Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 47
Текст из файла (страница 47)
2. Вычисляем выборочную дисперсию по формуле (1) или по эквивалентной ей формулс 7.10. Выборочная дисперсия группированного статистического ряда 355 Условия злдлч. Вычислиепь значения аь при ь' = 1, 2,..., 200 (сип стр. 332). Вычислить выборочную дисперсию выборки аы..., азов. Ответы. 1. 0.083493. 2. 0.083071. 3. 1.0183. 4. 0.50165. 5.
0.056180. 6. 0.038107. 7. 3.1886. 8. 0.43269. 9. 1.0252. 10. 1.7277. 7.10. Выборочная дисперсия группированного статистического ряда абсолютных частот Постлновкл злдлчи. Дан группированный стпатистический ряд абсолютных частот: (х1 п1) (хз пг) " (х'. и-') Вычислить его выборочную дисперсию. П.ллн ркшкния.
Выборочная дисперсия группированного статистического ряда абсолютных частот определяется формулой (х*, — т)'и*, + (х.,' — х)'и,' +... + (х* — х)'п" п — 1 где х выборочное среднее данного группированного статистического ряда абсолютных частот и п = п1+...+п„*„объем выборки. Из теоремы Бернулли следует, что выборочная дисперсия 71' стремится к дисперсии той случайной величины, значения которой образуют группированный ряд, если объем выборки п сгремится к бесконечности, а длины интервалов группировки к нулю. '-1тобы упростить вычисления и уменьшить погрешность округления, используем так называемый метод произведений.
Заметим, что выборочная дисперсия 11' не изменяется, если из каждой величины хь вычесть одно и то же число с. Пусть с центр того интервала группировки, который находится примерно в середине статистического ряда и Ь вЂ” длина интервала группировки. Тогда величины х1 — с ь Уь = и Гл. 7.
Математическая статистика целые числа. Поэтому величина еа е т п ~~~ у„*~пс — ~~~ у~п„*(2) ь=! Ь=2 — 2 Р„*= ~~~ (у~ — у)~пь —— и — 1 ' п(п — 1) ь=е вычисляется просто. Искомая выборочная дисперсия Р; выражается через Р„' по формуле Р. =6Р„*. (3) 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: ПГИМЕГ. Вычислить выборочную дисперсию группированного статистического ряда абсолютных частот, найденного в примере раздела 7.1 (стр.
332). РЕШЕНИЕ, 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: 2. Вычисляем длину интервала группировки 6 = х*, — хг 3. Выбираем с. Если т — четное число, то с = х' Если т — нечетное число, то с = х', .„. 4. Заполняем 4-й столбец величинами у~с. В строке с х~ — — с пишем О, вверх записываем последовательно — 1, — 2, и т.д., а вниз последовательно 1, 2, и т.д. 5.
Заполняем 5-й столбец величинами у'п,*,. 6. Заполняем 6-й столбец величинами у„*з. В строке с х*„= с пишем О, вверх записываем последовательно квадраты натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25 и т.д., и вниз также последовательно 1, 4, 9, 16, 25 и т.д. 7. Заполняем 7-й столбец величинами (уь)2п~. 8. Суммируем частоты п*„в 3-м столбце и получаем объем выборки и. 9. Суммируем числа у„'пь в 5-м столбце. 10. Суммируем числа уь~пт. в 7-м столбце. 11. Вычисляем Р„'по формуле (2).
12. Вычисляем Р' по формуле (3) и записываем ответ. 7.10. Выборочная дисперсия группированного статистического ряда 357 2. Вычисляем длину интервала группировки: Ь = лг — л1 = 0.27075 — 0.09025 = 0.1805. 3. Выбираем с = я~1 = 1.89500. 4. Заполняем 4-й столбец величинами у".
В строке с л*„= с пи- спем О, вверх записываем последовательно — 1, — 2, и т.д., а вниз последовательно 1, 2, и т.д. 5. Заполняем 5-й столбец величинами уьпь. 6. Заполняем 6-й столбец величинами уь~. 7. Заполняем 7-й столбец величинами (у11гп*„.. Таблица принимает вид у„' и*„ 7600 4131 2496 1764 756 450 9 ~ -4 -36 16 1.17310 7 — 3 1 — 21 6 ~ — 2 ~ — 12 1.35355 1. 53405 24 4 ' 0 ~ 0 10 11 1.71455 1.89500 2.07545 2.
25595 12 13 2 1 О, 2 Т 0 4 2.43645 1 3 ) 3 9 0 ~ 4 0 16 15 2.61690 25 16 2. 79735 1 ~ 5 5 25 17 18 2.97785 3. 15835 0 ~ 8 0 0 1 9 ~ 0 19 20 64 3. 33880 3. 51925 81 3.69975 21 2 ~ 10 20 100 200 иь 0.09025 0.27075 О. 45120 0.63165 0.81215 0.99265 и,* ~ у„* у„*п'„у' 76 ~ -10 -760 100 51 — 9 — 459 81 39, — 8 ~ — 312 64 36 ~ -7 -252 49 21 ' -6 -126 36 18, — 5 ~ — 90 25 Гл.
7. Математическая статистика 358 8. Суммируем частоты гь~ в 3-м столбце и получаем объем выборки и, = 280. 9. Суммируем числа у*и*,. в 5-м столбце. Получаем — 2038. Возводим это число в квадрат. Получаем 4153 444. 1(). Суммируем числа уеап!. в 7-м столбце. Получаем 17 706. 11. Вычисляем Р„' по формуле (2): 1 Р' = (280 17706 — 4153444~ - 10.29488.
280 279 12. Вычисляем Р.' по формуле (3): Р, *= Лг.0„* = 0.33541 Ответ. Р, *- 0.33541. УСЭ)ОНИя ЗАЛАЯ. Вычислить выборочные дисперсии грутшрованных статистических рядов абсолютных частот, найденных в задачах риздела 7.1 (стр. 333). Ответы. 1. 0.082325. 2. 0.081546. 3. 1.0060. 4. 0.47228. 5. 0.055896 6.
0.037280. 7. 3.2377. 8. 0.42936. 9. 1.0653. 10. 1.7920 7.11. Определение параметров закона распределения методом моментов ПостАИОвкА ЗАдячи. Функция распределен!я случайной вели; чины с есть Р (х; а!,..., а ), где аь,..., аэ — некоторые неизвестпные паримепьры. При этом )ЛХСА) < со при й = 1,..., !1 По выборке хь,...,х„значений с определены эмпирические моменты М„*= хй (Й = 1,...,1). Используя эти моментьц найти параметры а„..., а. функции распределения Е(х; а!,..., а ). ПЛАН РГЯ!Гь))ня. 1. Используя функцию распределения Е(х; а!,..., а ), вычисляем теоретические моменты ЛХ5 ' при Й = 1,..., !, выражая их через не- в известные параметры а!,..., а ..
Получаем ЛХс~ = ть(аь,..., а ), где ть — известные функции переменных а!,..., а . 2. Приравнивая найденные теоретические моменты ЛХс,..., ЛХ51 данным эмпирическим моментам ЛХ!* —— х,..., МЕ = хэ, получаем систему уравнений т!(а!,..., а ) = ЛХ!, тг(а!,...,а ) = М*, т.(а!,...,а ) = М'. 7.11. Метод моментов 3. Решаем систему уравнений (1) и находим ам..., а . Замечание. Вместо функции распределения Г(х; ам,.,,а.) может быть задана плотность вероятностей р(х; ам..., а ) для непрерывной случайной величины 4 или вероятности рь(ам...,а ) значений для дискретной случайной величины С. Примни 1.
Случайная величина 4 распределена по нормальному закону с параметрами а и о.. По выборке хм...,хо значений ~ опрег делены эмпирические моменты М,* = х = 2.3 и ЛХг = х = 8.7. Используя эти моменты, найти параметры а и ог. РЕШЕНИЕ. 1. Вычисляем теоретические моменты МСв при й = 1, 2, выражая их через неизвестные параметры а и о. Поскольку с распределена по нормальному закону с параметрами а и ог, имеем 2хог Мсег / г — (в — ардго~) 1 г + г х72лог,/ (В данном случае а1 = а, ог = ог, т1(ам аг) = ам тг(ам аз) = =а, +аг ) г 2.
Приравнивая найденные теоретические моменты ЛХ~, ЛХ4г данным эмпирическим моментам ЛХ* = 2.3 и ЛХ* = 8.7, получаем систему 2-х уравнений < а = 2.3, а Наг = 8.7. (2) 3. Решаем систему уравнений (2) и получаем а = 2.3, ог = 3.41. Ответ.
а = 2.3, ог = 3.41. Пример 2. Случайная величина ~ имеет отрицательное биномиальное распределение Р(~ = Й) = С~~,+ р™д~. Здесь т ) 1 и р Е (О, 1) — параметры, е1 = 1 — р. По выборке хм.,,, х„значений С определены эмпирические моменты ЛХг = х = 1.21 и Мг = хг = 3.54. Используя эти моменты, найти параметры т и р. Гл. 7. ЛХатеяатаическал статистика 360 РЕШЕНИЕ. 1. Вычисляем теоретические моменты МС" при к = 1, 2, выражая их через неизвестные параметры т и р.
Имеем МХ = "„йр(Х = й) = 5 Л С' „, р™д', я=! ь=! Ю Р(~ = !с) = 5 й О" +„!рте!". ь=! ь=! (3) (4) Преобразуя ряд в (3) к виду реа х (т+ й — 1)! ( — ц!~ и (т — 1)! (й-~-т — 1)(к+т — 2)... (к+ 1)й0~, вычисляем сумму ряда почленным дифференцированием (см. задачу 10.12 в книге РЕШЕБНИК "Высшая математика").
Получаем ЛХ5 = т — = т 9 1 — р р р Аналогично получаем МСе2 Ч 1 р рз 2 2. Приравнивая найденные теоретические моменты М5, Мс~ данным эмпирическим моментам ЛХ' = х = 1.21 и ЛХ2 —— к2 = 3.54, получаем систему 2-х уравнений 1-р т =193, р 1-р т = 3.54. р2 (5) 3. Решаем систему уравнений (5). Делим первое уравнение на второе и получаем р = 0.3418. Подставив зто значение в первое уравнение, решаем это уравнение относительно т и получаем 2п = 1.0023. Ответ.
т = 1.0023, р = 0.3418. 7д Ь Метод наибольшего правдоподобия 361 Условия задач. Используя метод моментов, найти параметры распределени по известнь м эмпирическим моментам. 1. Биномиальнос распределение р(Ь;п,р) = С~р~д™, и = 10, ЛХ* = 6.8. 1 е 'аь 2. Распределение Пуассона р(к; а) =, ЛХ,* = 3.24. и 3. Геометрическое распределение р(Ь;у) = (1 — 9)дь, М1 = 2.1. С„ьС„," 4. Гипергеометрическое распределение р(к,; пл, пв, т) = т = 10, ЛХ1 = 5.4, Мз —— 31.2. 5. Распределение кратности звезд р(к, д) = (1 — сХ)зууь 1, М' = 1.6. 1 6. Равномерное распределение р(х; а, Ь) = при а < х < Ь, Ь вЂ” а р(х; а, Ь) = 0 при х < а или х > Ь, М,* = 0.78, Мг — — 1.46.
7. Показательное распределение р(х; Л) = Ле л* при х > О, р(х;Л)=Оприх<0, М~ =069. х' 1е-'* 8. Гамма-распределение р(х;1) = при х > О, р(х;1) = 0 Гф при х < О, М; = 1.72. 1 9. Распределение Лапласа р(х; Л) = — Лс ~~'~, М* = 0.178. 2 о, а;и+1 10. Распределение Парето р(х;а,о) = — ~ — ) при х > а, а х р(х; а, о) = 0 при х < а, ЛХ' = 1.54, Мг —— 2.44.
Ответы. 1, р = 0.68. 2. а = 3.24. 3, д = 0.68. 4. и, = 18, пь = 26. 5. у = 0.23. 6. а = -0.82, Ь = 2.38. 7. Л = 1.45. 8. Х = 1.72. 9. Л = 3.35. 10. а = 1.32, о = 7. 7.12. Определение параметров закона распределения методом наибольшего правдоподобия Постановка задачи. Функция распределени случайной величины с есть Г(х; аы ., ., а,), где ам, .., а — некоторые неизвестные параметры. По выборке хь,,,.,хп значений с определить значения ам..., а методом наибольшего правдоподобия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
