Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для этого подставляем функцию и(и,1) = Х(и)Т(1) в уравнение (5) и разделяем переменные: Хо Т' — = — = Л. Х Т Поэтому функции Х(т) и Т(1) являются решениями связанных задач: а) Хо(л) — ЛХ(л) = О, Х(0) = Х(1) = 0; б) Т' — ЛТ = О. 3. Решаем задачу (а). Уравнение Хо — ЛХ = 0 имеет общее решение Х(т) Сен "л + Г1е — и'~* Из граничных условий Х(0) = Х(1) = 0 следует, что Подставляя эти коэффициенты в формулу (4), получаем искомое решение и(т, 1) и записываем ответ. Гл. 5. Уравнения математической филина 4.
Решаем задачу (б). При Л = Л„= — язпз имеем тг+ язп'т = О. Общее решение этого уравнения есть 5. Итак, вспомогательные решения уравнения (5) имеют вид е„ег, яи аие, , ян ги(х,1)=С„А„е ~" Ягп — х=А„е " Яш — х, где А„= С„А„. 6. Решение задачи (5) — (7) ищем в виде и(х,1) = ~ о„(х,1) = ~г А„е "' гяшяпх. (8) Эта функция является решением уравнения (5) и у-довлетворяет граничным условиям (7) при любых А„, при которых ряд (8) сходится.
Его можно дважды дифференцировать почвенно. 7. Находим коэффициенты А„такие, что и(х,1) удовлетворяет начальному условию (6), которое запишем в виде 3, 1 и(х, О) = яшз 2ях = — сбп2ях — — я1пбях. 4 4 Полагая в (8) 1 = О, получаем 3 1 и(х,О) = У А„я1пяпх = — я1п2ях — — я1пбях. 4 4 и=-1 Отсюда 3 1 Аг = —, Ае = --, Аг = Аз = А4 = Ая = О, А„= О, п > 7. 4' 4' Подставляя эти коэффициенты в формулу (8), получаем 3 — 4и г и(х,1) = — е 4" г я1п2ях — — е зе" г яшбггх. 4 4 — 4иее — Зеаее О ( 1) — 4иг 2 — Зеиг . 6 4 4 245 УСяОПГ46 27ГдГГШ Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности на отрезке.
Ответы. и(х, 1) и(х, Г) и(х,1) и(х.,г) 2. 4. и(х,1) и(х, 1) и(х,1) и(х,1) и(х,1) и(Хг1) 10. 1. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 8.18. Уравнение теплопроводности на отрезке иг —— 4и„, х Е (0,2), 1Е (О,со), и(х,О) = яп 27гх — вш4кх, и(0,1) = и(2,1) = О. и, = 9и „х Е (0,3), 1 Е (О, со), и(х,О) = 4вшз Зкх+ 2япбкх, и(0,1) = и(3,1) = О. и,=4и ., хЕ(0,1), 1Е(О,оо), и(х,О) = 16япзггх — Звш2кх, и(О,Х) = и(1,1) = О. иг = ихх, х Е (0,2)г й Е (О,оо), и(х,О) = Яяп 4кх — 2япбггх, и(О,Х) = и(2,1) = О.
иг = и„гг4, х Е (О, 1772), й Е (О, со), и(х,О) = вшзкх+ 4яп2кх, и(0,1) = и(172,1) = О. и,=их 779, хЕ(0,3), ХЕ(О,оо), и(х,О) = 8япз37гх — 4вш12кх, и(0,1) = и(З,й) = О. иг — — 4и..., х Е (0,4), й Е (О,оо), и(х, О) = 2 яп ггх + вш 47гх, и(0, 1) = и(4, Г) = О. иг = 4и„, х Е (О, 172), й Е (О, со), и(х,О) = 8вш кх — яп2кх, и(0,1) = и(17'2,1) = О. иг —— ихх, х Е (Ог 1773), Х Е (О, оо), и(х, О) = 2 япз 27гх — вш ггх, и(0, 1) = и(1773, 1) = О. иг = 9ихх х Е (О, 1), Г Е (О, со) г и(х, 0) = 4 япз ггх — вш 27гх, и(0, й) = и(1, й) = О. 3 г, 1 ,г г 4 — е ™вшкх — — е 9 'вш2кх — ел 'япЗкх; 4 г — 4 Г ВГ гг Зе 9 'япкх+2е 4 яп2кх — евг япЗкх; — 4 г — зв 12е 4х гвгпкх — Зе гв 791п2кх — 4е зв гвгпзнх — 4 гг — ЗВ '7 бе 4 ' вш 2кх — 2е ' яп Зкх — 2е зв вш бкх; 3 — 4 '7 -9 ' 4 — е ™яп2кх+4е лх яп4кх — — е вх 'япбкх; 4 г г г бе (™япкх — 2е япЗкх — 4е Ов Ог~яп4кх; 3 г, 7Г 1 г 37Г г е — гл Цггвв1п х е — гвх ггг 199177 х+ е — х г вгпкх 2 4 4 4 — 94 гг — бе гв 'яп2кх —.
е 94 'вш4кх+ 2е 744 'вшбкх; 9 гг 2 — згл гг 2 — е зв ' вш Зкх — е 9 ' яп 6кх — — е ззл ' яп 18кх; 3, Зе 9 'вшкх — е зв 'вш2кх — е вг 'япЗкх. Гл.5. Уравнения математической физики 5.19. Уравнение теплопроводности в круге ПоотАИОвкА ЗАдлчи. Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности в круге; и!=а~Ли, 0<т<то, !)О и(т,О) = то — т~, 0 < т <то, и(то,!) = О, ! ) О. (2) (3) ПЛАН Ргвп!ГвНИЯ.
1. Записывая оператор Лапласа ся в полярных координатах, получаем уравнение ди седи 1ди 1ди — =а + — — +— д! 1 дтэ т дт тэ дссзэ (4) и(т, ср, !) = и(т, !), где функция и(т, !) удовлетворяет уравнению (4) с д~иссдсрв = 0: ди дои 1 ди (5) 2. Находим вспомогательные решения уравнения (5) в виде и(т, !) = Л(т) Т(!), причем ,'Л(0)~ < оо и Л(то) = О. Для этого подставляем функцию и(т,г) = Л(т)Т(!) в уравнение (5) и разделяем переменные. Получаем дТ Л Т = — = -Л = сопв!.
Поэтому функции Л(т) и Т(!) являются решениями связанных задач: а) Л" + — Л'+ Лаяй = О, 0 < т < то, !Л(0)! < оо., Л(то) = О. т б) Т' + Ла Т = О. Так как граничное и начальное условия не зависят от т и коэффици- енты уравнения также не зависят от с!с, решение первой смешанной задачи (1) — (3) тоже не зависит от ср, т.е. 5.19. Уравнение тенлонроводноенги в круге 247 4. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения В + — Л + ЛВ = О имеет вид Л(т) = А,УО(ъ'Лт) + ВУО(кГЛт), где дв и Уо — функпии Бесселя и Неймана.
Поскольку (В(О)! < оо, а Уо(г') — в оо при г. — в О, полагаем В = О. Используя граничное условие й(тв) = О, получаем Л„= — "-, В„= А„,Уо — "-т, и = 1,2, где да — нули функции Бесселя,7в(я), т.е. дв(7г ) = О, п = 1,2, 5. Решаем задачу (б). При Л = Л„= (7г„(то) имеем 2 Т~+ — а Т=О. Общее решение этого уравнения есть Тн(1) = В„е ("в) 6. Итак, вспомогательные регпения уравнения (5) имеют вид г т ', „г ин(тгв) =А~В Ло ( "т 1 е(" ') = Андо~ "т) е ("в ) ~,тв / то где А„= А„„— постоянные, которые предстоит найти.
7. Решение н(г', 1) ищем в виде ск оо д Л г и(т,1) = ~~ ин(т,1) = ~~ Ан.рв — "'т~ е ( "в ) н=-1 н=1 'то (6) Эта функция является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничному условию (3) при любых Аво при которых ряд (6) сходится и ого можно дважды дифференцировать почлснно. 8. Находим Аво при которых и(т,1) удовлетворяет начальному условию (2). Полагая в (6) 1 = О, получаем Гл.5. Уравнения математической ф вини Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что ео 2 ~(то — т~')7о (~~" т) те1т 2 2 'оУ~Ьи) Ь лГ(Р ) (см. задачу 3.7). Подставляя зти козффициенты в формулу (6), получаем ~тело(рн) -(~-„" — '-) е (дн " =.,; —:;.—.) " —.—.!~ Замечание.
Аналогично решается задача ие = аоки, О < т < то, 1) О, и(т, 0) = ((т), 0 < т < то, и(то:1) =0 1) О, при произвольной непрерывной функции 7 (т) такой, что ) ( о) = О. ПРимеР. Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности в круге: (7) (8) (9) ие — — Ьи, О < т < 1, 1) О, и(т, 0) = 1 — т~, 0 < т < 1, и(1,е) =О, 1) О. и(т, ~р,е) = и(т,1), где функция и(т, 1) удовлетворяет уравнению (10) с дои/джаз = 0: ди /'дои 1 ди'1 + — — ) .
д1 (,дтз ° д.,) (11) 2. Находим вспомогательные решения уравнения (11) в виде и(т,1) = В(т) Т(1), Ргш ение. 1. Записывая оператор Лапласа Ь в полярных координатах, получаем уравнение ди дои 1 ди 1 дои — ~- — — -> —,—, (10) д1 дт" т дт тз д~рз Так как граничное и начальное условия не зависят от ее и коэффициенты уравнения также не зависят от р, решение первой смешанной задачи (7)-(9) тоже не зависит от ~р, т.е. 5.19.
Уравнение теплопроводнос1пи в круге причем В(0~ < оо и В(1) = О. Для этого подставляем функцию и(т, г) = В(т)Т(1) в уравнение (11) и разделяем переменные. Получаем й~ В Т = — = — Л = сопвФ. Поэтому функции В(т) и Т(1) являются решениями связанных задач: а) В" -ь — В~ + ЛВ = О, 0 < т < 1, /В(0) < оо, В(1) = О. т б) Т' + ЛТ = О.
4. Решаем задачу (а). о Общее решение уравнения В ' + — В + ЛВ = 0 имеет вид т В(1') = АЛо(~Лт) + ВУо(ъГЛт)., где Ло и Ув функции Бесселя и Неймана. Поскольку (В(0)! < со, а Уо(т) — 1 со при т — 1 О, полагаем В = О. Используя граничное условие В(1) = О, получаем Лп = рп, Вп = Апуо(р,Д, и = 1,2, 2 где рп — нули функции Бесселя Лв(л), т.е.
Лв(р„) = О, и = 1,2, 5. Решаем задачу (б). При Л = Лп = р~ имеем Т'+д,',Т=О. Общее решение этого уравнения есть Тп(1) = Впе 6. Итак, вспомогатсльные решения уравнения (11) имеют вид и„(т, г) = АпВпЛв(рпт) е " 1 = АпЛв (р, т) е где Ап = А„Вп — постоянные, которые предстоит найти. 7.
Решение и(т, 1) ищем в виде и(т,1) = ~ип(т,1) = ~~ АпЛв(рпт)е ""'. (12) и=-1 п=.1 Эта функция является решением уравнения (11) и удовлетворяет граничному условию (9) при любых Ап, при которых ряд (12) сходится. Кго можно дважды дифференцировать почленно. 250 8. Находим А„, при которых и(т,») удовлетворяет начальному условию (8).
Полагая в (12)» = О, получаем и(г,О) = 2 А„до(»снг) = 1 — т'. н=1 1 2 ) (1 — гз)до (»знт) тдт о 4д,(.н) А„— 2 — и =1,2,... д, (рн) »с~.~й (»сн) Подставляя эти коэффициенты в формулу (12), получаем для, уравне- Ответы. 1. и(г, ») 36дз(рн) „, рЫ(р-) 36дз(р„) „, »з.'д» (рн) 16,7з (р„) е до(» ). 3 2. и(т, ») е н,д то (~ т). 3. и(г,») Гл.5. Уравнения математическая физики Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что и(т, ») = ~ е ~"~зо (рнг) .
4до(»сн) нв, „, »сна» (»сн) Ответ. и(т,») = ~~~ ' — -е и",Уо(р„т), 4дз(р„) „, рМ(р-) Условия вядяч. Решитпь первую смешанную задачу ния теплопроводносппз в круге. 1. и~ = 2~ьи, 0 < т < 3, » Е (О, оо), и(т, 0) = 9 — тз, 2. ио = Зсяи, 0 < г < 4, Х Е (О, сс), и(т, 0) = 16 — гз, 3. ис —— 4Ьи, О < т < 2, » Е (О, сс), и»т, О) = 4 — т~, 4. и~ = 5Ьи, О < г < 1, » Е (О, сс), и(т, О) = 1 — г~, 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
