) Стзое(С2 ) 6 ч 196Х~Сдтп) и' т т'рп 7. 24(тС) = 2 2 2 Е 44 да ( Г4. ~, рз д~(~п) ) 7 , Стддт'(Рп) , р!.З~(рп) ' 3 5.20. Задача Коши для уравнения теплопроводности на прямой ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Решитаь задачу Коши дяя уравнения тпепяопроводностпи на прямойй ит = а Ьи,.„х Е ( — оо, -поо), С Е (О, +си), (1) и(х,О) = е па х Е ( — оо,+ею).
(2) Пллн рншинин. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой определяется формулой Пуассона: и(х, С) = / е. ' 4.т е ~4 "'ДС де,. (3) 2~/ 2С ) Таким образом, задача сводится к вычислению интеграла (3). 1. Делаем замену переменной в интеграле (3): с — х 2у азС = У. Получаеьл С) С вЂ” у — ат2 Гаату-~-х'т -' ДС2еаайу-'~х) д тттп / Гл. б. Уравнен я математической угизиии 252 2. Выделяя полный квадрат в выражении — ув — а(24а~1у+ х) + (3(24аЧу+ х) и используя равенство .~- вг г е ди = яг'я, находим искомое решение *го -вр и(х,1) = Е гяг гг и записываем ответ.
и,=и „хЕ( — со,+со), 1Е(0,+ос), и(х, 0) = е х Е ( — оо, +ос). (4) Рншннии. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности определяется формулой Пуассона (3). При а = 1, о = 0 имеем -~-со и(х,1) = / е е г его. 2ягЯ Таким образом, задача сводится к вычислению интеграла 1. Делаем замену переменной в интеграле (6): ~ — х = у, = г1у, е = 2 Ау+ х. тг41 иг41 напрямой иД= — 1 (6) (6). Получаем 1 Г и(х,е)= — / е" е Я~и *г1у. л/ 2.
Выделяя полный квадрат в выражении — у — 2ч'еу — х = — (у+ худ) + 1 — х, получаем -Ни~-йг) г — я г г — я — (ги;ггИ =- l г — г =е Ответ. и(х,1) = е' Примир, Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности 5.20. Задача Коши длл уравнения твплопроводноети на пряззой 253 УСатОВИЯ 3яс~яЧ. Решить задачу Коши для уравнения 'теалопро- водности =2и „ = Зи = 4и„, = и„, =Зи „ =5и „ = 2и„, =и,, =4и „ = Зи„, Ответы. 1. и(х, 1) = 2. и(х,4) = 3. и(х, 1) = 4.
и(х,4) = 5. и(х,4) = 6, и(х,у) = 7. и(х, 4) = 8. и(х,З) = 9, и(х, З) = 10. и(х,с) = Т+ 41 газ* — 232 г 1441 чТ +241 1 ЗЗСм-.34' 4 - 3 е 1 341 — Хг — Х иТ +641 1431 3/1 +81 31Сг*.т34 2 е иТ+ 121 Е 14331 — ~ — — Зх — х. иТ+604 1 21Св. 1П' 14-вгз — 43 -~-х. иТ+321 4Я. 23~ 2 — — -е чТ+ 41 1 е '-'в' — — х — х иТ+ 81 1 3342шзхгр 1 2 Е 1М 3* ъТ+ 41 1, иг 2, иг 3.
иг 4, из 5. и, 6, из 7. из 8,и, 0 и 10, из х Е ( — со, +со), х Е ( — сю, +со), х Е ( — со, +со), х Е ( — сс, +со), х Е ~ — сог+со), х Е ( — со, +со), х Е ( — со, +со), х Е ( — со, +со), х Е ( — со, +со), х Е ( — сс, +со), 1 Е (01+со), 1 Е (01+сю), 4 Е (О, +со), Х Е (01+сю), 1 Е (О, +со), Х Е (О, +сю), й Е (О, +ею), М Е (О, +со), й Е (О, +со), Х Е (01 +сю), и(х,О) и(х,О) и(х,О) и(х,О) и(х,О) и(х,О) и(х,О) и(х,О) и(х,О) и(х,О) — х — Зх е е — Зх Ех г е — 4х — Зх 2 е — Зх -~-Зх 2 е — х -~-Зх е — Зх — х 2 е — 4х их 2 е — х -~-Зх г е — х /2 — х е — х /Зб-Зх Глава 6 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ При изучении темы ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ вы познакомитесь с различными примерами вероятностных моделей случайных явлений (экспериментов): классической вероятностной моделью, геометрическими вероятностями, схемой испытаний Бернулли, простейшим потоком событий.
Вы научитесь вычислять вероятности случайных событий (суждений о результатах случайного эксперимента) используя вероятности так называемых элементарных исходов или используя формулы, позволяющие по вероятностям отдельных событий находить вероятности их комбинаций. При этом вы познакомитесь с важнейшим понятием теории вероятностей — понятием независимых случайных событий. Вы научитесь анализировать случайные величины (обобщенные числовые характеристики случайного эксперимента), находя их распределение (вероятностное описание) или некоторые усредненные характеристики, такие, как математическое ожидание и дисперсия. Вы познакомитесь с основными распределениями случайных величин: Пуассона, Коши, Лапласа, равномерным, нормальным, показательным, биномиальным, геометрическим и т.д.
Вы научитесь находить характеристические функции случайных величин и по ним математическое ожидание и дисперсию. Вы научитесь анализировать случайные векторы, находя их распределение или такие усредненные характеристики, как вектор рассеяния или ковариационную матрицу. Вы научитесь анализировать числовые функции случайных величин или векторов. Наконец, вы научитесь вычислять вероятности, связанные с суммами большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин, используя центральную предельную теорему.
Пакет РЕШЕБНИК.ВМ поможет вам выполнить вычисления и предоставит необходимую справочную информацию. В частности, в пакете РЕШЕБНИК.ВМ можно легко вычислить значения стандартных функций, часто используемых при решении вероятностных задач. бд. Классическая вероятностная модель 255 6.1. Классическая вероятностная модель Постановка зядячн. Проводится некоторый случайный эксперимент, в котором число элементарньх исходов конечно и все они равновозмохсны (бросание нескольких монет или игральных кубиков, приобретение некотороео числа лотерейных билетов, выбор нескольких карт из колоды и гп.п.), Найти вероятность некоторого случайного события А, связанного с этим экспериментом.
Пллн гипнния. При конечном числе равновозможных элементарных исходов вероятность события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Оно характеризуется тем,что всякая реализация случайного эксперимента может быть описана одним и только одним элементарным исходом. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. При решении задач равновозможность элементарных исходов следует из соображений симметрии или предполагается, что она гарантирована методикой проведения случайного эксперимента.
На практике равновозможность элементарных исходов случайного эксперимента проверяется анализом его результатов с помощью математической статистики. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к наступлению события А (благоприятные исходы). Критерием отбора служит описание события А. 4. Подсчитываем общее число элементарных исходов Х (число элементов пространства элементарных исходов). Это делается непосредственно или с помощью комбинаторики.
5. Подсчитываем число элементарных исходов Хл, благоприятствующих событию А. Это делается непосредственно или с помощью комбинаторики. 6. Согласно классическому определению вероятности Р(А) = —. дл Х Пгимгг. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что число выпавших очков на одном кубике в два раза больше, чем на другом. Рглднниг.. При конечном числе равновозможных элементарных исходов вероятность события равна отношению числа элементарных 256 Гл. 6.
Теория вероятностей исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Пронумеруем кубики. Тогда элементарный исход случайного эксперимента есть упорядоченная пара чисел (пи из), где пь число выпавших очков на первом кубике и пз на втором. Все элементарные исходы удобно изобразить в виде таблицы (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов.
Поскольку кубики симметричны, сделаны из однородного материала и бросаются надлежащим образом, все элементарные исходы равновозможны. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к наступлению события А (благоприятные исходы). Для интересующего нас события А благоприятны такие исходы (пипг), при которых п1 = 2пз или 2пе = пз. Очевидно, что это исходы (1,2), (2,4), (3,6), (2,1), (4,2) и (6,3).
4. Подсчитываем общее число элементарных исходов Х (число элементов пространства элементарных исходов). Очевидно, что Де = 36. 5. Подсчитываем число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Очевидно, что Дел = 6. 6. Согласно классическому определению вероятности Р(А) = — = —. Ответ. Р(А) = 6/36. Замечание. Если кубики неразличимы, то кажется вполне естественным считать элементарным исходом неупорядоченную совокупность двух выпавших чисел, записывая их, например, по возрастанию.
Однако в этом случае элементарные исходы не будут равно- возможны (как показывает оцыт, исход (1,2), например, встречается примерно в два раза чаще, чем исход (1,Ц). Условия задач. Бросаются два игрояьньх кубика. Найти вероятность указанного события. 1. Сумма числа очков равна 7. 6.2. Гипергеометрическал формула 257 2. Сумма чисяа очков больше 3. 3. Сумма числа очков больше 4, но меньше 7. 4. Модуль разности числа очков равен 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
