Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 51
Текст из файла (страница 51)
+ хьо)Л = уь +... + уьо (3) есть сумма независимых случайных величин ум..., уьо, распределенных по показательному закону. Поэтому ю имеет так называемое гамма-распределение: 1 р„(х)= анхо 1е" прих>0 и р„,(х)=0 прих<0 Г(о) с параметрами о = 1 и о = 10. Известно, что при о = 1/2 гамма-распределение р„м(х/2) совпадает с распределением Пирсона Лз с числом степеней свободы п = 2т Гл.
7. Математическая статистика 382 Функция распределения Г(х) случайной величины (3) равна нулю при х < 0 и г х" ' Г(х) = 1 — е " 1+ х+ — +... + — ~ 2! 9!,~ (4) при х > О. 2. Находим квантили Чг и Чг из условий 1-р Р (х1, ...+х1о)Л<Ч1 = =0.1 2 Р (хг+...
+хго)Л 3 Чг = = 0.1. 2 По определению функции распределения Г(х) Р (хг +... -~- хш)Л < Чг = Г(Чг) и Р (хе+...+хго)Л ~ 3Чг = 1 — Р (хг +...-~-хго)Л < Чг = 1 — Г(Чг). Ч1 < (хг +... + хю)Л < Чг относительно Л и получаем Л хг+ .+хш хг+ +хго 4. Случайный интервал с Ч1 чг (5) гч+...+хго хг+...+хш/ содержит Л с вероятностью р = 0.8. Подставляем конкретные выборочные значения хы ..,, хю случайной величины С и квантили Чы Чг в (5) и получаем конкретную реализацию (0.73, 1.66) случайного интервала (5), т.е. доверительный интервал для Л с уровнем доверия р = 0.8.
Ответ. Л < (0.73, 1.66)о.в. ПоэтомУ квантили Чг и Чг опРеДелЯютсЯ УРавнениЯми 1+р Г(Ч1) = = 0.1, Г(Чг) = = 0.9. 2 ' 2 Используя формулу (4) и пакет РЕШЕБНИК.ВМ, составляем таблицу значений Г(х), в которой находим, что Г(х) = 0.1 при х = 6.2213 и Г(х) = 0.9 при х = 14.206. Поэтому Чг = 6.2213 и Чг = 14.206. 3. Решаем неравенства 7.16. Доверительный интервал для неизвестного параметра 383 Замечание.
В данном случае точечная оценка параметра Л равна 10/(х1 + ... + хю) — 1.17. Она не совпадает с серединой 1.195 доверительного интервала. Позтому ответ не следует записывать в виде Л = 1 195 ~ 0 465ов. Условии задач. Непрерывном случайная величина с распределена по заданному закону с единственным неизвестным параметром о. Имеется выборка хы,.,,х„значений 5. Используя указанную функпию ~(хы..., х„, о) и закон ее распределения, найти доверительный интервал для о при уровне доверия р.
В задачах 1 — 4: 4 — нормальная случайная величина, М4 = а, 05 = 1, случайная величина /х1+...+х„ У(хы...,х„,а) = ( ''' " — а ь7п распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. В задачах 5 — 8; с — нормальная случайная величина, Мс = О, 04 = о~, случайная величина распределена по закону Пирсона Л~ с и степенями свободы. В задачах 9 — 10: с — случайная величина, распределенная по показательному закону р(х) = Ле ~ при х > О, р(х) = 0 при а ( О, случайная величина 7" (хы..., х„, Л) = (хь +... + хи)Л 1 распределена с плотностью вероятностей р(х) = х" е * при р(п) ' х>0, р(х)=Оприх(0.
1. хь+...+хзо=2.35,р=095. 2. х1+...+хзо=484.,р=095. 3. хь +... + хм = 3.27, р = 0.98. 4. х1+... + х1з = — 1.71, р = 0.98. 5. хь+...+хм = 1.3, р= 0.98. 6. хь+...+хяо = 1.2, р= 0.96. 7, х1 +... + хзз = 3.17, р = 0.96. 8. хь +... + хьо = 5.34, р = 0.98 9. х1 + ... + х1о = 2.35, р = 0.96. 10. х| + ...-~-хво = 15.33, р= 0.98. Ответы.
1. а Е ( — 0.38481, 0.8548Цо ов или а = 0.235 т 0.61981о,оь. 2. а Е ( — 0.19627, 0.68027)о ов или а = 0.242 т 0.43827о ов. 3, а Е ( — 0.38819 0 85533)о.ов или а = 0.23357 х 0 62176о.ов 4. а Е ( — 0.77677, 0.51369)о.ов или а = — 0.13154+ 0 64523ояв. Гл. 7. Математическая статистика 384 5.ог Н (О 049586~0 36404)о.гв 6 ог й (О 06098~0 47393)в.ов.
7 ог Е (О 06279~ 0 17826)в гв 8. а~ 6 (0.07012, 0.17976). 9 Л ~ (1 96532 7 45106)о.гв 10 Л Е (1 74624 3 66372)о.вв. 7.17. Доверительные интервалы для параметров нормального закона ПостАНОНЕА ЗАЛАЧИ. Случайная величина с распределена по нормальному закону с неизвестными математическим ожиданием а и дисперсией ог. Имеется выборка хг,...,х„значений С. Найти доверигпельнь7е интервалы для а и ог при уровнях доверия р„и р 7.
ПлАн РешениЯ. Введем обозначения для выборочного среднего и выборочной дисперсии: + „ ( Лй*)г + + ( М )2 и и- 1 1. Случайная величина ЛХ' — а Т = 77(хг,...,х„,а) =,/и распределена по закону Стьюдента с и — 1 степенями свободы, т.е. Т имеет плотность вероятностей Г(п) 2 Иг г „(х)=, ~1+ ' ') — со < х < оо.
Х77я(22 — Ц Г(". ) 7х и — 1 27 Случайная величина ( ) . х = 12(хг,...,хи,о ) = ог распределена по закону Пирсона Лг с и — 1 степенями свободы, т.е. имеет плотность вероятностей 1 р (х) = х~" зрге *7~ при х ) 0 х Г(в:7) 2( — грг 2 и Рхг(х) = 0 пРи х < О. 2. Находим в таблице квантилей для распределения Стьюдента 7.17. Доверительные интервалы длл параметров нормального закона 385 РЦ 00 или с помощью пакета 12ЕШЕБНИК.ВМ квантили д~ и д,, такие, что Р12 < „~Ц) Р12 > „~2~) Поскольку плотность вероятностей закона Стьюдента — четная функция, имеем ц, = — д, . В таблицах приводят только ц, = о, О) 00 (2) 3. Случайный интервал Р(:с < Ч ) — Р('л ) Ч ) 5. Случайный интервал с В,* В: '1 (и — 1) *, (и — Ц (2) содержит параметр о с вероятностью р ..
Подставляем значения 2 и, 1З;, о,, о, в (2) и получаем конкретную реализацию случайного Рц [г~ интервала (2), т.е. доверительный интервал для о~ при уровне довеРия Ров ' Замечания. 1. В таблицах для квантилей распределения Стьюдента обычно приводят числа 12 (т), такие, что при т степенях свободы Р(~Т~ > 11 (т)) = о. Нужные нам квантили ц, и д, выражаются рц (г~ через 12 „(т) по формулам д~~~=о =12 (т) при т=п — 1, о=1 — р„, д~~= — д,= — 12 „(т) при т=п — 1, о=1 — р,. 2. При п > 30 распределение Стьюдента практически неотличимо от нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Поэтому для нахождения квантиля д при и ) 30 можно использовать функцию Ф(х).
25 В.И. Афанасьев и др. содержит параметр и с вероятностью р,. Подставляем значения М,*, 1Э;„и, д, в (1) и получаем конкретную реализацию случайного интервала (1), т.е, доверительный интервал для и, при уровне доверия р,. 4. Находим в таблице распределения Хг или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ квантили оо, < д,, такие, что 00 (2) Гл. Т. Математическая статистика 3. В таблицах для квантилей распределения тг обычно приводят числа у а(т), такие, что для распределения с т степенями свободы 2 Р~ [21 Р(с~ > т1 (т)) = о. Нужные нам квантили д~~,~ и д~~,~ выражаются через уг „(т) по формулам о, =гсг (т) при т=п — 1, о= О) 1 +ра2 (21 1 "ра2 дг =;Сг (т) при т=п — 1,о= 4. При т > 30 используется формула з 2 / 2 (т) - т 1 — — -~- и ~(/ 9т 1/ 9т) где и — квантиль для стандартного нормального распределения: Р(С > и ) = о/2.
Эта формула дает завышенные значения тгг „при малых о. Встречающаяся в литературе формула 1 ;12, (т) - — (ъ'2т — 1+ и„) не годится при значениях о, близких к 0 или 1, т.е, именно при тех значениях, которые нужны для построения доверительных интервалов. Чтобы быть уверенным в правильности значений гсвг (т) целесообразно находить их с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ. ПГИМЕГ. Случайная величина С распределена по нормальному закону с неизвестными математическим ожиданием а и дисперсией и . Имоется выборка хм...,хю значений ~.
Выборочное среднее равно 1.17, выборочная дисперсия равна 0.25. Найти доверительные интервалы для а и аг при уровнях доверия р = 0.98 и р е = 0.96. Решение. Введем обозначения для выборочного среднего и выборочной дисперсии: ЛХ' = н Р хг +... +хю „(х, — ЛХ,")2+... + (хю — М")2 Х 10 а 9 1. Случайная величина ЛХ,* — а Т = гг(хы...,хго,а) = * ЛО распределена по закону Стьюдента с 9-ю степенями свободы. 7.17. Доверительные интервалы длл паральетров нормального закона 387 Случайная величина 912' Х 22(т1, ° ~~10~и ) = распределена по закону Пирсона Хг с 9-ю степенями свободы. Р(2 (9~0) =Р(т> Р) = = =0.01. 1- р.
1- 0.98 Имеемд =11 (т)=2821(о=1 — р,=002,1и=и — 1=9), 00 1!а = ча = '2 821 3. Случайный интервал М.* — д. — *,,~." + д. (3) содержит и с вероятностью ра = 0.98. Подставляем значения М*, 77;, и, д, в (3) и получаем конкретную реализацию случайного интервала (3), т.е.
доверительный интервал для а при уровне доверия р, = 0.98; с 1 17 2 821 )~ 1 17 + 2 821 ~/ (1'029 1'311)о 0.9В 4. Находим в таблице распределения хг или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ квантили д~, ( д~,, такие, что (1) 00 Имеем о,~ = Хз (т) = 2.532 (о = (1+ р з)/2 = 0.98, т = и — 1 = 9), д, = Х21 (т) = 19 679 (о = (1 — роз)/2 = 002, т = и — 1 = 9). 5.
Случайный интервал с и** в; '! (и — 1) *, (и — Ц (4) 2. Находим в таблице распределения Стьюдента или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ квантили 1!а и д,, такие, что 00 (2) Гл. 7. ЛХатематаическал статистика 388 содержит аз с вероятностью р г = 0.96. Подставляем значения 'п, Р*, уаг, уаг в (4) и получаем конкретную реализацию случайного 01 00 интервала (4), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
