Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Простейший поток событий 281 6.10. Простейший поток событий ПОСТА11ОВКА ЗАДАЧИ. Найти вероятность случайного события, связанного с чис,лом событий простейшего потока на определенно.м временном промежутке. ПДАИ ркшкния. Поток событий называется простейшим, если он обладает тремя свойствами: 1) вероятностные характеристики потока событий на временном промежутке )11,1з) зависят от длины промежутка, но не зависят от его начала; 2) вероятность наступления более одного события за время Ь1 есть о(Ы); 3) поведение потока событий на любом временном промежутке )11, 1з) не зависит (в вероятностном смысле) от его поведения до момента времени 11. Примерами простейшего потока событий являются телефонные звонки в какое-нибудь учреждение, дорожно-транспортные происшествия, прибытие автобусов определенного маршрута на остановку и т.п.
Важной характеристикой простейшего потока является его интенсивность Л среднее число событий за единицу времени. Пусть де — число событий в простейшем потоке за время 1, тогда аь Р(де = к) = —,е, й = О, 1,2, где а = Л1, Л интенсивность потока. Пусть т — время наступления первого события в простейшем потоке, тогда Р(т > 1) = Р(де — — О) = е м, 1 > О. Замечание. Распределение Пуассона встречается при рассмотрении распределения определенных объектов в пространстве, если это распределение обладает свойствами, аналогичными Ц вЂ” 3). Примгьг. В течение недели на кафедру присылают в среднем 6 писем, причем 2 из них — из-за рубежа. Найти вероятность того, что в течение 2 недель будет прислано 13 писем, причем 5 из них из-за рубежа.
РВШВИИГ,. Имеется два независимых простейших потока писем с интенсивностями Л1 = 4 (внутренние) и Лз = 2 (зарубежные). Пусть де и де число событий, происшедших за время 1 в первом и втором Гл. 6. Теория оероятоноетей 282 потоках соответственно. Нас интересует вероятность случайного со- бытия (дг = 8, рг = 5). Используя формулу (1), получаем 8в Р(дг = 8) =, е в = 0.1396, (2) 4' Р(рг —— 5) = — -е ~ = 0.1563 5! ' (3) (приближенные значения вероятностей можно получить из таблицы 5.3 в книге Л.Н. Большева и Н.В.
Смирнова „Таблицы математической статистики", Мл Наука, 1983 или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ). Поскольку случайные события (рг = 8) и (дг = 5) независимы, то из соотношений (2) и (3) находим искомую вероят- ность Р(1ег =" дг = 5) = Р(рг = 8)Р(дг = 5) — 0.1396 0.1563 — 0.0218. Ответ. Р(рг = 8, дг = 5) - 0.0218.
УслОвия зАдАч. 1. В некотором городе среднее число дорожно-транспортных происшествий за сутки равно 5. Найти вероятность того, что за два дня будег 10 дорожно-транспортных происшествий. 2. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7.5 секунд испускало в среднем 3.87 ее-частиц. Найти вероятность того, что за одну секунду это вещество испустит хотя бы одну а-частицу. 3.
В справочное бюро звонят в среднем 30 раэ за час. Найти вероятность того, что первый звонок после начала смены раздастся не позже, чем через 1 минуту. 4. В справочное бюро звонят в среднем 30 раз за час. Найти вероятность того,что второй звонок после начала смены раздастся не раньше, чем через 1 минуту, и не позже, чем через 2 минуты. 5.
Автобусы некоторого маршрута приходят на определенную остановку в среднем с интервалом 15 мин. Найти вероятность того, что время ожидания автобуса будет не менее 20 мин. 6. В некоторое количество теста высьшается 1000 изюминок, после чего все тщательно перемешивается. Из этого теста изготавливается 100 булочек. Найти вероятность того, что в определенной булочке будет ровно 10 изюминок. 283 6.11. Формулы полной вероятности и Байеса 7. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 80.
Берется на пробу 1 дмэ воздуха. Найти вероятность того,что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб. 8. Книга в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на определенной странице будет не менее трех опечаток. 9. Сообщения в офис фирмы поступают либо по телефону, либо по факсу. В среднем за час поступает 20 сообщений, причем по телефону в три раза чаще, чем по факсу. Какова вероятность того, что в течение часа число сообщений по телефону будет больше 15, а по факсу — меньше 5. 10. В течение восьмичасового рабочего дня на фирму в среднем поступает 10 заявок на производство определенного товара из Москвы и 5 заявок — из Санкт-Петербурга. Найти вероятность того, что в течение часа работы поступит хотя бы одна заявка из Санкт- Петербурга и не поступит ни одной заявки из Москвы. Ответы.
1. 0.1251. 2. 0.4031. 3. 0.3935. 4. 0.1740. 5. 0.2636. 6. 0.1251. 7. 0.0769. 8. 0.0803. 9. 0.1903. 10. 0.1331. 6.11. ~формулы полной вероятности и Байеса ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим ситуаиию, ко~да вслед эа некоторым случайным эксперименпволв проводится другой случайный эксперимент, основанный на результатах первого. 1. Найти вероятность некоторого случайного события А, свяэанноео со вторым экспериментом. 2. Известно, что событие А произош.ло.
Найти вероятность таого, что первый эксперимент завершился определенным исходом. ПЛАН РВШВНИЯ, Задача 1. Введем группу непересекающихся случайных событий Ны Нз,... ..., Н„, которые однозначно описывают всевозможные исходы первого эксперимента (полная группа событий). Пусть Р(А~Н,) — условная вероятность события А при условии, что первый эксперимент завершился событием НВ 1 = 1,..., и (знание Н; позволяет однозначно описать второй эксперимент; Р(А~Нв) является вероятностью события А в этом эксперименте). Вероятность события А находится по 284 Гл. 6. Теория вероятностей формуле полной вероятности Р(А) = ~Р(Н,)Р(А~Н,).
Задача 2. Найти условную вероятность события Н; (при некотором 1) при условии, что событие А произоп1ло, т.е. Р(Н;~А). Эта вероятность может быть найдена по формуле Байеса Р(Н1)Р(А~Не) ~- Р(Н„)Р(А~Н„) 1=1 ПГИМЕГ. Бросается игральный кубик. Пусть т — число выпавших очков. Затем осуществляется т выстрелов по цели с вероятностью попадания при одном выстреле р. 1. Найти вероятность того,что цель будет поражена. 2. Известно, что цель поражена; найти вероятность того, что т = 6. РЕШЕНИЕ.
Задача 1. Первый случайный эксперимент бросание игрального кубика. Введем случайные события Н, = 1свыпало пе очков), т = 1,...,6. Эти события не пересекаются и однозначно описывают всевозможные исходы первого эксперимента. Второй случайный эксперимент— зто т испытаний Бернулли с вероятностью успеха р (успех — попадание в цель). Рассмотрим случайное событие А = (цель поражена), связанное со вторым экспериментом. По формуле полной вероятности Р(А) = ~ Р(Н )Р(А~Н ). о =1 Очевидно, что Р(Н ) = 1/6 при всех т = 1,...,6.
Вероятность Р(А~Н,н) есть вероятность того, что в т испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р число успехов будет не менее одного, поэтому, переходя к противоположному событию, получаем, что Р(А~Н ) = 1 — Р(А~Н ) = 1 — д'", где о = 1 — р. Итак, 1 Р(А) = ~ — (1 — (1 — р)т). 6 т=1 285 6.11. Формулы иолной вероятности и Байеса Задача 2. Известно, что событие А произошло.
Нас интересует Р(Не~А). По формуле Байеса Р(На~А)— 1(1 (1 р)т) 2 (1 (1 р)т) Ответ. 1. ~ — (1 — ( — р)™); 2. (1 — (1 — р) )/ ~(1 — (1 р) ). 6 о~=1 со=в УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. 1. В альбоме 10 чистых и 12 гашеных марок. Из альбома наудачу иэвлекакзтся три марки и подвергаются гашению, а затем возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются две марки. а) Найти вероятность того, что эти две марки чистые, б) Известно, что эти две марки чистые; найти вероятность того, что первоначально извлеченные три марки чистые.
2. В альбоме 6 чистых и 10 гашеных марок. Из альбома изымаются три наудачу извлеченные марки. После этого из альбома вновь наудачу извлекаются две марки. а) Найти вероятность того, что эти две марки чистые. б) Известно, что эти две марки чистые; найти вероятность того, что первоначально изъятые марки гашеные. 3. В альбоме 8 чистых и 6 гашеных марок. Из альбома наудачу извлекаются три марки и заменяются на чистые. После этого из альбома вновь наудачу извлекаются две марки. а) Найти вероятность того, что эти две марки чистые. 6) Известно, что эти марки чистые; найти вероятность того,что первоначально извлеченные три марки гашеные. 4.
В первом ящике 3 белых и 5 черных шаров, а во втором 6 белых и 8 черных. Из первого ящика во второй перекладываются два наудачу извлеченных шара. После этого из второго ящика наудачу извлекается один шар. а) Найти вероятность того, что он белый. б) Известно, что этот шар белый; найти вероятность того, что извлеченные из первого ящика шары белые. 5. В каждом из трех ящиков и белых и ти черных шаров.
Из первого и второго ящиков наудачу извлекается по одному шару и кладется в третий ящик. Затем из третьего ящика извлекается один шар. а) Найти вероятность того, что он белый. б) Известно, что этот шар белый; найти вероятность того, что шары, извлеченные из первого и второго ящиков, белые. 286 Гл. 6. Теория верояпгноетей 6. В каждом из трех ящиков п белых (п > 2) и т черных шаров. Из первого ящика в третий перекладывают два наудачу выбранных шара, а из второго ящика в третий перекладывают один наудачу взятый шар. Затем из третьего ящика извлекается один шар. а) Найти вероятность того, что он белый. б) Известно, что этот шар белый; найти вероятность того, что из первого ящика во второй переложили два белых шара.
7. Из чисел 1, 2,..., 10 наудачу выбирается одно число. Пусть это будет иг. А затем из чисел 1, 2,..., т наудачу выбирается одно число. а) Найти вероятность того, что это число будет равно 8. 6) Известно, что это число 8;найти вероятность того,что т = 9. 8. Из чисел 1, 2,..., 10 наудачу выбираются два числа. Пусть это будут т1 и тг (т1 ( тг). Затем из чисел тм т1 + 1,..., тг наудачу выбирается одно число. а) Найти вероятность того, что оно равно 9. б) Известно, что это число 9; найти вероятность того, что тг = 10.
9. Из чисел 1,2,..., 10 наудачу выбирается одно число. Пусть это будет т. Затем на отрезке [О,т] наудачу выбирается точка с. а) Найти вероятность того, что е > 8. б) Известно,что 4 > 8;найти вероятность того, что иг = 9. 10. Бросается игральный кубик. Пусть тп — число выпавших очков. Затем осуществляется 2т выстрелов по цели с вероятностью попадания при одном выстреле, равной р. а) Найти вероятность того, что число попаданий равно двум. 6) Известно,что число попаданий равно двум;найти вероятность того,что т = 3.
Ответы. 1. а) ~С]оС;г Сго л/(СгзгСгг); б) СгоСг/ ~ С]оСгзг Сш и з 3 2. а) ~~ СоСгзо '~~с гДС~~~С~~~); б) Сг~оС~о/ ~ ~С~сС1~о 'Сог з 3 3. а) ~~ СзСоз гСг~г,/(Сг~еСге); б) Со~Сг~г/ ~~ СзСоз гСгг *=о е=о г г 4. а) ~~ С,*С,' '(6+г)/(16Сз); б) 8Сз/~СзСз' '(6+!). =о .=о 5. а) [птг + 2пт(п + 1) ~- (и + 2)пг17[(и + иг) г(п + иг + 2)] б) (и + 2)пг/[птг + 2пт(п + 1) + (п + 2)пг].
6.12. Распределение дискретной случайной величины 287 6. а) )!С~ тп + С!С! т(п+ 1) + Сгт(п + 2) + С~ п(п -ь 1)+ +С„'С,'„п(п + 2) + С„'п(п + 3)~ )' (Сг,„(п + т)(п + т + 3)); б) (Сэт(п + 2) + Сап(п + 3)] / !С~„тп + С„'С!,т(п + 1)+ +С~зт(п + 2) + Сг п(п + Ц + С!С! п(п+ 2) + Сзп(п + 3)~. в в 16 ) Р ~ ~С2 2(ш — !), б) Сг 4 ~ ~~С2 2(ьь — !) вЧ г 2нЧ ~п=! т=! 6.12. Распределение дискретной случайной величины ПОСТАНОВКА ЗАЯАЧИ. Дискретная случайная величини Ц задана как некоп!ороя 'числовая функция от конечного числа элементарных исходов некоего случайного экс!ьеримента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
