Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 33
Текст из файла (страница 33)
5. Модуль разности числа очков больше 1. 6. Произведение числа очков не больше 10. 7. Большее число очков больше 4. 8. Меньшее число очков больше 4. 9. Число очков хотя бы на одном кубике четно. 10. Число очков на обоих кубиках нечетно.
Ответы. 1. 1/6. 2. 11/12. 3. 1/4. 4. 2/9. 5. 5/9. 6. 19/36. 7. 4/9. 8. 1/9. 9. 3/4. 10. 1/4. 6.2. Гипергеометрическая формула ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Имеется некоторое множество В, состоящее из п элементов. Множество В по некоторому признаку разделяется на два подмножества А и В, причем подмножество А ~ мест пл элементов, а подмнолсество  — - пп элементное (пл + пц = п).
Нэ В наудачу выбираются т (т < и) элементов. Найти вероятностпь того, что среди выбранных т элементов ты или тз,..., или ть (т, < пз) будут принадлежать подмножеству А. ПЛАН РЕШЕНИЯ. При конечном числе равновозможных элементарных исходов вероятность события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов.
Решим задачу при к = 1, а затем при й ) 1. 1, к=1. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Элементарный исход это произвольное подмножество из В, содержащее т элементов. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае равновозможность элементарных исходов определяется методикой выбора тп элементов. Предполагаем, что она гарантирует равновозможность элементарных исходов. Заметим, что при неудачной методике выбора исходы могут не быть равновозможными. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к наступлению события (благоприятные исходы). 17 В.И.
Афанасьев и др. 258 Гл. 6. Теория вероятностей Для этого используем признак, по которому происходит разделение множества Р на два подмножества А и В. Благоприятные исходы формируются путем произвольного выбора т! элементов нз множества А и произвольного выбора гп — гп! элементов из множества В.
4. Подсчитываем общее число элементарных исходов Х !гчисло элементов пространства элементарных исходов). Поскольку элементарный исход — это произвольное подмножество из Р, содержащее т элементов, число элементарных исходов равно числу таких подмножеств, т.е. ! Х=СВ = т т! (и — т)! 5. Подсчитываем число элементарных исходов ггг(т!), благоприятствующих заданному событию. Для этого определяем числа элементов в множествах А н В, т.е. числа пд и ив (пд + пв = и). Благоприятные исходы формируются путем произвольного выбора т! элементов из множества А, состоящего из пд элементов, и произвольного выбора т — т! элементов из множества В, состоящего из ив элементов. Поэтому число благоприятных исходов равно Х(тг)=С 'С 6.
Обозначим Р(т!) вероятность того, что среди выбранных т элементов ровно т! будут принадлежать множеству А. Согласно классическому определению вероятности Л'(тг) Сп„' Сп, рг ) ! ПА ПВ Х С„ Эта формула называется гипергеометрической. П. Й>1. Число благоприятных исходов равно Х(тг) + Х(тз) +... + М(ть). Поэтому искомая вероятность равна Х!гт!) + !гг!тз) +... + гг'(ть) д! Стг Ст — тг + СтгСт — пгг + ! СтгСт — тг ПА ПВ ПА ПВ гА ПВ С П 6.2. Гипергес иетричесиая формула Замечание.
Коли й велико, то удобно перейти от интересующего нас события к противоположному, учитывая, что сумма вероятностей этих двух событий равна 1. П1'имкр. Найти вероятность того, что среди шести карт, наугад взятых из колоды в 36 карт, окажутся ровно три фигуры черного цвета. Рншпппп. При конечном числе равновозможных элементарных исходов вероятность события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов. 1.
Определяем пространство элементарных исходов. Элементарный исход это произвольный набор 6 карт из колоды в 36 карт. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае равновозможность элементарных исходов определяется методикой выбора карт. Предполагаем, что она гарантирует равновозможность элементарных исходов. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к наступлению события (благоцриятные исходы). Признак, по которому карты относятся к множеству А, — черная фигура, т.е. туз, король, дама, валет треф либо пик. А содержит только эти карты, а В все остальные. Благоприятные исходы формируются путем произвольного выбора т1 = 3 карт из множества А и произвольного выбора т — пт1 = = 6 — 3 = 3 карт из множества В.
4. Подсчитываем общее число элементарных исходов Д7 (число элементов пространства элементарных исходов). Поскольку элементарный исход — это произвольный набор из т = 6 карт и полное число карт равно 36, число элементарных исходов равно числу подмножеств из 6 элементов в множестве из 36 элементов, т.е. 36! 31 32 33 34 35 36 6!(36 — 6)! 1. 2 3. 4 5. 6 5. Подсчитываем число элементарных исходов Х(т1), благоприятствующих заданному событию.
Для этого определяем числа элементов в множествах А и В, т.е. числа пл и по (пл+ пв = и). Имеем пл = 8 (туз, король, дама, валет треф и пик) и пв = 28 (пл + пв = 8 + 28 = 36 = и). 17 260 Гл. 6. Теория оероятнноетей Благоприятные исходы формируются путем произвольного выбора тз — — 3 карт из множества А, состоящего из пя = 8 карт, и произвольного выбора т — еп1 = 6 — 3 = 3 карт из множесгва В, состоящего из пн = 28 карт. Поэтому число благоприятных исходов равно з з 8! 28! 6.
Согласно классическому определению вероятности Р(3) Х(3) Св Сзз 183456 546 = 0.0942. Х Сзвв 1947792 5797 Ответ. Р(3) = Се~Се~в/Саде = 0.0942. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. 1. Среди Х лотерейных билетов ЛХ выигрышных. Найти вероятность того, что из и (п < Де) купленных билетов ровно т (т < М) билетов будут выигрьппными. 2. В игре „Спортлото" участник отмечает на карточке 6 из 49 видов спорта. Найти вероятность того, что он угадает по крайней мере три из шести видов спорта, полученных в результате розыгрыша. 3. Найти вероятность того, что среди шести карт, наудачу взятых из колоды в 36 карт, будет ровно два туза. 4. Найти вероятность того, что среди шести карт, наудачу взятых из колоды в 36 карт, будет пять карт одного цвета, а шестая— другого.
5. В ящике имеются 10 белых и 15 черных шаров. Наудачу извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них будет ровно два белых шара. 6. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают семь костей. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере одна кость с шестью очками. 7. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают семь костей. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы два дубля. 8. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают семь костей. Найти вероятность того, что суммарное число очков на каждой кости меньше 7. 9.
Студент в состоянии удовлетворительно ответить на 20 билетов из 25. Преподаватель разрешает один раз заменить не понравившийся студенту билет на другой. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен. 261 6.3. Размещение шаров по ящикам 10. Из студенческой группы, в которой 10 студентов и 12 студенток, для анкетирования произвольным образом отбирают 5 человек. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна студентка. Ответы.
1. СмС"', "' /С~"„. 2. (С~ьСл~г + Св~С1гз + СвС!!з + 1)/Свв. 3. Сл!Сг~г/Сг~в. 4. 2С!вС!в!!Се~в. 5. С!вС!ь/Сг~ь. б. 1 — Сг~!/Сгв. 7. 1 — (Сг~!+С!Се~!)/Сгв. 8. С!ы'Сгв. 9. 1 — Сь/Сгь. 10. 1 — С;в!!Сгг. 6.3. Размещение шаров но ящикам ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Имеетпся г шаров, которые наудачу размеи!анппся по и ящикам, причем каждый ящпк может вместить сразу все шары. Требуется найти вероятность некоторого случайного собьппия А, определяемого распределением шаров по ящикам. ПЛАН !'ЕШЕНИЯ.
При конечном число равновозможных элементарных исходов вероятность события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Пронумеруем все ящики и все шары. Тогда элементарным исходом рассматриваемого случайного эксперимента является набор чисел (1!, ьг,..., ь„), где !,! -- номер ящика, в котором оказался первый шар, 1г — номер ящика, в котором оказался второй шар, и т.д.
Очевидно, что каждое из чисел ь!, ьг,..., ь„может принимать любое натуральное значение от 1 до 'и. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. Предполагается, что она гарантирована методикой проведения случайного эксперимента, т.е. размещения шаров по ящикам. 3. Отбираем тс элементарные исходы, которые приводят к наступлению события А (благоприятные исходы). Критерием отбора служит описание события А.
4. Подсчитываем общее число элементарных исходов Дг (число элементов пространства элементарных исходов). Число элементарных исходов равно и", поскольку на каждой из г позиций в наборе (ь!, ьг,..., ь,) может быть любое из и чисел 1,2,...,п и эти позиции заполняются независимо друг от друга. 5. Подсчитываем число элементарных исходов Хл, благоприятствующих событию А. Это делается непосредственно или с помощью комбинаторики.
262 Гл. 6. Теория вероятпноетей 6. Согласно классическому определению вероятности Р(А) = Пгимег. Имеется и ящиков и г шаров. Шары наудачу размещаются по ящикам. Найти вероятность того, что в 1-ый ящик попадет й шаров, а в ящики с номерами 1, 2,...,1 — 1 попадет в совокупности 1 шаров (Й + 1 < г). 1'ешение. При конечном числе равновозможных элементарньех исходов вероятность события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
