Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Чтобы найти Р, заметим, что если некоторая клетка (ш, и) удовлетворяет требуемому условию, то ему удовлетворяют и клетки (т+ 3,п), (т — З,п), (т,п+ 3), (ш,п — 3), т.е.. имеет место периодичность по горизонтали с периодом 3 и по вертикали с периодом 3. Поэтому в качестве ячейки Р можно взять область, составленную из клеток (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1) и (2,2).
2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае она гарантирована методикой проведения случайного эксперимента, поскольку,как сказано в условии задачи,монета бросается наудачу. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к наступлению интересующего нас события (благоприятные исходы). Ясно, что среди клеток ячейки Р сумма координат т+ и делится на три только у клеток (0,0), (1,2) и (2,1). Для того чтобы монета оказалась внутри некоторой клетки, необходимо и достаточно, чтобы центр монеты находился в одной из точек, расположенных внутри клетки на расстоянии большем т от границы этой клетки.
На рис. 6.2 изображена ячейка Р и заштрихована область благоприятных исходов С П Л. ОР Рис. 6.2 6.6. Независ мыс события 4. Находим плошадь В(11) ячейки 11. Имеем Я(11) = 9а~. 5. Находим площадь Я(СО 11) области С О В. Имеем В(С О 11) = = 3(а — 2т)з. 6. Искомая вероятность равна Я(С О Л) (а — 2т)~ В(О) = 3 ° Ответ. (а — 2т)з»»(Заг). Условия ВАдлч. Плоскосп»ь разбип»а прямыми на квадратные кле»пки со стороной а. Клетки пронумерованы, при помощи, пар целых чисел (т,п) (при этом у соседней справа клетпки будет номер (т+ 1,п), а у соседней сверху клетки буден» номер (т,п+ 1)). На плоскость наудачу бросается монета радиуса т < а»2. Найти верояп»ность того, что,монета целиком попадет в клетку с номером, удовлетворяю»цим указанному условию.
1. т четно. 2, т+ и четно. 3. та+ и кратно трем. 4. Или т четко, или и, кратно трем. 5. тп кратно трем, а п не делится на три. 6. Ни т, ни п не делится на три. 7, т+ и кратно четырем. 8. Или т кратно трем, или и кратно трем. 9. т + 2п кратно трем. 10. т — и кратно четырем. Ответы. 1. (а — 2т)з»»(2а ). 2. (а — 2т)зД2а ). 3. (а — 2т)з»»(9аз). 4. 2(а — 2т)г»»(Заг).
5. 2(а — 2т)з((9аг). 6. 4(а — 2т)г»'(9ае). 7. (а — 2т)з((4аг). 8. 5(а — 2т)гД9аз). 9, (а — 2т)г,»(Заг). 10. (а — 2т)г»»(2аг). 6.6. Независимые события ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Предположим, что некоторое случайное событие А можетп быть вь»ражено через независимые случайные события Лы Ах, ..., А„при помощи операций обьединения, пересечен я, вычитания.
Вероятностпи событий А», Аз, ..., А„известны. Требуется найти вероятность события А. Гл. 6. Теория вероятностей 2Т0 План Решения. 1. Выражаем событие А через Аы Аг, ..., Аи. 2. Вычисляем вероятность события А, используя следующие формулы для независимых случайных событий Вы Вг, ., ., В„,: пе а)Р(В Свгш. СВ )=ПР(В)' ~=1 б) Р(Вг С Вг 0... 0 Во,) = 1 — П(1 — Р(В;)). ПРИМЕР. Вероятность выхода из строя в течение времени Т 1-го проводящего элемента цепи, изображенной на рис. 6.3, равна ро Все элементы цепи функционируют независимо друг от друга. Найти вероятность того, что вся цепь не выйдет из строя в течение времени Т, т.е.
что по цепи может течь ток. Р . 6.3 РЕШЕНИЕ. Введем случайные события ( вся цепь не выйдет из строя в течение времени Т ( г — ый элемент цепи не выйдет 1 А,= г', = 1,2,3,4. 1из строя в течение времени Т ( ' По условию события АнАг,Аз,А4 независимы и Р1Ае) = 1 — рн 1 = 1,2,3,4. Выразим событие А через Аы Аг, Аз, Ае. Из рис. 6.3 видно, что А = Аг С (Аг С Аз) С Ал.
События Аы Аг С Аз, Ае являются независимыми, поэтому Р(А) = Р(Аг)Р(Аг С Аз)Р(Ая). События Аг и Ае являются независимыми, поэтому Р(.4г С.4з) = 1 — (1 — Р(-4г)) (1 — Р(-4з)) 6.6. Независимые событил 271 Из двух последних формул находим, что Р(А) = Р(Аг) ~1 — (1 — Р(Аг)) (1 — Р(Аз))) Р(Аз). Отсюда, учитывая, что Р(Аз) = 1 — р,, получаем искомую вероятность: РЯ) = (1 — РьН1 — Р Рз)11 — Р ). Ответ. (1 — рьЦ1 — ргрз)(1 — рз).
Условия влдлч. Вероятность выхода из строя, в течение некоторого времени Т 1-го элемента ук ганной цепи равно р,. Все элементы цепи функционируют независимо друг от друга. Найти вероятность того, что вся цепь не выйдет из строя в течение времени Т. Ответы. 1. (1 — ргрг)(1 — рз) 2 1 — ргргрз.
3. 1 — ~1— — (1 — Р1)(1 — Рг))уз. 4 (1 — Рг)(1 — Рг)(1 — Рз). 5 (1 — РьРг)(1 — РзРл). 5. (1 — Ргргрз)(1 — Р4) 7. 1 — Рзрт1 — (1 — Рз)(1 — Р4)]. 8. 1 — Ргргрзрз. 9 (1 — Рз)(1 — РгК1 — РзК1 — Рз) 10 1 — Рз~0 — (1 — Рз)(1 — Ргрз)) 272 Гл. 6. Теория вероятностей 6.7. Схема Бернулли: фиксированное число испытаний Постлновкл злдлчи. Проводятся независимые испытания, в каждом из которых возможны два исхода успех (У) и неудача (Н), причем верояптость успеха р во всех испытини х одна и та же, а вероятношаь неудачи равна о (р+о = 1). Найти вероятность некоторого случайного события, связанного с числом успехов в каждом из и испытаний.
Замечание. Последовательность испытаний, о которой говорится в условии, называется схемой Бернулли, а сами испытания иногда называют испытаниями Бернулли. Примерами схемы Бернулли являются бросания мяча в баскетбольную корзину (успех попадание, неудача промах), покупка лотерейных билетов (успех выигрьппный билет, неудача — проигрышный) и т.п.
Пдлн гншиния. Каждый результат проведения и испытаний может быть представлен „цепочкой" символов У и Н, например, УУННУ...Н. Ввиду независимости испытаний вероятность каждой конкретной цепочки равна ряд", где й — число символов У, встречающихся в цепочке. Для нахождения вероятности исходного события следует отобрать все цепочки, приводящие к данному событию, и сложить их вероятности. Часто используется формула Бернулли для числа успехов лл„ в и испытаниях Бернулли: Р(р„= к) = С~р~д" ~, й = О, 1,..., и. Примиг 1. Проводятся 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р.
Найти вероятность того, что будет всего две неудачи, а между ними три успеха. Ргшгниг., К данному событию приводят цепочки НУУУНУУУУУ УУУНУУУНУУ УНУУУНУУУУ УУУУНУУУНУ УУНУУУНУУУ УУУУУНУУУН Вероятность каждой такой цепочки равна р о, а число таких цепочек равно 6. Поэтому искомая вероятность равна брвйг. Ответ. 6рвл7з. 6.7.
Схема Берну ли: финсированнос число испытаний 273 Пример 2. Проводятся 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. Найти вероятность того,что число успехов в первой половине испытаний будет равно числу успехов во второй половине испытаний. РЕШЕНИЕ. Пусть рлв и рв — число успехов в первой половине и во второй половине испытаний соответственно. Очевидно, что события (дв — — а), 1115 = 1) являются независиллыми. Интересуюшее нас событие можно представить в виде объединения несовместных событий 0~.=, =й) в=о Следовательно, искомая вероятность равна 5 5 5 ~ ' р(рв = й, 05 = й) = ~ Р(рв = й) Р1775 = й) = 5 (с,'р'у'-')' (заключительное равенство следует из формулы Бернулли).
5 Ответ. ~ ~(Св~р~цв ~) . ь=о Условия здддч. Нроводяплсл 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. Найти вероятность следующего случайного события. 1. Число успехов не меньше трех. 2. Число успехов болыпс 5, но меньше 8. 3. Число успехов в первой половине испытаний на два больше числа успехов во второй половине испытаний. 4.
Число успехов в первой половине испытаний меньше, чем во второй половине испытаний. 5. Всего три успеха, причем последнее испытание завершилось успехом. 6. Успехи и неудачи чередуются. 7. Всего три успеха, причем все они в последних трех испытаниях. 8. Всего три успеха, причем все они во второй половине испытаний. 9.
Число успехов больше числа неудач. 10. Число успехов не менее чем в два раза превосходит число неудач. 18 В.И. Афанасьев и др. Гл. 6. Теория вероятпностей Ответы. ч Сь рь 1о — ь 2 Св раув+ Сг т з д ч САСььг гь.ьг в-гь ь=в ь=-в 1~ ° — ~1 — г (022 1~. 8с22. 8288 2.82. 8 ор2. а=в 1В 1О 9 Есь ь 10 ь, 10, ЕСь ь 10 ь, 6.8.
Схема Бернулли: неограниченное число испытаний ПостАИОвкА ЗАЛАчи. Пусть проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха. р, причем число испытаний заранее не оговорено. Следует найти вероятность случайного события, связанного с некоторыми случайными моменпгами времени. ПЛАН РЕШЕНИЯ. Как и в случае фиксированного числа испытаний Бернулли, выписываем все конечные „цепочки' символов У и Н, приводящие к данному событию (как правило, число таких цепочек бесконечно), а затем суммируем их вероятности.
ПРимРР. Проводится неограниченное число испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. Найти вероятность того, что первый успех произойдет на и-ом испытании, а второй успех — 1юсле т-го испытания (т ) и). Рвшгнив, К данному событию приводят „цепочки" Н..,НУН.,.НУ2 где первая серия символов Н состоит из (и — 1)-го элемента, а вторая сория из й элементов,где к ) т — и. Вероятность такой цепочки равна у" р у р, поэтому искомая вероятность равна "1- 882 г ч8 — 1 Ч"ть 'Р'=Р'1У 'лЧ™+" ) = =РЧ 1 =2П вЂ” И Ответ. ру Условия злдлч. Проводится неограниченное число испытпаний Бернулли с вероятностью успеха р.
Найти вероятность указанного случайного события. 1. Первый успех произойдет на и-ом испытании. 2. Первый успех произойдет после п-го испытания. 6.9. Формулы Муавра — Лапласа и Пуассона 275 3. Серия из двух последовательных успехов наступит раньше серии из двух последовательных неудач. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
