Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 39
Текст из файла (страница 39)
1. Находим ряд распределения случайной величины и. Элементарным исходом рассматриваемого случайного эксперимента является число вьшавших очков и 1 = 1,...,6. Случайная величина и на 1-ом элементарном исходе принимает значение ш1п(1, 3). Составляем таблицу элементарных исходов и значений и Поскольку все элементарные исходы рзвновозможны, то ряд распределения случайной величины и имеет вид 2. Находим математическое ожидание Му дискретной случайной величины у по формуле (1). Получаем 1 1 4 15 5 Му=1 — +2 — +3 6 6 6 6 2 3. Находим дисперсию Оу дискретной случайной величины у по формуле (3). Получаем Оп= 1 — — — + 2 — — — + 3 —— Ответ. Мп = 5/2, Оп = 7/12. 2.
у = (~ — 3)з. 4. у = ~~ — 3~. Условия задач. Бросается тическое ожидание и дисперсию число выпавшит очков. 1. ч = 52 — 11( + 30. 3. и = ~з — 75+ 12. игральный кубик. Найти иателваслучайной величины у((), где (— бнй. Числовые характеристики непрерывной случайной величины 295 6.
г1 = (ф — 2)(5 — 3)(5 — 4). 8. г1 = в1п (к(,Г2). 10. гг = в1п (к(с — 3) гб]. 6.15. Числовые характеристики непрерывной случайной величины ПоотяновкА зядАчи. Найти математическое ожидание МЧ, дисперсию Огг и вероятность Р(гг > с), где с — постоянная, непрерывной случайной величины гг с .заданной плогпностью вероятностей р(х). ПлАн гншнния. Математическим ожиданием Мп непрерывной случайной величины гг называется число, определяемое формулой Мгг = ( хр(х)г1х (предполагается, что интеграл сходится абсолютно). Дисперсией Огг случайной величины гг называется число, определяемое формулой ОЧ = М(Ч вЂ” МЧ)'.
(2) Для нахождения дисперсии в случае, когда гг является непрерывной случайной величиной, используется формула СС Л вв Оп = / (х — т) р(х)йх = / х р(х)дх — т~, (3) где т = Мгь Из определения плотности вероятностей следует,что -~-вв Р(гг > с) = / р(х)дх. в (4) 5. г1 = шах(г, 4). 7. и = (~ — 1)(( — 2)(~ — 5)(~ — 6). 9, и = сов(ксгг2). Ответы. 1. Мг1 = 20гг3, Ог1 = 949,г18. 2. 3. Мп = 8/3, Оп = 56гг9.
4. 5. МЧ = 9г2, Огг = 7г12. 6. 7. Мг1 = 4, Ог1 = 32. 8. 9. МЧ = -1гг6, Оп = 17г'36. 10. Мп = 19г6, Оп = 329г36. Мп = з,г2, Огг = П,г12. Мгг= 4, Оп= 92. Мгг = 1ггб, Огг = 17гг36. Мп = 1ггб, 09 = 17гг36. Гл. 6. Теория вероятностей Замечание. Если плотность р(х) задана с точностью до некоторого параметра, то его значение можно найти из соотношения р(х)Ах = 1. 1. Находим аналитическое выражение для плотности вероятностей р(х) случайной вели"шны и. 2. Находим математическое ожидание Мц непрерывной случайной величины и по формуле (1). 3. Находим дисперсию Оп непрерывной случайной величины ц по формуле (3).
4. Находим Р(с > с) по формуле (4). Пример. Найти математическое ожидание Мпо дисперсию Оп и вероятность Р(п > а/2) непрерывной случайной величины и с плотностью вероятностей р(х), заданной графически (рис. 6.6). Рис. 6.6 РЕП!ЕНИЕ. 1. Находим аналитическое выражение для плотности вероятностей р(х) случайной величины и. Парабола р = р(х) имеет корни а и — а, позтому р(х) = А(х — а)(а+а), х 6 [ — а,а), где А отрицательная постоянная. Находим А из соотношения р(х)е1х = 1.
6.!й. Числовые характеристики непрерывной случайной величины 297 Получаем о З ч а l аз Следовательно, 3 А=— 4аз Итак, р(х) = — (х — а ), х Е ~ — а,а); 2 2 4аз при остальных х р(х) = О. 2. Находим математическое ожидание Мп непрерывной случайной величины и по формуле (1). Получаем хх Я 3 4 2 г, МО = / хр(х)с1х = — — / х(х — а )ах = — — ~ — — — / = О. 2 2 4аз,/ 4аз~ 4 2 / 3. Находим дисперсию Пп непрерывной случайной величины и по формуле (3). Получаем о,= 1 а ио'нов.=,',) . а .)в.= 3 хз хза 3 а ав а а 4. Находим Р(~ > с) по формуле (4) при с = а/2.
Получаем Р(21 > а/2) = / р(х)ах = — —. ~ (х — а )с1х = 2 2 4аз,/ а/2 о/2 3 гсхз 2 ч~ 3 гсаз з аз а~'1 5 = — — ~ — — а х( = — — ~ — — а — — + — ( = —, 4аз ~,3 (,7 4аз )ч3 24 2( 32 Ответ. М5 = О, 0с = аг/5., Р(( > а/2) = 5/32.
Гл. 6. Теория вероятностей Усйоиий аядяч. Найти математическое ожидание Мц, дисперсию Оц и вероятность Р(ц > а/2) непрерывной случайной величины ц с плотносхпью вероятностей р(х), заданной графически (все графики составлены из участков прямых и парабол). Ответы. 1. Мй=О, 2. Мс = а/2, 3. Мй=О, 4. Мй = а/3, Ой = а~/3, 0~ = а" /12, 04 = аг/6, Ой=а /13, Р(С > а/2) = 1/4. Р(с > а/2) = 1/2. Р(й > а/2) = 1/8 Р(Е > а/2) = 1/4. 6.16. Дискретный случайный вектор 299 6.16.
Распределение и числовые характеристики дискретного случайного вектора Постановка задачи. Дискретный случайный вектор (~,п) задан как некоторая векторная функция элементарных исходов некоего случайного эксперимента. Найти ряд распределения случайного вектора (6, О) и ковариацило С и О. ПлАн гншкния. Случайный вектор называется дискретным, если его возможные значения образуют конечное или счетное множество. Рядом распределения дискретного случайного вектора (8, и) называется таблица В верхних двух строках указывается возможное значение (а'„, а'„') слу- чайного вектора (С, О), а под ним, в нижней строке, вероятность р„ принять зто значение, т.е.
р„= Р((6,0) = (а„', а'„')), и = 1, 2,... Ковариацией случайных величин 6 и 0 называется число, определяемое формулой сои(с„у) = М(~ — М()(ц — Мп). Для вычисления ковариации используется формуяа сот(с, О) = М(0 — М(Мт~, (2) 5. М5=0, 6. М5 = а13, 7. Мб = За/8 8. М~=О, 9. М5 = За/4 10. Мс = а/4, Ос = 0~ = О( = Ос = 05 = 0~ = аз/2, 2аз/9 19аз/320, Зае75, За~/80, За~/80, Р(с > а12) = 3/8, Р(с > а/2) = 7/16. Р(6 > а12) = 5/16, Р(С ) а/2) = 7/16. Р(5 ) а/2) = 7/8. Р(С ) а/2) = 1/8.
Гл. 6. Теория вероятностей 300 где МС = ~~ а'„,р„, Мп = ~~ а'„,'р„, М(0 = ~~ а'„а'„'р„(3) (суммирование ведется по всем возможным и). 1. Определяем множество возможных значений (С, О), убеждаемся, что оно конечно или счетно, и заполняем верхние строки ряда распределения. 2. Определяем вероятности значений (а',а'„') и вносим их в нижнюю строку. В случае, когда пространство элементарных исходов конечно, отбираем все элементарные исходы, приводящие к конкретному значению случайного вектора, а затем суммируем вероятности этих исходов. 3.
Находим Мс, Мв1 и МО1 по формулам (3). 4. Находим ковариацию сои(С, и) случайных величин С и и по формуле (2). Пгимкр. Бросаются два игральных кубика. Найти ряд распределения случайного вектора (~, 0) и ковариацию е и и, где 4 — максимальное из появившихся чисел, и — число появлений единицы. Ркшгник, 1. Определяем множество возможных значений (С, О). Занумеруем кубики. Элементарным исходом рассматриваемого случайного эксперимента является упорядоченная пара чисел (пм пз), где и ~ — число выпавших очков на первом кубике и пя — на втором.
На элементарном исходе (пм пз) случайный вектор (С,О) принимает значение (шах(пм пз), 1С1т Н + У1„, П), где пРи 1 = 1, 2 ) 1, если п,=1, ) О, если п,=О. Составим таблицу элементарных исходов и значений Я и): 301 6.16. Дискретный случайный вектор В таблице мы видим, что случайный вектор (с, и) принимает одиннадцать значении: (1,2), (2,0), (2, Ц, (3,0), (3, Ц, (4,0), (4, Ц, (5,0), (5, Ц, (6, О), (6, Ц. 2.
Определяем вероятности значений (а', о.",) и вносим их в нижнюю строку. Так как пространство элементарных исходов конечно, отбираем все элементарные исходы, приводящие к конкретному значению случайного вектора, а затем суммируем вероятности этих исходов.
Для нахождения, например, вероятности случайного события ((с, о) = (4, О)) нужно отобрать благоприятствующие этому событию элементарные исходы. Очевидно, что зто (2,4), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4). Поскольку все элементарные исходы равновозможны, имеем РЯ,п) = (4,0И = —. Аналогично следует найти все остальные элементы нижней строки ряда распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
