Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 42
Текст из файла (страница 42)
4. Распределение Пуассона; у = 3 5. Нормальное распределение Х(0,1); тт = ф. 2 5 6. Нормальное распределение Х(0, 1); 0 = ес тв. 7. Треугольное распределение; т1 = „~ф. 8. Геометрическое распределение; тт = сов(ку). 9. Показательное распределение; т1 = вш 10. Распределение Пуассона; тт = сов с. Ответы. 021 = 1/2 — (2тк)2. О11 = 112 — 1п22. 1. М11 = 2тк, 2. М21 = 1п 2, УСЛОВИН ЗядяЧ. Задано распределение случайной величины С. Найти математическое ожидание и дисперсию указанной случайной величины т1 = У((). Гл. 6. Теория вероятностей 320 6.22. Распределение функции случайного вектора Постяновкя задачи. Задано распределение случайного вектора (С,41), 1(х,у) числовая (неслучайная) функция, ~ = 2(С~,41). Найти вероятность случайного события (~ е В), где  — интервал числовой прямой.
План ркшкния. Рассмотрим следующее множество С на плоскости: С = ((х, у): Д(х, у) е В). Ясно, что Р(1 Е В) = Р(Д~,41) Е В) = РЯ,41) Е С). Чтобы найти Р((С, и) Е С), используем распределение случайного вектора (С,у). В частности, если (С,у) непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей р(х, у), то Р((4,41) Е С) = ~~р(х, у)дхду, позтому Р(р, е В) = ~~ р(х, у)дхду. Замечание. Если ~ и 41 — независимые непрерывные случайные величины с плотностями вероятносгей р4(х) и рг(х) соответственно, то случайный вектор (С,41) является непрерывным с плотностью вероятностей р(х, у) = р4 (х)рг(у). З.
Мп= 4. М41 = 5. Мп= 6. Мп= 7. Мп= 8. М41 = 0. Му= 10. Му= Оу= 5Д5 — 1п 2), Он = 5/(5 — 1п 4) — 25/(5 — 1п 2)2. — 2а/3 Π— ва/9 — яа/3 ° У2/~г, Оу = 1 — 2/к. ъ'5/2, Оп = чУ5/3 — 5/4 8. Ра/15, Оу = 11а/225. — рЛ1+ о), Оу = 1 — р2Д1+ Ч)2 ЛД1+ Л'), Оп = 2Д4+ Л') — Л2Д1+ Л')'. е а~4 ""' ') сов(а 31п Ц, [1, р — Π— Яг) сов(ав1п2) — 2е гаа ааЯЦсовг(ав1п1)]/2.
6.22. Распределение функции случайноео вектора 321 ПИИМВИ. Пусть С, у независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же показательному закону. Найти Р(1оИ~(уЯ вЂ” Ц) < 0). РВШВИИВ. Плотность вероятностей р(х) случайной величины С равна )Ле ~*, х>0, О, х< 0. Такова же плотность вероятностей случайной величины О. Поскольку случайные величины С и у независимы, плотность вероятностей р(х,у) случайного вектора (с,у)при х > О, у > 0 равна р(х,у) = р(х)р(у) = Ле ~'Ле АУ = Л е При остальных х,у р(х,у) = О.
В рассматриваемом случае 1(х,у) = 1онз у Рассмотрим множество С = (х,у); 1ояз < 0 у х — 1 Упростим неравенство, овределяющее С. Для этого решим неравенство 1онз ' < О. у х — 1 Очевидно, что оно выполняется, если 0< (1. х — 1 При х > 1 получаем, что 0<у<х-1, априх< 1 0>у>х — 1. Итак, С=((ху): х>1, 0<у<х — 1)сд((х,у): х<1, 0>у>х — Ц. 21 В.И. Афанасьев и др. Гм 6.
Теория вероятностей 322 Искомая вероятность определяется формулой а'1! а,— и) = уу'ау*,аул!а у х — 1 (Ц Вычисляем интеграл 11)! ьх х — 1 О р1х, у) сУхаУу = / дх / Л е !х~иУ ду = о хх х — 1 ° а х — 1 =/Ле дх / Ле "ду= — /Ле е " дх= 1 о 1 о — Ле лх (е ~У~ 1У вЂ” 1) дт = — / 1Ле е * — Ле х) д 1 1 Л -2«х -Лх -Л Л -2Л -Л Итак, р уо8," <ю -л е Ответ. 2 УслОвия 3АдАч.
Пусть б,ау — независимьк случайные величины, распределенные по одному и тому хсе показательному закону. Найк!и вероятнотпь указанноео события. 1. 1й > ау). 2. 1!у < б < 20). 3. ~Д < 2!у+ Ц. 4. Я вЂ” ау! > Ц. 5. Я2( — ау/ < Ц. 6. )2~Я вЂ” 30у) > Ц. 7. (1уа6 < 1уа(1у — 1)). 8. ~0 < 1уа(6 — ау) < Ц. 9. Д~+З~ау — 4!уз < О).
10. ~Я~+4(ау+4ау~ > 9). Ответы. 1. 1У2. 2. 1У6. 3. 1 — е «у'3. 4. е л. 5. 1 — 2е «Узу'3 — е лу'3. 6. 1у4. 7. е луа2 8. е лу2 9 1уа2. 10. 2е 1.ьл е зл Поскольку плотность вероятностей р1х,у) отлична от нуля лишь при х > О, у > О, то на самом деле надо найти интеграл от р1х,у) по множеству са = 1(х, у): х > 1, 0 < у < х — Ц.
6.23. Числовые характеристики функции случайного вектора 323 6.23. 'Числовые характеристики функции случайного вектора ПОСтяНОВКя зядячн. Задано распределение случайного вектора (С, ц), 1(х, у) — — числовая (неслучайная) функция. Найти математическое ожидание случайной величины ц = Д(с,.ц). План рншнния. Если (~, ц) — непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей р(х, у), то Мц = 2Ч Дх, у)р(т, у)дхду. Вычисляем интеграл и записываем ответ. Примну. Пусть (~, ц) — случайный вектор с независимыми компонентами, распределенными по одному и тому же показательному закону. Найти М~~ — ц~. Ргшкниг,.
Плотность вероятностей р(х,у) случайного вектора (С, ц) равна (см. стр. 321) Л е ~~вь"~, (х,у) е Р, О, (х,у) фР, х где Р = ((х, у): х > О, у > 0). В рассматриваемом случае 1'(х, у) = ~х — у~, позтому М(~ — ц( = ~~ (х — у р(х, у)дхду = Лг О )х — у~е ~~*+"1дхду. Разобьем множество Р на две непересекающиеся области: Р— Р1 О Р2~ где Р1 = 1(х,у): х > у, х > О, у > 0), Рг — — ((х, у): х ( у, х > О, у > О). Гм б. Теория вероятностей 324 Сначала найдем интеграл по области Рз.
Л' Ц(. — у).-' *" и сю х 0О ОО =Л /дх/хе ч ""~ду — Л /ду /уе ~~'ь"~дх= о о о =Л /хе '(1 — е ')дх — Л/уе "е оду= о о =Л/хе дх — Л /хе ~дх — Л/уе "ду= о о о 1 1 1 1 Л 4Л 4Л 2Л (все три последних интеграла сводятся к интегралу ) хе дх = Ц. о Из соображений симметрии ясно, что интеграл по области Рг равен тому же значению, т.е.
н2 Следовательно, 1 М(~ — ц! = —. Л 1 Ответ. М(~ — П~ = Л УслОВия 3АдАч. пустаь (с,ц) случайный вектор с независимыми компонентами, распределенными по одному и тому же покизательному закону. Найти математическое ожидание случайной величины ч =1(с,ц). 1 ~ = 2(ц. 2. ~ = (2~ — ц)г 3 ~ = (2~+ ц)(С вЂ” 2тД 4 Ч = ЧЩ 5. ч = е ы" т.
6. ч = вгп(с+ ц). 7. ч = сов(с — тД. 8. ч = ~2с — ц. 9. ч = пйп(с, 9). 10, ч = азах(с, 0). Ответы. 1. 2/Лг. 2. 6/Лг. 3. — 3/Лг. 4. к/Л. 5. ЛгДЛ + 1)г. 6 2ЛзД1+ Лг)г 7 Лг/(1+ Лг) 8 5ДЗЛ) 9 17(2Л) 10 37(2Л) 6.24. Нормальное распределение 325 6.24. Нормальное распределение ПОСтАнОвкА ЗАЛАчи. Случайна величина с распределена по нормальному закону тЕ(а,а~). Найти вероятность случайного собьппия А, состоящего в псом, что значения с удовлепсворяют некоторым неравенствам. ПЛАН РЕШЕНИЯ. 1. Представляем событие А в виде А= ~с 0 с=1 где (ам Ь|), (аз, Ьз),..., 1аьм Ьь) — попарно непересекающиеся интервалы числовой оси. Для нахождения интервалов (а,, Ь,) нужно решить неравенства, определяющие А. 2.
Вероятность случайного события (1)находится по формуле Р се(~(а„Ь,) =~ Ф вЂ” Ф ', (2) где Ф(х) — функция Лапласа, т.е. ь'2п д Для функции Лапласа созданы таблицы *1 (см., например, таблицу 1. 1 в книге Л.Н. Большева и Н.В. Смирнова „Таблицы математической статистики", Мл Наука, 1983), в которых даются значения функций только для х яз О. Для отрицательных х имеем Ф(х) = 1 — Ф1 х~). Значения функции Лапласа удобно получить с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ ПРИМШП Случайная величина С распределена по нормальному закону Х(0, 4). Найти вероятность стучайного события А=( Используя единые обозначения и названия функпий едх) и Ф(х), авторы разных книг определяют их разными формулами. Гл. 6. Теория вероятностей 326 РЕШЕНИЕ.
1. Представляем событие А в виде (1). Для этого решаем неравенство 1 1 — ) т и+1 Получаем *Е ( —,— 1) О(О,+ ). ПоэтомУ слУчайное событие А = (1Я ) 1сс(1+ й)) можно записать в виде А = (Д й ( — оо, — 1) СЗ (О, +ею) ). По формуле (2) получаем, что = Ф вЂ” Ф( — оо) + Ф(+ею) — Ф = Ф вЂ” — + 1 — Ф(0). Здесь учтено, что Ф( — сю) = О, Ф(+оо) = 1. В таблицах находим, что ф ~--~ =1 — ф ~-~ =1 — 0.6915= 0.3085, Ф(О) = 05. 2) (,2) Следовательно,искомая вероятность приблизительно равна 0.3085+ 1 — 0.5 = 0.8085.
Г1 1 Ответ. Р )с — ) — 0.8085. Ь 1+~~ УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Случайная величина С распределена по нормальному закону Дс(0,4). Найти вероятносспь события А. 1. А = Д е (О, 2)). 2. А = (~ > О, 8). З. А = (2~ — З < О(. 4. А = (~4 — 1~ < О, 5). 5. А = ()5 — 1! > 6). 6. А = Дз > 2, 25), 7. А = (й~ — Зй+2 < О). 8.А=(1сс(1+Д) > — 2). 9.А=(!аз~~~ < 0,251.
10. А = (1с(1+ ~~) < 0,5). Ответы. 1. 0.3414. 2. 0.3446. 3. 0.7734. 4. 0.1747. 5. 0.0064. 6. 0.4533. 7. 0.1499. 8. 0.9181. 9. 0.2426. 10. 0.6171. 6.25. Центральная предельнал теорема 6.25. Центральная предельная теорема 327 Пллн ркшкния, Центральная предельная теорема утверждает, что независимо от распределения отдольного слагаемого при больших и сумма Яп имеет закон распределения, ~риблизительно совпадающий с нормальным законом Х(ит, но.г). Аналогичное утверждепь ние спРаведливо дла Разности Я,м — Я,н = 2„е„если величина 1=п1-ь1 пг — п1 велика, причем случайные величины от и Я„, — Ят независимы.
Расчет требуемой вероятности делается так, как это изложено в задаче 6.24. При этом используется следующий факт: если случайные величины и1 и иг независимы и распределены по нормальному закону ГС (аы о~ ) и Ас(аг, ог) соответственно, то случайная величина г 2 с1Ш + сгуг, где см сг постоянные, распределена по нормальному закону Л'(с1а1 + сваг, с, о, -'г сзог). 2 2 2 г Примкр. Случайные величины бь,(г,... независимы и распределены по закону Пуассона с параметром а = 1. Положим Я„ = с1+... я с„, п = 1,2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
