Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Построить ряд распределения случайной величины ц и, испольэул этот ряд, найти вероятность некоторого случайного события., связанного с ц. П))Аь! ИК)))ЕНИН. Случайная величина называется дискретной, если ее возможные значения образуют конечное или счетное множество (т.е.
множество, элементы которого можно пронумеровать, используя натуральные числа 1, 2,...). Рядом распределения дискретной случайной величины ц называется таблица В верхней строке указаны возможные значения а!, аг,..., а„,... случайной величины у, а под каждым значением указана вероятность того, что !) примет это значение, т.е. ро = Р(ц = а„), и = 1, 2,... 288 Гл. 6. Теория вероятностей 1. Определяем пространство элементарных исходов. 2.
Определяем множество возможных значений тт и убеждаемся, что оно конечно. 3. Составляем таблицу элементарных исходов и соответствующих им значений т1. 4. Определяем вероятности всех значений т1 и строим ее ряд распределения. Для этого отбираем элементарные исходы, приводящие к конкретному значению случайной величины т1, а затем суммируем вероятности этих исходов. Полученное значение является вероятностью данного значения случайной величины. Так находим вероятности всех значений тти строим ее ряд распределения. 5. Пусть А некоторое подмножество числовой прямой. Тогда Р(т1 Е А) = ~ ~Реп о:а СА другими словами, вероятность того, что случайная величина ттпримет значение из множества А, равна сумме вероятностей р„,таких, что аи Е А. Пример. Бросаются четыре монеты.
Пусть 8э = 1, если т-ая монета выпала орлом вверх, и С, = 0 в противном случае, т = 1,2,3, 4. Построить ряд распределения случайной величины тт = Ст + Сз — бз — СА и найти, используя этот ряд,вероятность Р(т1 ( Ц. РЕШЕНИЕ. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Элементарными исходами рассматриваемого случайного эксперимента ЯвлЯютсЯ УпоРЯДоченные набоРы чисел (пм теть пз, ттв), гДе и, либо нуль, либо единица, т = 1, 2, 3, 4.
2. Определяем множество возможных значений т1. Возможные значения случайной величины т1 суть — 2, — 1,0, 1,2, поэтому т1 дискретная случайная величина. 3. Составляем таблицу элементарных исходов и соответствующих им значений т1. Случайная величина тт на элементарном исходе (пт, пз, пз, пв) принимает значение пт + пз — пз — пл. ПоэтомУ полнаЯ таблиЦа элементарных исходов и значений т1имеет вид 6.12.
Распределение дискретной случайной величины 289 4. Определяем вероятности значений у и строим се ряд распределения. Всего элементарных исходов 24 = 16. Следовательно, вероятность элементарного исхода равна 1/16. Событию (2! = — 2) благоприятствует один элементарный исход, поэтому Р(21 = — 2) = 1,!16. Аналогично находятся остальные вероятности Р(21 = 2), 2 = — 1, О, 1, 2. В итоге получаем, что ряд распределения случайной величины 21 имеет вид 5. Из ряда распределения находим, что 1 1 3 11 Р(21 < 1) = Р(21 = — 2) + Р(21 = — 1) + Р(у = О) = — + — + — = —. 16 4 8 16 Ответ.
Р(у < 1) = 11/16. Условия злдлч. Бросаются четыре монеты. Пусть 8! = 1, если 2-ая монета вьтала орлом вверх, и 8, = О в противном случае, 4 = 1,2,3,4. Построив!в ряд распределения случайной величины ц и найти, используя этот ряд, вероятность указанного событаия. 4 4 2. 21 = ~~~ 8~, (21 Е (2,3)). 1. у = ~~, 6 (21 > 2). а=! 3 у = 6 + 6 + 6 — 6, (у > 1). 4.
21 = (й! + сг)/(1 + сз + с4), (22 > 1, 3). + ьг) — ьз2'(1 + ь4), (21 <ч 12'2). + 1), (ц < 8). 7. ц П1оцг(1+а!), (ц > 14!4). 2=-! 1)»' — (сз + 1)»', ( ! < 1). 1)' (~.+1)', (у>2) 1)»2 !»2 !»4 (21 <,1) 4=1 8, 21 = (с! + 9. 21 = (с! + 1О, ц= (6+ 29 В.И. Афанасьев н др. Гл. 6. Теория вероятностей 290 Ответы. 1. 5/8. 2. 5/16. 3.
5/16. 4. 5,18. 5. 7/8. 6. 11/16. 7. 1/16. 8. 13/16. 9. 1/16. 10. 3/4. 6.13. Распределение непрерывной случайной величины постАновкА зАдАчи. непрерывная случайная величиной задана как некоторая числовая, функция от элементарных исходов некоего случайного эксперимента. Найти плотность вероятностейр(х) этой случайной величины. ПлАн Решения. Случайная величина й называется непрерывной, если она может принимать все значения х из некоторого числового промежутка и существует неотрицательная числовая функция р(х), такая, что Р(чс Е (а, Ь)) = / Р(х)дх а для любых а и Ь (а < Ь). Функция р(х) называемая плотностью вероятностей. 1. Определяем множество возможных значений х случайной величины с и убеждаемся, что оно представляет собой некоторый промежуток 1.
2. Для всех х Е 1 находим функцию распределения Г(х) случайной величины й'. По определению *~ Г(х)=Р(1<х), хЕК. 3. Находим плотность вероятностей р(х) по формуле р( ) = Г'(х) При х й' 1 плотность вероятностей р(т) равна нулю. Пример. Точка А наудачу выбирается в квадрате Н = ((и,и): 0 < и, и < 1). Найти плотность вероятностей р(х) случайной величины е, равной расстоянию от точки А до начала координат. РЕШЕНИЕ. 1. Определяем множество возможных значений х слу.чайной величины с и убеждаемся, что оно представляет собой некоторый промежуток 1.
О В литературе встречается инва определение, согласно которому Е(и) = = Ей <*) 6.1З. Распределение непрерывной случайной величины 291 Элементарный исход точка [и,и), где 0 ( и,и ( 1. Случайная величина С на элементарном исходе [и,и) принимает значение ьди" + из. Множеством возможных значений х случайной величины С является промежуток [О, ъ'2].
2. Для всех х Е [О, гс2] находим функцию распределения К[х) случайной величины С. Пусть х Е [0,1], тогда случайному событию 1С < х) благоприятствуют исходы, составляющие четверть круга радиуса х [см. рис, 6.4) и поэтому Р[х) = Р[С < х) = — ях, х Е [О, 1]. Рис. 6.4 Если же х Е [1, ~'2], то случайному событию ~Я < х) благоприятствуют исходы, предсгавляющие собой заштрихованную область на рис.
6.5. Рис. 6.5 19* Гл. 6. Теория вероятностей Площадь заштрихованной области равна 1 111 111и+ Ух — и йи = Ух — 1+ — агсейп — — агссов— 2 (, х в о 'г Следовательно, 2 Г(х) = Р(с < х) = + и'х~ — 1 — х агссов —, х й [1,ч12]. 4 х 3. Находим плотность вероятностей р(х).
При х Е (О, 1) р(х) = Р'(х) = кх/2. При х й (1, .чГ2) р(х) = Ро(х) = кх/2 — 2х атосов(1/х). При х ф (О, ъ'2) р(х) = О. Ответ. При х б (О, 1) р(х) = кх/2; при х с (1, ъ 2) р(х) = .га /2— — 2х атосов(1/х):, при х ф (О, у'2) р(х) = О. Ответы. 1. р(х) = 4 — 8х, х Е (О, 1/2); 2. р(х) = 1, х Е (О, 1); 3. р(х) = 2кх, х й (О, 1/2]; х Е (1112, 1/Ъ'2); р(х) = О, х ф (О, 1/2).
р(х) = О, х ф (0,1). р(х) = 2кх — 8х агссов(1/(2х)), р(х) = О, х ф (О, 1/чГ2) Условия задач. Точка А наудачу выбирается в квадрате Л = = 1(и,и): 0 < и,и < 1). Найти плотаность вероятностпей р(х) указанной случайной величины. 1. Расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата К. 2. Расстояние от точки А до стороны квадрата Л, лежащей на оси ординат. 3.
Расстояние от точки А до центра квадрата Л . 4. Ордината точки А. 5. Сумма координат точки А. 6. Разность абсциссы и ординаты точки А. 7. Произведение координат точки А. 8. '1астное от деления абсциссы на ординату точки А. 9. Модуль разности координат точки А. 10. Сумма квадратов координат точки А. 6.14. Числовые характеристики дискретной случайной величины 293 р(х) = О, х у: (0,1). = к/4 — атосов(1ттчтх), х Е (1,2); 6.14. Числовые характеристики дискретной случайной величины Постановка зАЛАчи.
Задана дискретная случайная величина тт. Найти ее математаическое охсидание и дисперсию. ПЛАН ННШННИЯ. Математическим ожиданием Мц дискретной случайной величины ц называется число, определяемое формулой Мц = ~ ~аиреп где суммирование ведется по всем возможным и. В случае, когда число возможных значений ц бесконечно, требуется, чтобы ряд в правой части (1) сходился абсолютно. Дисперсией Птт дискретной случайной величины ц называется число, определяемое формулой Пц = М~ц- Мц)'-. (2) Для нахождения дисперсии в случае, когда тт является дискретной случайной величиной, используется формула Птт = ~ ~(а„— т) р„= ~ а~р„— т~, где т = Мц и суммирование ведется по всем возможным и. 1.
Находим ряд распределения случайной величины т1 (иногда он бывает задан изначально). Получаем 4. р(х) = 5. р(х) = 6. р(х) = 7. р(х) = 8, р(х) = р1х) = 9, р(х) = 10. р(х) = р1х) = 1, х Е (О, 1): 1 — ~х — Ц, х Е (0,2); 1 — ~х, хЕ1 — 1,1); 1п(1тх), х Е (О, 1); 1т2, х Е (О, Ц; О, х ф (О, ~-гхт). 2(1 — х), х Е (О, 1); хтт4, х Е (О, Ц; р(х) О, х ф (О, 2). р(х) = О, х ф (О, 1). р(х) = О, х ф (0,2). р(х) =О, х ф тт — 1,1).
р(х) = О, х ф (О, 1). р(х) = 1Д2хз), х Е (1, +ос); Гл. б. Теория вероятностей 2. Находим математическое ожидание Мп дискретной случайной величины и по формуле (1). 3. Находим дисперсию Оу дискретной случайной величины у по формуле (3). Пгимкг. Бросается игральный кубик. Пусть 5 — число выпавших очков. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины у = пйп(~, 3). Ркшкник.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
