Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1. Задача Дирихле Ьи+ к~и = О, 0 < т ( то, 7„(йто) ~ О, и = 0,1,..., (5) М.=" = У(р) (6) при любой непрерывной функции ~(оз) с периодом 2х решается аналогично, но в п. 6 плана решения коэффициенты Л„и В„определяются по формулам Эйлера — Фурье: 2е ок 1 Р 1 Ло = /,('(~р) е1 р, Л„= / ~(Оз) сочирЛ~р, 2х 7о(к о) / 1 В„= ~(оз) яп н~р еЬр. х~н(кто) у о 2. Смысл формулы (4) можно пояснить следующим образом. При каждом фиксированном т функцию и(т, ов) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье: и(т,у) = ао+ ~~~ а„совп:р+ Ь„вштр.
Коэффициенты ао, аы .., и Ьы Ья., . зависят от т. Поэтому и(т,оз) = ао(т) + ~ а„(т) сооь р+ 6„(т) яптр. (7) н=1 Подставляя эту. функцию в уравнение (3), убеждаемся, что уравнение (3) обращается в тождество, только если а„(т) и 6„(т) являются решениями задачи (б) при Л = пз (и = 0,1,2,...). Следовательно, ан(т) = Л„Л„(Ы) и 6н(т) = В„1„(1ет). При таких коэффициентах формула (7) совпадает с (4). 185 5.8. Уравнение Гельмгольца в круге Примну.
Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца в круге: Ьи+4и=О, 0<т<1, (8) п~„1 = я1п ф. 3 (9) Ришкнни. Уравнение Гельмгольца (1) в полярных координатах (т, ~о) имеет вид (3) с Й = 4. 1. Находим вспомогательные решения ц уравнения (3) в виде г(т, ув) = Н(т)Ф(р), причем В(0) ~ < со и Ф(уе) периодична с периодом 2и. Для этого подставляем функцию и(т, у) в уравнение (3) и разделяем переменные. Получаем т т т 4т~В Л Ф вЂ” = Л вЂ” сопят.
Поэтому функции Л(т) и Ф(уе) являются решениями связанных задач: а) Ф" + ЛФ = О, Ф(уь + 2п) = Ф(уе); б) тайн + тЛ' + (4та — Л)В = О, (В(0) ~ < оо. 2. Рсшаем задачу (а). Общее решение уравнения Фа + ЛФ = 0 имеет вид ф(у,) Ае;~ — лт, Де — в — лт Оно периодично при Л > 0 и имеет период 2я при Л = и (п = О, 1,...). Получаем: Фо(р) = Ао при Л = Ло =О, Ф„(ув) = А„сов нее+ В„я1п пег при Л = Л„= пз (п = 1,2,...). 3. Решаем задачу (б) при Л = Лн = пз (п = О, 1,2,...). Имеем т К' + тК + (4т~ — иа)В = О. Общее решение этого уравнения есть В„(т) = С„,У„(2т) + Б„У„(2т) (и = 0,1,2,...), где лн и ӄ— функции Бесселя и Неймана. Поскольку ~В„(0) ~ < оо, а Ън(т) — ~ оо при т — ~ О, полагаем Ю„= О.
Гл. 5. Уравнения мателатинееной фиэини 186 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (5) имеют вид ип(т, ~о) =Сг7„(2т)(Ап сов пР+ Вп вшп1Р) = =,7п(2т)(А„соа п1Р+ Вп вш п1Р), где Ап = СпА, Вп = СпВп найти. 5. Решение задачи Дирихле (8) — (9) ищем в виде постоянные, которые предстоит и(т, Р) = ~~~ ип(т,1Р) = ~~~,7„(2т)(Ап сов пР+ В„вгппог). (10) п=о п=о з и(1, р) = яп р = — япог — — яшЗр. 4 4 Имеем 3 1 и(1, 1р) = .4о,7о (2) + ~~»,7„(2) (Ап сов п1р+ В„я и п1р) = — яп 1р — — яп 3 р. 4 4 п=1 Следовательно, Ао=О А =0 (и=12 ..) 3 1 В1=, Вг=О, Вз= —, В =Оприп>4.
4 71(2) 4 7з(2) Подставляя эти коэффициенты в формулу (10), получаем 3 71(2т), 1 7з(2т) и(т, р) = — — вш1р — — — вшЗр. 4 .71(2) 4 7з(2) 3,71(2т) , 1 71(2т) Ответ. и(т, р) = — яп 1р — — яш 31р. 4 71(2) 4 7з(2) Эта функция является решением уравнения (8) при любых Ап и В„, при которых ряд (10) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап и Вп, при которых и(т,:р) удовлетворяет граничному условию (9). Представим условие (9) в виде 187 5.8.
Уравнение Гельигольца в круге Успопиа задан. Решить краевунз задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца в круге. 1. Ьи+и = О, О < т < 2, и~„— з = 2совз р — в1п уз+ в1пЗе. 2. Ли+ 2и = О, 0 < т < 2, и(„з = 4совззз+4ебп За+севов+2. 3. Ли+ Зи = О, 0 < т < 1, и~„1 = совз р — 2в1п р — сов р+яшуз.
4. ели+ 4и = О, 0 < т < 2, и~,-з = — 4 сове р + вш ьо+ 7. 5. Ьи+ 5и = О, 0 < т < 3, и~„— з —— 12еЗп Зе+ сов уз — вУп|р. б. Ьи+би = О, 0 < т < 1, и,— 1 = 2 сове За+4 в1п уе — 2 сов уз+4 в1п зе. 7. Ли+ 7и = О, 0 < т < 3, и „з = 3 сове Уз — 2 вшз Уз — 3 сов Р+2 в1п Р. 8. 1зи+8и = О, 0 < т < 4, и „л = 4 сове р+4 в1пз За+2 сов р — 3 яш уз.
9. еьи+9и = О, 0 < т < 2, и~„-з = совз ф+Звшзуз — Зсовоз+2вшр. 10. Ьи+10и = О, 0 < т < 3, и(„— з = 9 сов з р — 4 вш ~ уз — 2 соя уз+ 5 вш 1е. Ответы ,Уз(2) 1, 2 дз(2) (,2 2. и(т,уз)=2 + (4совуе — Звшьз)+ Яо(Г2т) Уз(зУ2т) Уо(2зУ2) Уз(2зУ2) ,Уз(зУ2т) + (сов Зуз+ вшЗр). ,Уз (2 зУ2) Уз(нЗт) й 1 3. и(т, ~р) = ( — сов 1е — — еЗп ~р + ,Л(йЗ) ),4 Уз(ъУЗт) /1 1 + ( — совЗр+ — в1пЗЗз д, (зУЗ) [,4 Яо(2т) ,Уз(2т) . Уз(2т) 4, и(т,Зе) = 7 + ( — Зсовуз+вшуе) + сов31е.
дз(4) ,У1(зрбт) . . .Уз(зУ5т), 5. и(т,уз) = (Зсовьз+ 8в1п~р) — -ЗвшЗьо. Уз (3зУ5) Уз (3 зУ5) У1(ъ'бт) / 1 6. и(т,уз) = — — - ( — — совуз р 7яш,р + У (зУб) (, 2 зз(зрбт) У 1 + ' ( — совЗр — вшЗр дз(б) (,2 1~(,У7т) / 1 1 7, и(т,ее) = (ч — совр — — в1пуз + У,(3~7) ~,4 2 ,Уз(зУ7т) /3, 1 + ( — совЗЗе+ — едпЗр ,У(З 7) 1,4 2 Гл.5. Уравнения матаематинеекоа физики 188 8. и(ткр) = 5соЯЗз+ (соззез — Я1пзео). дг(ъ'8«) дз(з«8«) ,7,(4з«8) дз(4з«8) дз(зт) / 1 1 9. и(т,~р) = ( — 2 — соя~з+4 — язпяг + д,(6) (, 4 4 дз(зт) (1 3 + ( — соязр+ — язпЗЗз дз(6) (,4 4 ,Уг(УГО«) з«19 10.
и(т, Зз) = ~ соя Зз + 2 язп Зз ,т,(з «10) ~, 4 Зз(410«) /9 + — — — ( г соя ЗЗз + я1п ЗЗо д(З И)з,З 5.9.Уравнение Гельмгольца в шаре Постановка ЗАдАчи. Решишь краевую задачу Диритле для уравнения Гельмгольца в шаре: гни + к~и = О, 0 < «< то, Х„7г(1ето) У': О, п = 1, 3,..., (1) и)„„= а+ Ьсояд+ ссоя д. (2) Пллн ргшнння, Задача решается аналогично задаче Дирихле для уравнения Лапласа в шаре (задача 5.7). Уравнение Гельмгольца (1) в сферических координатах (т, аз,д) имеет вид 1 д / гдиз 1 ди 1 д г«диз т' дт ( дт,~ тгягпгд д~рг т'я1пд дд ( Так как граничные значения и~„„функции и не зависят от:р и коэффициенты уравнения (3) не зависят от ез, решение задачи Дирихле (1) — (2) также не зависит от зг и его можно искать в виде и(т, зз, д) яя и(т, д), где функция и(т, д) удовлетворяет уравнению (3) с дги/дуг тн 0: гои з — . — ~тз — ( + — (яш д — ( + ади = О.
(4) д (, д ) . тйд дд(, дд( 1. Находим вспомогательные решения и(«, д) уравнения (4) в виде и(т, д) = В(т)0(д), причем ~В(0) < со, ~Е(0)~ < оо, )Е(к)~ < оо. 5.9. Уравнение Гельмгвльва в тиаре 189 Для этого подставляем функцию и(г,д) в уравнение (4) и разделяем переменные. Получаем ггйтт+2гВ'+ 1егггй Он+ с1яд 0' = Л = сопяк л 0 Поэтому функции й(г) и тЭ(д) являтотся решениями связанных задач: а) стн+ с1вд 0'+ ЛО = О, ,'0(0) < со, )0(я)) < со; б) тг~Ят + 2гВ'+ (Йггг — Л)В = О, /Я(0)/ < оо. 2.
Решаем задачу (а). Уравнение Он + сФяд 0' + ЛО = 0 заменой переменной сов д = г преобразуется в уравнение Лежандра (1 — гг)Ов — 2гстт + и(и+ ЦО = 0 и(и+ Ц = Л. Кго общее решение имеет вид О( ) = СР,( ) + Р1;1,( ), где Р,( ) и ты (г) — функции Лежандра первого и второго рода нулевого порядка (Р (г): — Р (г) и е4,(г) = ь'„т (г)). Оно ограничено (о) (о) на ( — 1,1) только при и = и (и = 0,1,...), т.е.
при Л = п(п + Ц и Р = О. 3. Решаем задачу (б). При Л = п(п+ Ц имеем ггК'+ 2гК' + Яг — п(п+ Ц)В = О. Общее решение этого уравнения есть Ви(г) =Ан . +Во'ти-ьт/2(еег) ув, ттг(ьг) где У„, т,тг и Уе„ьт,тг — — функции Бесселя и Неймана. Поскольку ~й„(0) ~ < оо, а уе„ьт~г(г) -~ оо пРи г — ~ О, полагаем В„= О. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения (4) имеют вид и„(г,д) = С„Ан Р„(совд) = Ан Рн(совд) Ун.~.т,тг(Ь') 1~~.т,тг(Ь') т/г (п = О, 1,2,...), где А„= С„А„— постоянные, которые предстоит найти. Гл.б.
Уравнения лателатпинееной ф лини 190 5. Решение задачи Дирихлс (1) — (2) ищем в виде и(т,д) = ~~ ип(т,д) = ~~~ Ап — — — — — — Рп(соя д). (5) д„;1гзЯт) п=е п=е Эта функция является решением уравнения (1) при любых Ап, при которых ряд (5) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых и(т, д) удовлетворяет граничному условию (2) и(то,д) = ~А ' Рп(сояд) =а-~-Ьсояд+ссоя д, д -~1д(кта) 2 , /тд п=е Разложим функцию а + Ьх. + схз в ряд по многочленам Лежандра: 2с'1 2 а+ Ьх+ох = ( а+ ) РО(х) -~ ЬР1(х)+ — сР2(х) 3) ' 3 (см.
задачу 3.7). Следовательно, ,тв п=е 2 1 2 а+ — с) РО(сояд) + ЬР,(сояд) + — сР2(сояд). 3 ) 3 Отсюда 2 1) згте згте 2с 3 лцг(нто) лз72(нто) 3 ля~э(нто) Ап = 0 прн и > 3. Нодставляя эти коэффициенты и выражения для Рп(соя д) 3 2 1 РО(сояд) = 1, Р1(сояд) = сояд, Р2(сояд) = — соя д —— 2 2 в (5), получаем 2 '1 Гто,7172Яг) Гто,7272(кт) т 1/2~ "те) т 3/2( те) + — ~ (3 сояз д — 1). с /те 7з,12(Ьт) 3 т я~2( те) 5.9. Уравнение Гельмгвльиа в шаре 191 Прймш'. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца в шаре: ели+ 2и = О, 0 < т < 1, (6) (7) и,', = 3 сов д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
