Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 27
Текст из файла (страница 27)
3. Решение задачи (36)-(38) ищем в виде ~ — (гггп) Вп,(у) + В" (у)~ зш ггтх = О. ьп=Г Поэтому В" (у) —. (гггп) В (у) = О, т = 1,2,. Общее решение этого уравнения имеет вид ем 2 ктЬ„, ейпгггпх = х(1 — х), со=1 ( гта,„вЬ2ггт+ ггтЬ„,сЬ2ят) зшятх = х(1 — х)з. (39) (40) (41) Гл. 5. Уравнения яатнеяатиинеенвй физики Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что 1 Ь = / х(1 — х) ягпхтхдх, 2хти / о т а яЬ2хт -> Ь сЬ2ят = т х(1 — х) я1пхтхдх, Г 2хт,/ о Вычисляя интегралы, имеем Ь„, =, а яЬ2вт+Ь сЬ2хт = 4 1 — ( — 1) 2+ ( — 1) (ят)в (хт)4 Следовательно, 2+ ( — 1) 1 — ( — 1) сЬ2хти а (.гт)в яЬ 2хт (тгти)в яЬ 2тгти Подставляя найденные атв и Ь,„в (43), получаем ю(х, у): 2+ ( — 1)'" ю(х,у) = т — ' сЬхтиуя1птгтх— ' — ' (тгт) л яЬ 2яти ю=т ( 1)в — сЬ хт(2 — у) яш хтх.
(44) (тгт)в яЬ 2ят 4. Решение задачи (39) — (41) ищем в виде тг ю(х, у) = р Ан(х) соя — пу. 2 н=о (45) г 2 ~А'„'(х) — ( — и) А„(х)1 соя — иу = О. Поэтому ттг А'„'(х) — ( — и) А„(х) = О, и = О, 1, 2, Эта функция удовлетворяет граничным условиям (41) при любых коэффициентах А„(х), при которых ряд (45) сходится и его можно дифференцировать почленно по у. Найдем коэффициенты А„(х), при которых функция (45) является решением уравнения (39). Подставляя функцию (45) в уравнение (39), получаем 5.12.
Уравнение Пуассона в прямоугольнике 215 Общее решение этого уравнения имеет вид Ао(х) = ао + Ьох, 7г к А„(х) = амсЬ вЂ” ах+ 5„аЬ вЂ” их, и = 1,2, 2 2 Следовательно, 7Г к а е ш(х,у) = ао+ Ьох+ ~ (амсЬ вЂ” их+ Ь„вЬ вЂ” пх) сов — пу. к=1 (46) —,)(„' — —" )е„=-, о г — (ху — — + 1) сов — пуду = — (х---) (( — 1) — Ц, 4/ ~, 3 ) 2 2(ххп) о 2 Ьо = — (Зу~ — у + 2) г1у = 4, 2,/ о ао = Он = ао+ 2 4 1 1 о а 3/2 г а„сЬ вЂ” и+Ь„оЬ вЂ” п= — )( (Зу — у +2) сов — пуагу= — ( — ) (( — 1)" — Ц, 2 " 2 4„/ 2 2Гхп) о Подставляя найденные а„и Ь„в (46), получаем ю(х, у): 5 7 ш(х,у) = — + — х+ 3 3 1с гг 2 ьг ( — 1)" — 1 г ггп игг 1 гг +- лу ~ — — ( — —. ~3вЬ вЂ” -х+ вЬ вЂ” (1 — х)1 сов — пу.
2 [,кп,) оЬ(хпгг2) ~ 2 2 ~ 2 (47) 5. Записываем ответ согласно формулам (26), (34), (35), (44) и (47). Эта функция удовлетворяет граничным условиям (41) и является решением уравнения (39) при любых а„и Ь„, при которых ряд (46) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. Найдем коэффициенты а„и Ь„, при которых функция (46) удовлетворяет граничным условиям (40). Имеем 2 У ао+ У а„сов — пу = у — — + 1, 2 3 а 3 по+ Ьо + У (а„сЬ вЂ” п -> Ь„аЬ вЂ” и) сов — иу = Зу — у' + 2. 2 2 ) 2 Отсюда в силу формул Эйлера — Фурье следует, что Гм 5.
Уравнен я математинеской физики Условия задач. Решить краевую вадину для уравнения Пуас- сона в прямоугольнике. 1. г1и = — 10ка яш гх сов Зку, х Е (О, 1), у Е (О, 1), и(О,у) = О, а(1,у) = О, у Е (0,1), и„(х,О) = О, иц(х,1) = О, х С (0,1). 2, гаи = — (4тгг+ 1) вгп2тгх сову, х Е (О, 1), у Е (О,тг), и(О,у) =О, и(1,у) =О, у С (О,тг), и,(х,О) =О, ид(х,к) =О, х С (0,1). З.гяи=яшх, хЕ(О,к), уС(0,1), и(О,у) = О, и(тг,у) = вЬтггсоятгу, у Е (0,1), и, (х,О) = О, и„(х, Ц = вЬ1яшх, х Е (О,к).
4 сяи = 5вш2х сов у, х Е (О,тг), у Е (О,к), и(0, у) = 1, и(тг, у) = тг + 1, у Е (О,тг), и.„(х,О) = О, ин(х,к) = О, х Е (О, г). 5, гЬи= — 9яшЗх, хЕ (О,к)., УС (О 1) и(О,у) =О, и(тг,у) =О, у С (0,1) и„(х, О) = 2 вгп 2х, ия(х, 1) = яЬ 1 яш х + 2 сЬ 2 я1п 2х, х С (О, тг). 6. тли = 36яшвх, х С (О,к), у С (0,2), и(0, у) = 1, и(к, у) = 1 — тг, у Е (О, 2), иц(х,О) = О, иц(х,2) = О, х Е (О,тг). 7. тли = 10вгпхсовгу, х е (О,к), у е (О,к), и(0, у) = О, и( г, у) = яЬ тг сЬ у + тг, у С (О, к), и„(х,О) = вшх, ин(х,к) = сЬкв1пх, х С (О,тг).
8. гата = — 5кавгпкхсоя2кр, х С (0,2), у С (0,1), и(О,у) = 2, и(2,у) = яЬ4тгсоя2тгу, у Е (0,1), ид(х,О) = О, и„(х,1) = кяЬквгпкх, х С (0,2). 9. г1и = х — бх~+ 10хв — 5х~, х Е (О, 1), у Е (О,к), и(О,у) = 1+сов2у, и(1,у) = (сЬ2 — яЬ2)соя2у, у С (О,к), и„(х,О) =О, и (х,к) = О, х С (0,1). 10, Ьи = — (увтг3 — уггг2 — 2у+ 1)сдпх, х Е (О,к), у Е (0,1), и(О,у) = к + сов2ку, и(к,у) = сЬ2ка сов 2ку, у С (0,1), и, (х,О) = 6вгпЗкх, и„(х,1) = 6сЬЗвгпЗкх, х С (О,тг). Ответы. 1. и(х,у) = яштгх совЗтгу. 2. и(х,у) = ядп2тгх сову.
3. и(х,у) = — в1пх+ сЬу в1пх+ вЬкх совку. 4. и(х,у) = — яш2х сову+ 1+ х. 5. и(х,у) = едпЗх+ сЬу яшх+ вЬ2у в1п2х. 6. и(х,у) = — 27вшх+ вшЗх+ 1 — х. 5.13. Уравнение Пуассона в шаре 217 7. и(ху) = — 5я1пх — яшх соя 2у+ яЬу яшх+ х+ яЬх сову. 8. и(х,у) = яшях соя 2яу+ сЬяу яшях+ 2 — х+ яЬ2ях соя2ну. 9. и(х,у) = хз(1 — х)Я/6+ 1 — х+ (сЬ2х — яЬ2т) соя2у. 10, и(х, у) = (у~/3 — у~/2) яшх+2яЬЗу сйп Зкх+я — х+сЬ2ях соя 2яу. 5.13.
Уравнение Пуассона в шаре Постлновкл злдлчи. Реиаитв краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в шаре: Аи = Аху+ Вхе+ Сух, 0 ~ (т < тв, (1) (2) и(„-„= а (т = 'ха+ уз+ ся). Пллн ргшиния, Решение краевой задачи (1) — (2) имеет вид и(х, у,е) = ин„(х,у, х) + и(х,у,е), и = и1 + из + из где ие = Еху(х + у + е ) — решение уравнения Аи = Аху, ия = Ехе(х + у~ -'т е~) — решение уравнения 21и = Вхе, из = Мух(ха + уа + е~) — решение уравнения Ьи = Сую Подставляя ие в уравнение ,Ьи = Аху, получаем 14Еху = Аху.
Следовательно, Е = А/14. Аналогично на- ходим Е = В/14 и ЛХ = С/14. Таким образом, А В С и„а = (х +у + е ) (Ч вЂ” ху+ — хе+ — уе [,14 14 14 2. Функция 2 2 2 А В С и(х,у,е) = и(х,у,е) — (х + у + е ) — ху+ — хе+ — у- (,14 14 14 (3) удовлетворяет уравнению Лапласа ели=О, 0<т<тв, (4) где 脄— какое-нибудь частное решение уравнения (1) и и — решение однородного уравнения аъи = О, удовлетворяющее граничному условию и~с „, = а — и„н(с 1. Используя принцип суперпозиции, частное решение уравнения (1) ищем в виде Гл.о. Уравнения математической ф энни и граничному условию ,,тА В С и~„=„, = а — то ~ — у+ — + — у = в 3.
Легко проверить,что функция 1А В С и(х, у, г) = а — то ~ — ху+ — хе+ — уг ~,14 14 14 является решением задачи Дирихле (4) †(5). В силу теоремы о единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре других решений нет. 4. Подставляя ю(х, у, г) в равенство (3), получаем и(х,у,г) =(х +у +г — то) — ху+ — хг+ — уг +а. г г г /А В С о 1 14 14 14 Замечание. В п.1 при отыскании частных решений им иг и из использовано следующее свойство уравнения Пуассона. Если Р(х, у, г) однородный многочлен степени и, то уравнение Ьи = Р(х, у, г) имеет решение и = Я(х, у, г), где Сг — однородный многочлен степени и+ 2. Например, уравнение сги = хау имеет решение и = 12 180 Пример.
Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в шаре Ьи=14ху, 0(т(2, (6) и(, а=14. РЕШЕНИЕ. 1. Частное решение уравнения (6) ищем в виде и„„= Е(х + у + гг)ху. Подставляя его в уравнение (6),получаем ЬЕху+ ЬЕху+ 2Еху = 14ху. Следовательно, Е = 1 и и„„= (х + уг + гг)ху, 219 5.13. Уравнение Пуассона е шаре 2.
Функция (8) и(х,у, г) = и(х,у,з) — (х + у + г )ху удовлетворяет уравнению Лапласа (9) Ьи = О, О < т < 2, и граничному условию и~с- г = 14 — 4ху ~ (10) 3. Легко проверить, что функция ю(х, у, г) = 14 — 4ху является решением задачи Дирихле (9) — (10). В силу теоремы о единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре других решений нет.
4. Подставляя и(х, у, е) в равенство (8), получаем и(х, у, г) = 14 — 4ху+ (х + у + г )ху. Ответ. и(х,у,г) = (ха+у + гг — 4)ху+ 14. Условия задач. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в шаре. 1. и„+ и„„+ и„= 14ху+ 7хг, О < г < 1, и~„— 1 = 5. 2, и, + иуу+ и„= 7ху — 7хг+ 14уг, 0 < г < 2, и~с г = 1.
3. иве+ ииу+ и„7ху+ 14хг, 0 < г < 2, и~„=г = 4. 4. и +и„., +и„=14ху — 14уг, 0<с<3, и~с з=8. 5. иее+ иу, + и„= 28ху — 14хг+ 14уг, 0 < т < 2, и~„.— г = 7. 6, и„+ и„„+ и„= 28уг — 7хг, 0 < г < 3, и „вЂ” з = 6. 7. и„+ и„„+ и„= 28ху — 14хг+ 14уг, 0 < т < 4, и~, е = 7. 8. и„+и +и„=14ху — 7ху+7уг, 0<~ <1, и~с,=1.
9. и, +иу„+и„=28ху — 14хл — 7уг, 0<т<2, и, г=4. 10. ие + иуе + и.„= — 28ху+ 28хг — 14уг, 0 < г < 3, и~„— з = 5. Ответы. 1. и(х, у, г) = 5 — ху — хг/2 + (хг + уг + гг) (ху + хг/2). 2. и(х, у, г) = 1 — 2ху + 2хг + (хг + у + г~) (ху/2 — хг/2 + уг). 3, и(х, у, г) = 4+ 2хг — 4хг + (хг -> уг + гг)(ху(2+ хг). 4, и(х, у, г) = 8 — 9ху + 9уг + (хг + уг + гг) (ху — уг). 5. а(х, у, е) = 7 — 8ху + 4хг — 4уг + (хг + уг + ггН2ху — хг + уг) 6. и(х, у, г) = 6 — 9ху/2 — 18уг + (х + у + лг)( — ху/2 + 2уг). 7. и(х, у, з) = 7 — 8ху+ х- — 4уг + (хг + у + г~)(2ху — хе + уг). 8, и(х, у, г) = 1 — ху+хе/2 — уг/2+ (ха+ уз+ гг)(2ху — хг(2+уз~2). 9, и(х, у, г) = 4 — 8ху+ 4хг+ 2уг+ (хг+ уз+ ег)(2ху — хг — уг/2).
10. и(х,у,г) = 5+18ху — 18хг+9уе-е(х -~-у~-ег )( — 2ху+2хг — уе). С Л. 5. Уравнения математической физики 220 5.14. Однородное волновое уравнение на отрезке ПОСТАНОВКА ЗАЯАЧИ. Реисить первую смешанную зидачу для однородного волнового уравнения на отрезке исс — а и„= О, х Е (0,1), 1 Е (О,оо), и(х, 0) = ~(х), ис(х, 0) = д(х), х Е (0,1), (2) (3) и(0,1) = и(1,1) = О, 1 Е (О, оо).
ПЯАн Реп! Инин, 1. Находим вспомогательные решения и(х, 1) уравнения (1) в виде и(х,1) = Х(х)Т(1), причем и(О,с) = и(с,1) = О, т.е. Х(0) = Х(1) = О. Для этого подставляем и(х, с) = Х(х)Т(с) в уравнение (Ц и разделяелс переменные. Получаем Хи Ти = Л = сопв1. Х агТ Поэтому функции Х(х) и Т(с) являются решениями связанных задач: а) Хн(х) — ЛХ(х) = О, Х(0) = Х(1) = 0; б) Тн — ЛагТ = О. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
